考虑资源约束的预制构件多目标生产调度优化

秦 旋，房子涵，张赵鑫

(华侨大学 土木工程学院，福建 厦门 361021)

0 引言

装配式建筑是将建设的某些阶段从施工现场转移到工厂生产，并将预制构件运送至现场装配的工业化生产方式[1]，其建造过程借鉴了制造业的工业化流水式生产制造模式，实现了预制构配件的工业化流水生产和施工现场的机械化装配式建造，是一种高资源利用率和高标准生产管理的产业化过程。作为一种绿色可持续的建造方式，装配式建筑肩负了建筑业转型升级的重要使命。目前，由于装配式建筑预制构件的生产管理在很大程度上依赖过往经验，导致预制构件的生产过程出现了调度不合理、生产效率低、成本居高不下等问题[2]，合理安排预制构件的生产调度可以帮助企业安排生产，缩短工期，减少资源闲置和浪费，有助于预制构件的按时交付，节约运营成本，同时还可以有效应对建筑业经常发生的变更和赶工等紧急情况，最大限度地发挥企业的生产能力，实现效益最大化。因此，科学合理地制定预制构件的生产调度计划对于发展装配式建筑具有重要意义。

1 相关综述

预制构件生产调度在装配式建筑生产管理中占有重要地位。目前大多数预制构件生产企业在制定生产调度计划时仍然更多地依赖决策者的管理经验，这种不科学的生产管理计划降低了预制生产效率，延长了预制构件的交付等待时间，造成大量库存积压，损害了企业自身利益[3]。因此，有学者对预制构件生产调度模型展开研究，以寻找实际可用的生产调度方案。

CHAN等[4]认为预制构件生产虽然本质上属于流水车间调度问题(Flow Shop Scheduling Problem, FSSP)，但是实际上工人和生产过程都不可能24小时连续不断地进行生产，为了提高模型的实用价值，根据预制构件生产过程中工作时间和不同工序的生产工艺特征，创新性地建立了基于置换流水车间排序结构的预制构件生产调度模型，并采用遗传算法(Genetic Algorithm, GA)求解，该模型受到众多学者认可，随后在此模型上进行了改进研究。

为了更加贴近现实生产条件，一些学者引入资源约束条件来改进生产调度模型。LEU等[5]在文献[4]的基础上考虑预制构件生产车间中的起重机和劳动力约束，建立了以缩短生产完工时间为目标的优化调度模型；YANG等[6]结合多条生产线的实际情况对生产进度进行优化，考虑不同类型构件生产的转换成本，避免了在生产过程中预制件频繁更换构件类型的困扰；YIN等[7]提出一个以最小化生产成本为目标的生产调度方案，并将劳动力、库存等资源约束条件整合到模型中进行讨论；KHALILI等[8]建立了基于预制构件分组思想的混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming, MILP)模型，在有限的模具资源条件下力求降低模具成本(包括模具制造成本、模具使用成本、模具更换成本、模具转换成本和降低模具利用率的惩罚成本)，以求解最优生产计划；谢思聪等[9]提出预制构件企业生产参数的量化途径，采用基于多层编码的GA解决了预制构件生产调度优化问题；杨之恬[10]在分析装配式建筑预制构件生产过程的基础上，以流水式生产为车间的生产组织方式，研究并开发了一种预制构件生产过程优化管理系统来优化生产决策。

除了将资源约束纳入模型进行讨论，一些学者从生产流程的角度完善模型。WANG等[11]指出，文献[4]的模型只考虑了与生产直接相关的6道工序，忽略了储存和运输过程将导致预估的项目完成时间远小于实际完工时间。此后，WANG等[12]针对实际生产环境中存在的不确定性，提出一种基于GA双层模拟的混合预制构件生产模型，并采用离散事件仿真优化进度计划；KONG等[13]将现场装配纳入模型，指出装配式建筑的生产—运输—装配过程是一个统一的整体，并从单个机器批量调度问题的角度用动态规划思想寻找最大生产效率的解决方案；ANVARI等[14]也认为装配式建筑的生产—运输—装配需紧密联系，提出一种基于GA的多目标搜索技术来解决装配式项目的资源调度问题(相当于扩展的柔性FSSP)，以尽量降低工期和资源成本，同时最大限度地提高工作的安全性。

