数学学科核心素养下，“图形与几何”领域的教学策略研究

竺晓芸

一、研究缘起

（一）基于“核心素养”的提出

在国际上，各大组织、国家都相继对核心素养的概念、要素、框架、特点、价值等等进行研究。我们国家在十八大后提出把立德树人作为教育工作的根本任务，十八届三中全会强调坚持立德树人，加强社会主义核心价值体系教育。2014年，教育部带头落实立德树人根本任务，组织专家进行研究并且提出中国学生发展核心素养体系，思考“教育要培养什么样的人”，要提出具有中国特色的科学，具有时代性、具有民族性、符合我国国情以及符合我国学生情况的核心素养体系以及核心素养内涵等。2016年，《中国学生发展核心素养》总体框架正式发布，该框架提到“核心素养是关于学生知识、技能、情感、态度、价值观等多方面的综合表现，是每一名学生取得成功、获得个人发展和社会发展所需要的且不可或缺的共同素养”。研究学生发展核心素养是落实立德树人根本任务的一项重要举措，也是适应世界教育改革发展趋势、提升我国教育国际竞争力的迫切需要。

在该背景下，核心素养的研究已经成为了教育界的热点话题。

（二）基于“数学学科核心素养”的思考

数学核心素养是最新修订的《普通高中数学课程标准》中提出的，它是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展起来的。包括：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析。而该素养的形成需要以“四基”为基础，“四能”为途径，“三会”为行为表现，形成“四基—四能—三会”这样一条主线，才能将核心素养的培养真正落到实处。在现如今的教育大背景下，数学核心素养的培养被大力倡导，需要教师落实到数学教学中。

（三）基于小学阶段培养“数学学科核心素养”的落实

很多人认为数学核心素养的培养只存在于初高中阶段，与小学的数学教学无关。其实不然。小学数学核心素养是指学生在学习数学时能够获得的数学能力，具体而言，一方面就是要在数学学习的过程中使自己的逻辑思维能力得到锻炼和提升，另一方面是培养对数学知识的吸收和转化能力，也就是学以致用的能力，即将所学数学知识应用到生活实际中的能力。

皮亚杰认为学生在小学阶段是认知发展的跳跃阶段，小學生的认知、思维、表达乃至个性品质都经历巨大变化。根据皮亚杰的认知发展理论，小学生基本处于具体运算阶段。在本阶段中，儿童的认知特点有：1.思维的具体性；2.思维具有守恒性和可逆性。这一阶段，儿童思考问题离不开具体事物和经验，他们在面对问题情境时，能按照逻辑法则进行推理运算，但思维活动仍然需要具体内容的支持。如果只用言语叙述问题，则儿童推理就感到困难。而在初中阶段，儿童则从具体运算阶段发展为形式运算阶段。这个时期，儿童思维发展到抽象逻辑推理水平。思维活动不再需要具体事物的支持，能够摆脱思维内容。

小学数学从内容上来说，是学生学习数学的基础，要与初高中数学的知识点进行衔接；而从认知发展水平上来说，也是具体运算阶段向形式运算阶段的过渡，学生的思维水平逐步向抽象逻辑思维发展。因此在小学这一黄金时间段，做好学生思维能力的过渡，培养学生的数学核心素养显得异常重要，这是为了学生的可持续发展打好基础。

（四）基于“数学学科核心素养下，‘图形与几何领域的教学策略研究”的实践

2011年版的《义务教育数学课程标准》把义务教育阶段数学课程分为四个领域，其中非常重要的一个领域是“图形与几何”领域。几何学习是小学数学教学的重点内容，旨在通过“图形与几何”的教学来发展数学抽象、直观想象、知识迁移能力等数学核心素养。

该领域的教学内容具有一定的抽象性，这也使教学难度及学生学习难度增大。尤其在新课改背景下，学生不仅需要掌握“图形与几何”的相关知识，具备一定的学习能力，同时还需要在学习过程中逐渐培养思维能力及数学思维观念，从而达到综合发展的效果。所以，如何提升小学数学“图形与几何”教学质量一直是小学教学关注的重点。

因此本文致力于研究数学学科核心素养背景下，小学阶段的“图形与几何”应该怎么教学，或者说，在小学数学“图形与几何”领域的教学中，如何去落实数学学科核心素养。力争在数学学科核心素养背景下，探究小学数学“图形与几何”领域的教学策略。

二、实践研究

本文选取了沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”为例，从优化教学设计和改革评价方式两方面出发，实践探究“图形与几何”领域的教学策略的有效性。

