趣味数学

柯西平均值定理作为已经被证明的数学难题，在高中数学中就有应用。它又叫柯西不等式，也称为柯西均值定理，一般表述为：n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。

设有n个非负实数X₁，X₂，X₃……X_n，则有

今天我们用Python、Scratch和APPInventor来做简单验证。

一、创意来源

在Python学习中，解决数学问题可以帮助我们显著提高学习效果。近几期我们一直在分享研究历史数学难题的收获，希望对大家有所帮助。

二、设计思路

定理内容比较简单，就是需要计算算术平均值和几何平均值。算术平均值，就是n个正数的和除以n得到的结果。几何平均值，是n个正数的积，开n次方得到的结果。

让程序先产生n个随机数，再计算两个平均值，最后进行比较即可。

但随机数如果都是正整数，验证结果受限，还要用小数来验证。为了产生n位的小数，将范围扩大10n倍，产生随机数后，再缩小10n倍，这样便可用整数和小数来验证。

在实际运行过程中，却出现了一个问题。那就是小数位数有上限，三种语言都出现了这种情况，比如Python就是17位有效数字。所以在程序中都需要根据语言环境进行相应的处理。

三、程序设计过程

（一）Python程序设计

本例涉及等级考试二级内容。通过键盘输入范围、数据个数和小数位数后，首先做范围处理，如果范围的位数和小数位数的和超出17位，则不做验证（图1）。

然后随机生成n个数p位小数，添加到列表中，再计算算术平均值和几何平均值。最后做比较，输出结果。

程序不是很难，主要是用到了两个函数。一个是random库中的randint（）函数产生一定范围内的随机整数，还有一个是pow（x，y）函数，是求x 的y次方，我这们这里利用这个函数做开n次方运算，即y值在（0，1）之间的值为开方运算，比如pow（2，1/2），即是求2的平方根。

（二）Scratch程序设计

1.首先初始化，键盘输入范围、个数和小数位数（图2）

同时清空数据列表，将4个变量初始化。

2.产生n个随机数并计算

循环“个数”次，产生的n个随机数，进行加法和乘法运算，保存在变量中，同时将数据添加到列表中，以备查看（图3）。

3.求出几何平均值和算术平均值

算术平均值就是用n个数的和除以n，得到的结果（图4）。

几何平均值是将n个数的积，开n次方根的结果。因为Scratch里没有提供开n次方根的积木块，这里利用了指数和对数的性质。公式中n就是数据的个数，“积”为保存n个数积的变量。

4.输出结果

先判断几何平均值是不是超出范围，再判断小数位数和扩大范围后的值，是不是超出范围，如果都没有超出范围，则判断几何平均值是否小于或等于算术平均值，如果满足条件，则说明柯西平均值定理成立，说：“柯西平均值定理成立”5秒，否则说“柯西平均值定理不成立”5秒（图5、图6）。

（三）APPInventor程序設计

1.UI设计

界面设置参考APP运行结果。注意设置3个文本输入框的提示信息。

2.变量与初始化

变量6个，功能如下。验证数据列表，存储随机产生的验证数据。随机数，即保存每次产生的随机数。其他4个变量如名字（图7）。