然而，上述研究缺乏对用于降低生产成本的最小化生产完工时间和及时交货这两个相互冲突目标之间的权衡，也未考虑预制构件生产调度过程中各类资源的实际约束情况。本文通过调研和分析装配式建筑预制构件生产过程，明确预制构件生产工序，根据生产是否连续等特征对每道工序进行分类，在此基础上考虑生产过程中的劳动力、生产线和模具等资源约束条件，建立以生产完工时间和惩罚成本为目标的多目标预制构件生产调度模型，并采用改进的共生生物搜索(Symbiotic Organisms Search, SOS)算法对所建立的数学模型进行优化求解，通过科学地安排生产顺序和合理地调配资源提高预制构件的生产效率，降低生产成本。

2 预制构件生产调度模型的构建

装配式建筑预制构件生产调度优化问题是建立在经典FSSP基础上的带有资源约束限制和生产工艺特征的新型生产调度问题，与传统的流水车间问题相比，有其建筑生产的特殊性，需针对生产过程中的流程工艺特征和资源约束条件进行分析，建立相应的数学模型并求解。

2.1 预制构件生产的流程工序

WARSZAWSKI等[15]认为预制构件的生产过程本质上属于流水车间生产调度问题，传统的预制构件生产调度模型以移动流水线生产系统为基础，以预制构件生产过程的特征为补充，对预制构件的直接生产过程进行建模，以优化预制构件的生产过程。

然而，传统模型的六道工序忽略了生产前的准备过程及生产后的储存运输等过程，导致模型不能很好地匹配实际生产，使调度结果无法高效地指导实际生产。因此，通过预制构件生产车间的实地调研和与生产车间专业从业人员的访谈，考虑到预制构件的整个生产供应过程，采用文献[11]的研究成果，将预制构件的生产过程归纳为模具/模台清理、模具组装、钢筋预埋件安放、浇筑、养护、拆模、成品修复、储存、运输9道工序，如图1所示。

2.2 预制构件生产的资源约束

预制构件生产过程中通常需要进行生产调度和资源配置两项基本决策，目前有关预制构件生产调度的研究常将这两个问题作为相互独立而非一个整体的系统问题进行讨论。而事实上，如果资源供给无法与生产调度计划匹配，则将得出无效的最优生产调度计划。因此，预制构件生产调度问题必须将资源约束纳入模型进行讨论，以弥补传统调度模型假设过于简单的情况，在综合考虑资源合理分配的条件下制定可行的生产调度计划。通常，预制构件生产过程所需的资源可以分为劳动力、生产线和模具3类。

2.2.1 劳动力资源约束

在预制构件生产过程中，劳动力的工作时间安排是影响完工时间的关键因素[16]。为使所建模型与实际生产过程一致，按照我国法律规定，将每个工作日的时间分为上班时间和下班时间。考虑到企业可以根据生产订单情况适当组织加班，又将下班时间再细分为可加班时间和休息时间。在正常工作时间内未完成的工作可以通过加班完成，但是超过加班时间还没有完成的，须等待第二天上班时间才能继续开工。

2.2.2 生产线资源约束

生产线的规划和布局被视为预制构件生产过程中的一种不可调整的资源，因为生产线建成后难以改变，即使预制构件的流水生产线拥有很大的制造空间，不同工位之间的缓冲区空间仍然有限，所以缓冲区空间被视为生产线的约束限制[17]，是预制构件生产调度优化研究的重点。

传统模型假设工位之间的缓冲区空间是无限的，将预制构件生产流程视为连续的流水作业。在实际生产中，因为预制构件的尺寸较大，各工位之间的缓冲尺寸有限，所以构件j在第k道工序上的完成时间重新表述为

C(Jj,Nk)=max{C(Jj-1,Nk)+

WTj-1,k,C(Jj,Nk-1)}+Pj,k。

(1)