（一）优化教学设计

教学设计是教师根据教学理论，运用系统科学的方法把教材呈现的知识加以选择重组，并根据学情合理建构教学过程，其根本目的是要激发学生的“学”。教学是教师的“教”与学生的“学”所组成的双边活动，所以教师的教学设计关系到学生的学习结果，是极其重要的。

本文将从以下几个维度出发进行教学设计的优化：

1.厘清教学脉络，构建知识网络

数学的教学不同于语文和英语，它的知识点存在一定的结构性。而“图形与几何”领域作为小学数学课程内容四大领域之一，它的知识网络就更加错综复杂，知识点之间根据横向和纵向的联系构筑成发散式的知识网络。可以说，每一个概念、知识点的掌握程度都会对之后的几何教学产生巨大的影响。为此在“图形与几何”领域的教学设计中首先厘清教学脉络，为学生梳理知识网络是十分重要的。这有利于学生构建数学双基平台，自主构建几何单元各知识板块之间的联系。

为了梳理知识网络，对一个单元进行教材分析和学情分析是必要的。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

（1）教材分析

【所属模块】图形与几何

【单元教学内容】平行四边形、梯形的认识，以及平行四边形、三角形、梯形和组合图形的面积计算

【具体分析】

此单元为五年级第一学期的一个自然单元，但从知识序列及能力维度可见，图形与几何是潜移默化渗透在小学五年中的重点知识，从结构体系的视角进行关联性的教材分析，具体见图1。

可见，按照知识点的横向排列，形状和面积这两个知识点在小学前四年的学习中渗透了下去，为本单元打好了关键概念的基础；按照知识点的纵向排列和难易程度，在四年中教学循序渐进地从面积的学习过渡到长方形与正方形的面积，然后到本单元平行四边形，三角形和梯形的面积，最后过渡到组合图形的面积。因此，这一单元起着承上的作用，并在此收束了小学阶段所有关于面积新知识点的学习。

而这一单元又是以后学生进入中学后进行几何单元学习的基础，因此也起到了启下的作用。可见本单元教学具有非常重要的地位。

经上述分析，附单元规划属性表（表1）和思维导图（图2）如下：

（2）学情分析

在本单元之前的学习中，学生已经认识了三角形，长方形和正方形，因此本教学内容可以发挥知识的正迁移和顺向迁移功能，以及建构的学习方式，让学生自主认识平行四边形和梯形。此后，由于学生已经事先掌握了长方形与正方形的面积公式，本教学内容可以引导学生通过动手操作，借由转化、归纳的数学思想方法来自主探索平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。最后通过割、补、移等方法，掌握将组合图形的面积转化成为几个已知图形的面积求解并正确计算的方法，初步培养空间意识和几何意识，提高学生分析问题、解决问题的能力。

2.找准重点难点，渗透数学思维

数学思想方法的种类有很多，转化、符号化、归纳等等。根据每一课时侧重的知识点的不同，学生发展的数学思维能力也不同。

因此，进行教学设计时，我们一定要根据制定的教学目标，找出每一课时中的教学重难点，根据重难点进行针对性的教学设计，发展这一课时中学生相應的数学思维能力。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

通过教材分析和学情分析厘清了知识网络之后，从三个维度出发梳理本单元教学目标的要点，并制定了教学目标如下。

【知识与技能目标】

（1）认识平行四边形和梯形，能识别平行四边形和梯形。

（2）了解平行四边形对边平行且相等，对角相等的性质，了解梯形仅一组对边平行的性质。

（3）掌握平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，理解其推导过程，并能正确计算它们的面积。

（4）能灵活运用割、补、移等方法和已学五种图形的面积计算公式，来正确计算组合图形的面积。

【过程与方法目标】

（1）经历动手操作的数学活动，如剪接，旋转，平移等，初步探索几种图形之间的关系，培养初步的几何，空间以及运动的观念，加强对几何图形的敏感度。

（2）经历自主探索，小组合作的学习方法，感受转化归纳的数学思想，通过知识的迁移进行有效的学习，掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的推导过程，在过程中提升操作能力，观察能力，迁移能力和表达能力。

【情感态度与价值观目标】

体会到这些几何图形与日常生活的密切联系，感知它们的广泛应用性，激发并增强对几何的学习兴趣，在学习过程中体会数学在生活中的重要性，发展图形几何意识。

其中，在单元知识框架图中，我们能看到：第一，正确区分和辨识几何图形不同的形状在小学阶段中是很重要的，因此了解图形的性质是本单元的重点。第二，牢记并灵活运用五种图形的面积公式以正确计算出结果对于本单元的学习也是至关重要的。