式中：Jj为编号为j的构件，Nk为第k道工序的加工工位，Pj,k为预制构件j在第k道工序上的加工时间；WTj-1,k为第j-1预制构件在第k道工序中准备送往缓冲区的等待时间，

(2)

式中Bk为第k个工位与k+1个工位之间的缓冲区空间。当第j个构件在第k道工序的完成时间大于等于第j-Bk个构件在第k+1道工序的开始时间时，缓冲区空间Bk没有被完全占用，否则会因缓冲区空间不足而产生等待时间。Bk由流水线工位间的空间布局决定。

2.2.3 模具资源约束

影响预制构件生产的另一个关键因素是模具的数量[18]。所有预制构件的生产都必须依靠模具，通常为钢模，由于钢模制造成本昂贵、通用率不高及生产空间的限制，模具类型和数量有限，预制构件在生产过程中通常需要等待上一批构件释放模具，从而产生模具等待时间。

在安排生产计划时，模具按照预制构件的生产顺序分配，由于模具数量有限，不能每个预制构件都配备一副模具。例如图2中，1号预制构件和3号预制构件均采用A型模具生产，由于A型模具数量有限，只有在1号构件完成拆模，A型模具释放出来后，才能用其继续制作3号构件。j号构件等待α型模具的时间为

C(Jj,α,N0)=minXα{∀y{C(Jy,α,N5}}。

(3)

式中Xα为α型模具的数量。

2.3 预制构件生产的工序分析

根据预制构件生产过程中每道工序的特征，可分为可中断工序和不可中断工序。可中断工序即在工作开始后，如果不能在正常工作时间内完成，则允许暂停并在下一个工作日继续；不可中断工序一旦开始便不能被打断，直至工作完成。两种工序完成时间的计算方式不同，下面分别进行介绍。

2.3.1 可中断工序

图1中的清理工作、模具组装、安放钢筋预埋件、拆除模具、成品修复5个工序，都属于可中断工序，预制构件j在第k道工序(工位)上的完成时间为

(4)

式中：k=1,2,3,6,7；HW为日常正常工作时间；HM为日常非正常工作时间；D为工作日，D=Integer(T/24)，24D为除最后一天外的全天工作总小时数，T为累计完成时间，

T=max[C(Jj-1,Nk),C(Jj,Nk-1)]+Pj,k。

(5)

2.3.2 不可中断工序

(1)混凝土浇筑

混凝土浇注过程是一项不可中断的工序。如果在规定允许的加班时间内可以完成工作，则工人必须加班完成浇筑后才能下班，否则浇筑过程必须推迟到下一个工作日。综上所述，浇筑过程的完成时间为

C(Jj,Nk)=

(6)

式中：k=4；HAL为允许的加班时间，且HAL

(2)养护工序

与上述情况不同，养护虽然是一项不可中断的工作，但是基本上不占用任何劳动力资源。混凝土浇筑完成后，不同种类预制构件在空间允许的情况下可以同时进行养护，因此养护被认为是一个并行而非相继的工作过程，养护过程的开始时间仅取决于工件在前一道工序(即浇筑)的结束时间，即

T*=C(Jj,N3)+Pj,4。

(7)

如上所述，即使在下班时间进行养护也不会增加额外的加班成本，因此养护过程的完成时间可以修改为

C(Jj,Nk)=

(8)

式中k=5。

(3)储存工序

储存过程被视为一种并行活动(多个工件可同时进行)，几乎不占用任何劳动力资源，因此储存过程的开始时间仅需考虑上一个工序(即成品修复)的完成时间，而储存过程的完成时间取决两点：①预制构件的强度必须满足吊装运输的要求；②配合预制构件的运输方案。运输方案根据当地的交通规定和企业运输计划大致分为白天运输、夜间运输(22∶00之后)、全天运输(早晚均可运输)3种。

对于白天运输，如果储存工序的完成时间超过工人的正常工作时间，则存储工序的完成时间需推迟到下一个工作日的工作开始时间。对于全天运输，储存工序的完成时间的计算方式与养护过程类似，即

C(Jj,Nk)=

(9)

式中：k=8；T*=C(Jj,Nk)+Pj,k。

另一种情况是，根据地区道路交通法的规定：如果预制构件的高度、体积、重量超过一定限制，则只能在22∶00以后运输，以免影响交通。因此，对于只能在夜间运输的大型预制构件，储存工序的完成时间无需等到第二天，可以直接在非工作时间(加班时间)完成并立即开始进行运输工序。储存完成时间

C(Jj,Nk)=T*=C(Jj,Nk-1)+Pj,k。

(10)

式中k=8。

(4)运输工序

运输过程的完成时间取决于订单中预制构件的交付时间。在夜间运输的情况下，如果存储过程在22∶00之前结束，则预制构件运输的开始时间从22∶00开始；如果存储过程在22∶00之后结束，则在运输能力足够的情况下，可以直接将预制构件运到施工现场。因此，夜间运输的完成时间

C(Jj,NK)=

(11)

式中：k=9；I=Integer[C(Jj,N8)/24]。

白天时，储存工序结束后立即进行运输，如果在允许的加班时间内依然无法在本工作日送达施工现场，为了降低加班成本，运输工序将延期到下一个工作日进行。综上所述，白天运输完成时间表述为

C(Jj,Nk)=

(12)

式中k=9。

全天运输即企业允许加班运输，或者在订单紧急情况下企业允许在任何时间进行运输，因此可以在储存工序完成后不受时间限制立即进行运输工序，则完成时间

C(Jj,Nk)=T*=C(Jj,Nk-1)+Pj,k。

(13)

式中k=9。

2.4 预制构件生产调度的目标函数

预制构件的生产调度面临多种目标的挑战，通常工期和成本是建筑业生产过程中最关注的目标，因此模型的优化目标可用生产完工时间(Makespan)和惩罚成本评估。其中，生产完工时间又称最大完工时间，表示完成所有作业所需的时间，即

f1(σ)=Cmax=C(Jn,Nm)。

(14)

式中：n为加工的最后一个构件；m为生产的最后一道工序，在本模型中m代表运输工序。

另一个惩罚成本是考虑最小化延迟交付造成的工期和资源损失，以及提早交付造成的额外库存成本，以实现准时生产(Just in Time, JIT)的目标。因此，惩罚成本由延迟成本和提前交付的库存成本两部分构成，即

(15)

式中:dj为作业j的期望完成时间；τj为预制构件j延迟交付的单位损失成本；εj为预制构件j提早交付造成的额外单位库存成本。

综上所述，本章主要从整个预制构件生产供应的角度对预制构件生产流程进行分析，并将生产过程中的资源约束纳入预制构件生产调度模型中，除了将不同工位之间的缓冲区空间和模具的类型与数量作为两个资源约束条件外，还将劳动力的工作时间分为正常工作时间、可加班时间和强制休息3种情况。最后，提出将生产完工时间和惩罚成本两个目标作为模型优化的评价准则，建立预制构件生产调度数学模型。

3 多目标预制构件生产调度优化问题的求解

FSSP是典型的NP-hard难题，而置换流水车间调度问题(Permutation Flow shop Scheduling Problem, PFSP)为最典型的流水车间问题，具有很高的工程应用价值。目前尚未发现有效的多项式时间优化算法，因此PFSP一直是工业和学术研究的重点关注课题。

预制构件生产调度模型以置换流水车间模型为基础，综合考虑了预制构件生产过程中的工序特征和资源约束等条件，并以最小化生产完工时间和惩罚成本为目标。本文设计了一种基于多目标的混合共生生物搜索(Multi-Objective Hybrid Symbiotic Organisms Search, MOHSOS)算法对模型进行优化求解。

3.1 预制构件生产调度模型多目标的处理

研究拟同时以最小化生产完工时间与惩罚成本为目标评估预制构件生产调度计划，数学规划模型如下：

minz=(f1(x),f2(x))。

s.t.

x∈X。

(16)