因此，本单元的重点经分析制定如下：

【重点】

（1）认识平行四边形和梯形，掌握其特征。

（2）掌握平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，并能正确计算它们的面积。

为了灵活运用五种图形的面积公式，规避负迁移，就需要学生理解其推导过程。理解这一过程，需要发挥学生的动手操作能力和知识迁移能力。而为了正确计算组合图形的面积，更需要学生能够将未知的知识点转化归纳为已学的知识点，考验到其观察能力和化归能力。

因此，本单元的难点经分析制定如下：

【难点】

（1）理解平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程。

（2）能灵活运用割、补、移等方法和已学五种图形的面积计算公式，来正确计算组合图形的面积。

在重难点分析中，我们能看出本单元重点需要发展学生的数学转化思想。

因此，我们在教学设计中就力求体现转化思想。从知识体系组建环节中就实现渗透，让学生进行剪、拼等操作，引导学生将三角形的面积与平行四边形的面积联系起来，将梯形与平行四边形，或正方形与三角形联系起来。在练习巩固阶段达到掌握，以变式练习巩固这种转化思想。最后在反思跟总结中实现深化，从而提高教学质量，发展学生的知识迁移能力和数学转化思想。

3.强化课堂活动，感悟抽象知识

建构主义学说认为“数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外”，所以真正的理解只能是由学生基于自己的经验背景而建构起来的，学生的学习只能由学生自己来完成。但“图形与几何”领域的教学内容具有抽象性，小学生对于该领域的学习是有一定的困难的。

根据皮亚杰的认知发展理论，我们知道小学生的思维模式处于具体运算阶段，思考的过程需要具体事物的支持。因此，在“图形与几何”领域中，一定要让学生多动手操作，借由具体的教学工具提高对抽象的知识点的掌握。

因此，强化课堂的数学活动设计显得至关重要。数学活动是小学课堂上学生数学学习的重要方式，让学生在活动中经历数学结论的发现、猜想、探究过程，是发展学生“四基”“四能”的必然過程。学生在数学活动中不仅有数学的发现，而且还能感悟数学思想方法、积累活动经验，形成数学思维能力及必备品格。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

在《平行四边形的面积》《三角形的面积》《梯形的面积》和《组合图形的面积》课时中，我们设计了方格纸测量法和剪拼法的数学活动。

通过活动参与，让学生自主探索平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的导出过程。经历亲身的具体实践，学生更易掌握抽象的公式，并且更能灵活运用公式解决实际问题。

在这场数学活动中，学生可有多种不同的剪拼法，我们不止追求发展学生的动手操作能力，更意图追求发展学生的多向思维能力，希望学生能在活动中找出多种剪拼方法。

在数学活动的最后，希望学生将具体的剪拼操作转化为几何思维中的割补法，达到从具体到抽象的深化。

4.融合信息技术，辅助知识理解

“图形与几何”领域知识点的抽象性和小学生的认知发展阶段决定了小学生不易掌握该领域的知识点。

而信息技术的发展使得教师能够通过视频动画、图片等方式对学生所要学习的“图形与几何”知识进行展示，这对促使学生深入理解知识点，提升学生学习热情与积极性均有非常重要的价值。利用多媒体可对抽象知识的重点、难点进行直观讲解，这对提升“图形与几何”领域的教学效率及学生学习成果均有非常重要的意义。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

在《平行四边形的面积》《三角形的面积》《梯形的面积》和《组合图形的面积》课时中，我们通过动画功能，使平行四边形、三角形、梯形在媒体上的分割、平移、旋转成为可能，最后三者通过这一系列操作变成一个长方形的整个过程变得直观形象，让学生更能理解面积公式的生成过程，帮助学生深入掌握知识，而不是死记硬背。

（二）改革评价方式

随着对评价研究的不断丰富与深入，人们越来越认识到评价在数学教育中的价值多元性。《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出，评价应以促进学生发展为目标。21世纪以来的数学课程改革，愈发强调评价对于学生发展的激励促进作用，而不仅仅是甄别作用。课堂评价是教学过程极为关键的环节，通过评价信息调节教师的教学行为，改善学生的学习状况，培养学生自主学习和合作探究的良好习惯。

尤其是在“图形与几何”领域中，学生有很多进行数学活动的机会。在这种课堂上，教师的评价对学生的学习更有促进作用。因此，改革评价方式尤为重要。

1.过程性评价和结果性评价并重

过程性评价作为新课程倡导的评价理念，区别于结果性评价。它采取目标与过程并重的价值取向，对学习的动机效果、过程以及与学习密切相关的非智力因素进行全面的评价。目前的教学改革要求我们应采取结果性评价和过程性评价并重的评价方式，改变一味追求分数的评价现状。过程性评价的实施过程应该包括以下几步：