式中：z为目标向量；x为决策向量；X为可行区域。

本文采用线性加权法将多目标转化为单目标[19]进行优化求解。这种优化方法通过最小化目标空间到目标向量的距离[20]，转换得到适应度函数

f(x)=w1f1(x)+w2f2(x)。

(17)

式中：w1和w2为正权值，且w1+w2=1；f1(x)是式(14)中得到的Makespan函数，f2(x)是由式(15)计算的惩罚函数。

在转换过程中，单个目标的权重可以由固定权重或随机权重确定。为给决策者提供具有较高灵活性和多样性的解决方案，本文采用随机权重的方式。随机权重的计算公式为

(18)

式中ri为[1，2]之间的随机正整数。

在多目标优化问题中，因为目标值分布在不同范围内，所以在加权和运算前需要对其进行归一化处理。COCHRAN等[21]采用迭代中的最优适应度值对目标函数值进行归一化处理。将式(17)修改为

(19)

3.2 多目标混合共生生物搜索算法

与其他智能算法相似，SOS算法[22]在实际运用中出现了求解复杂问题时精度低、搜索后期种群多样性受损、容易陷入局部最优等缺陷。因此，在应用SOS算法求解实际问题时，应该根据问题的特征对算法进行进一步改进。

本文基于SOS算法与局部搜索策略，结合所建立的多目标预制构件生产调度模型的特征和约束，提出多目标混合共生生物搜索MOHSOS算法来搜寻预制构件生产的最佳调度计划：①通过NEH(Nawaz-Enscore-Ham)启发式算法与随机生成方式生成一组质量较高的初始种群，并识别出种群中的最优生物体；②使种群中的每个个体依次经历互惠、共栖、寄生阶段，然后采用交换变异提高种群的多样性来避免算法过早收敛，采用插入—倒转区方法产生强力突变帮助算法跳出局部最优；③通过局部搜索策略提高算法的全局探索能力，从而提升算法性能。

通过3个最常用、最专业的标准测试集Carlier，Reeves和Taillard，对所提MOHSOS算法的性能进行测试，结果显示：MOHSOS算法在解决多目标PFSP上具有更好的稳定性，变异算子在优化过程中对解决方案的改进，使得算法在处理高维度大规模的案例研究时仍然具备稳定高效的性能。此外，所提出的局部搜索策略提高了SOS算法的探索能力。

MOHSOS算法流程如图3所示，具体步骤如下：

步骤1编码。以生产5个预制构件(生物体)为例，采用随机密钥的编码方式，以0～1之间的随机值大小作为预制构件调度排序的优先级，根据最大排列值法[23](Largest Rank Value, LRV)将种群中表示生物体的一组连续随机值降序排列为离散的工作排序。

步骤2初始化种群。采用NEH启发式算法生产一组较高适应度值的生物体以提升搜索效率，剩余的生物体均通过随机方式生成以保证种群多样化。最终的生态系统种群由p种生物体组成，每个生物体的维度为m，组成的生态系统种群由一组p×m的向量表示。

步骤3计算目标函数和适应度。分别按照式(17)～式(19)计算目标函数和生态系统种群中生物体的适应度。

步骤4SOS算法。①互惠阶段，从生态系统中随机选择两种生物体Zi和Zj进行相互作用，得到新生物体种群MZ2p×m；②共生阶段，生物体Zi和Zj(i≠j)通过共生作用得到新生物体种群CZp×m；③寄生阶段，假设生物体是蚊子Zi，寄生虫通过随机选择维数复制母体Zi而产生一个“寄生载体”(Parasite Vector, PV)，生物体Zj则被赋予了人类的角色，对PV和Zj的适应度值进行比较后得到新生物体组成的种群PZp×m。

步骤5选择。利用步骤3评估ZTotal中所有染色体的适应度值，将ZTotal中的所有生物体按适应度值大小降序排序，只选择前p×m矩阵作为下一代生态系统中存活下来的生物体。