（1）明确评价意图、确定评价目的

过程性评价要求我们既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展，以教学结果和教学过程为对象，充分发挥评价的诊断功能，使学生形成正确的学习目的，形成对数学学习积极的态度、情感和价值观。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

在这一单元中，本研究小组设置的评价目的是：①促进教学目标的实行，让学生更好地掌握知识点，包括认识平行四边形和梯形，掌握平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，能灵活运用割、补、移等方法和已学五种图形的面积计算公式来正确计算组合图形的面积，更好地渗透分类、数形结合等数学思想方法；②发展学生动手操作、交流表达和多向思维等能力，促进学生的数学学习热情；③让学生知道自己的不足处和薄弱点，进行反思和针对性练习，从而提高学习结果。

（2）确定评价内容、设计评价指标

从“数学学业成果”“数学学习表现”“数学思维品质”和“数学学习情感”四个维度出发分别来设计过程性评价量表，将这四个维度作为过程性评价的一级指标，在一级指标下分设二、三级指标和评价内容。根据《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》设立的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“实践与综合应用”四大内容模块的不同特点，可以针对性地深入设计评价内容。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

本单元隶属“图形与几何”模块，据此，我设计的评价内容如表2所示：

（3）选择评价方法、设计评价工具

根据评价主体的不同，可以将过程性评价分为自评、生评和师评三大类。在过程性评价中，我们应采用三者结合的方法，以便从不同的视角了解学生的实际情况。

过程性评价的工具除使用纸笔进行测试之外，更加强调使用质性评价的方法，如课堂观察、学习评价单等。由于任何一种评价方法与评价工具都不能完全评价出一个学生的全部素质与能力，所以对于学生学习的过程性评价，应当尽可能地采取多种评价工具。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

针对本单元，我设计评价方法和评价主体如表3所示：

（4）呈现评价结果、制定改进计划

在评价结果的呈现上，要将量化表述和质性描述有机地结合。不仅要关注评价结果的准确、公正，还要强调评价结果的反馈以及评价者对评价结果的“认同”，强调师生之间的双向沟通和协商。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

综上，经过前三个步骤的设计，我针对五年级上册沪教版数学《几何小实践》单元设计出了如表4所示的过程性评价单。

2.即時评价和延时评价共存

教学评价有很多种类型，至今没有明确的分类标准。即时评价和延时评价是近几年新提出的分支，对于这两者的定义纷繁多样。但可以确定的是，即时评价和延时评价都属于过程性评价。

课堂即时评价可以看做评价者对于学生个体或者群体的多维度的课堂表现情况，通过直接的反馈方式，做出即时性的价值判断。运用即时评价，可以：

（1）激发学习热情

正面的即时评价会激发学生探究知识的欲望，使学生变得更自信、更阳光，在师生之间、生生之间的对话互动中让学生慢慢变得更喜欢课堂、更喜欢数学。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

在《平行四边形的面积》课时的导入环节中，我们会问：“同学们，我们之前是如何计算不规则图形的面积的呢？”这时候，一定会有很多学生能回答：“借助方格纸。”我们可以选取平时不怎么发言的学生或者成绩不是很好的学生来回答这个问题。通过教师言语的肯定和鼓励，加强外部学习动机，促进学生的数学学习热情。

（2）帮助融入课堂

小学生的有意注意已开始发展，但是无意注意仍占优势地位，且持续性注意保持的时间还需要发展。这个特点决定了学生不可能完全在一节课中维持注意力，因此我们可以通过即时评价在学生晃神的时候将他们的注意力拉回来，集中在课堂上。

延时评价是一种在评价时机上与即时评价不同的评价方式，它强调为学生的探究、反思提供空间，使学生能够更加深入地进行数学思考，因而在评价时机上会适当延后。运用延时评价，可以：

（1）发展数学思维力

在课堂教学中，由于学生受思维定式的影响或对解决问题所需的知识储备不够，时常会发生学生不能及时正确地反馈教师提问的现象。在这种教学困境中，我们可以采用延时评价，给学生一点思考的时间，并通过语言提示，引导学生找到正确的方法，激活他们解决问题的数学思维。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

在《三角形的面积》课时的新授环节中，我们会让学生动手操作，通过两个三角形的拼接，让学生感知三角形面积和平行四边形面积之间的联系。这时候，如果学生找不到该联系，我们可以通过“这两个三角形通过旋转之后，能拼接成什么我们已经学过的图形”这种类似的提问促使学生进行深入思考，得到数学思维的发展。

此外，延时评价也能够发展学生的多向思维能力。灵活性是数学思维的重要体现，而在问题解决过程中则表现为理解、思考数学问题的多角度性与多层面性。课堂中采用延时评价，能发展学生的这种多向思维能力，挖掘他们数学思维的深度。

[案例：沪教版数学五年级上册第五单元“几何小实践”]

在《梯形的面积》课时的新授环节中，学生可能通过两个梯形拼接成一个平行四边形，也可能将平行四边形剪成两个三角形+一个长方形，或者剪成一个三角形+一个平行四边形等等方法来推导梯形面积的计算公式。此时，教师能通过“你们还能想到别的方法吗”“只有这一种方法吗”等类似的提问来促进发展学生的多向思维。

（2）保护学习积极性

学生的思维发展和教师并不在一个水平线上，很多时候，他们不能完全回答出教师想要的答案。若此时教师直接批评，对于学生的学习效率而言，是不利的。同时，在这个批评中，也让学生的思维发散性遭到了一定的打击，对于学生的学习积极性是不小的伤害。而延迟评价则很好的规避了这一风险，教师可以通过“我们下课再思考一下”“和同桌一起讨论一下”等类似的话语来保护学生的自信，让学生能够健康地成长。

三、研究成效

（一）学生获益，发展数学思维能力

1.从“具体”到“抽象”

根据皮亚杰的认知发展理论，我们知道小学生的思维模式处于具体运算阶段，思考的过程需要具体事物的支持。而“图形与几何”领域具有一定的抽象性。因此，我们旨在借由数学活动，通过具体的实物操作提高学生对抽象的知识点的掌握。

2.从“已知”到“未知”

充分考虑到学生的已有知识，通过优化教学设计，使学生能自主联系“旧知识”和“新知识”，以“旧知识”为土壤，在“旧知识”中生长出“新知识”，发展学生的知识迁移能力。

3.从“聚合”到“发散”

条条大路通罗马。不同于语文和英语，数学的答案是唯一的，但是解法却是多样的。对于学生而言，除了能正确解决问题，更要追求能灵活多样地解决问题。这有助于学生的发散性思维，有利于初高中更有难度的数学学习。

4.从“0”到“1”，直至“∞”

数学教学不仅仅是为了教会学生数学知识，更重要的是让学生自主建构数学知识；数学教学不仅仅着眼于让学生掌握某节课时的数学知识，更重要的是促使学生掌握数学思想和方法，着眼于未来，着眼于学生的终身发展。

（二）教师获益，促进专业发展

教学教学，教学相长，它是教师的“教”和学生的“学”两者所组成的双边活动。我们所有研究的目的是为了促进学生的学习和发展，但反过来，这个研究的过程也促进了教师的教学能力和教研能力。

1.立足整体，重视“思考过程”

试想，如果我们单纯只是为了得到正确答案，那么给出几个公式，孩子们都会套用，这样的课堂就失去了活力。所以整个单元设计，由四个主体活动构成，每个活动都为学生提供了广阔的学习和思考的空间，设计一个思维冲突，让学生去进行空间想象、有序思考、推理验证，用一系列指向思考能力的活动引出概念，加深对概念的理解，挖掘出学生的求知欲。教师在活动中只是一个引导者，合作者，把学生引领到学习探究的路上。

2.启迪思维，重视“方法评价”

学生数学思维能力一定是在平时的数学课程学习过程中逐渐积累形成的，因此除了活动的设计，加强对学习过程的评价显得尤为重要。制订评价目标，预设课堂情况，评价学习方法。方法不是一蹴而就的，有时由相关知识迁移而来，有时需要灵活变通，有时很接近了，但还需要调整和完善，用过程性评价来启迪学生的思维，唤起探索欲望，让学习思考真正发生。整个单元四个主活动，不是割裂的，用相同的策略去引导，从而形成思维习惯，久而久之就变成了一种稳定的思维品质。

四、问题思考

1.本研究是在分析本校个案后，通过经验总结得出的结论。这些教学策略是否对别的学校也有效，是否对所有学生都有效，是否对“图形与几何”外的领域也有一定效果？这值得我们深思，也值得未来进行深入研究。

2.本研究旨在通过优化教学设计和改革评价方式两方面，达到在“图形与几何”领域中，促进学生对知识点的掌握程度的目的。但教学设计和评价方式之间是否有交叉影响，又是如何互相影响的，本研究中并没有具体体现。在情况允许下，本研究小组将会在后续设置对比组进行参照实验。