步骤6改进策略。

(1)变异方式 ①交换变异使算法在迭代过程中始终保持较高水平的种群多样性；②插入—倒转区操作在种群中产生强有力的变异以增强算法跳出局部最优的能力。

(2)局部搜索策略 对每一次移动产生的新工作排序，并计算适应度值，当新排序的适应度值小于最优生物体的适应度值时，将该排序替换更新为最优生物体。

4 工程案例分析

4.1 项目概况

以福建省某装配式高层住宅项目的预制构件生产为研究对象，该项目的建筑面积为13 905.60 m2，建筑层数为30层，预制率高达47.38%，其中除了1～3层和顶层(30层)采用现浇结构，4～29层均采用预制装配式结构，应用的多种预制构件类型包括预制外墙板、预制内墙板、预制叠合板、预制阳台板、预制梁、预制楼梯。该项目是本市首个通过工业化认定的建筑项目，也是福建省目前预制率最高的商品房项目。

通过对预制构件生产车间进行实地调研和专家访谈，得到项目某生产批次中包括预制构件的类型、模具的类型和数量、每道工序的加工时间、每种构件的交付时间，以及提前或延迟交付成本惩罚系数等数据信息，预制构件生产调度模型调查数据如表1所示。在这一批次的10个预制构件生产中，使用了A，B，C 3种模具，其中A和B模具各有2个，C模具有1个。预制构件的生产调度有10！种可能的排序方法。需要注意的是：即使为同一类型的预制构件，生产时间也不可能完全相同，因此研究所采用的数据均为多次观察生产线记录下来的平均时间。同时，根据企业的实际生产情况，工作日的正常工作时间(HW)和非工作时间(HM)分别设置为8 h和16 h，每个工作日的加班时长(HAL)不能超过4 h。因为加班的劳动力成本比正常工作时间加倍，所以只有在不可中断的工序或工期紧张必须赶工的情况下才安排加班。根据预制构件生产车间的调研信息，将工位之间的缓冲区空间设置为5。

表1 生产调度模型数据信息

4.2 考虑资源约束的单目标优化

4.2.1 最小化生产完工时间

本节以最小化预制构件的生产完工时间为目标，根据所建立的预制构件生产调度模型进行求解，而且分别考虑了白天运输、晚间运输和全天运输3种交通运输模式。在本实验中，设置种群大小为100，迭代次数为30，实施变异操作的概率为0.1，局部搜索概率为0.05。

经过MATLAB模拟仿真，得到全天运输、白天运输、晚上运输的最优调度方案如表2所示。以全天运输为例，最优调度的生产排序方案为3-7-8-1-5-2-6-10-9-4，最小生产完工时间的调度计划甘特图如图4所示,No.1～No.10为编号1～10的预制构件。可以看出，在生产第1个预制构件时，除第1道工序外，其他工序(工位)的机器都要等待第1个预制构件的前一道工序生产完毕，由此产生机器空闲时间。另外，当工位上在加工完一个预制构件但没有新的预制构件进入预制该工位时，也会产生空闲时间。

表2 最优调度方案信息(完工时间)

以往研究忽略了缓冲区空间对生产的影响。为了验证缓冲区大小对调度结果的影响，将工位之间的缓冲区空间设置为1～10十种情况进行讨论，并以全天运输的情况为例对模型进行模拟，运算结果如表3所示。可见，预制构件生产系统所需的缓冲区空间大小为2。对于编号1和2的情形，实际缓冲区空间等于或小于所需的缓冲区空间，完工时间明显增加；对于编号3～10的情形，由于大于所需的缓冲区大小，所以缓冲区空间对完工时间没有影响。因此，在实际生产过程中应尽量保证实际的缓冲区空间大于所需的缓冲区空间。

表3 缓冲区大小对完工时间的影响

4.2.2 最小化惩罚成本

本节依旧考虑白天运输、晚间运输和全天运输3种运输模式，将优化目标修改为最小化惩罚成本进行优化调度。算法的参数设置与4.2.1节相同。经MATLAB模拟和仿真，得到全天运输、白天运输、晚上运输情况下的最优调度生产信息，如表4所示。

表4 最优调度生产信息(惩罚成本)

同样以全天运输为例，以最小惩罚成本为目标的优化迭代过程如图5所示，目标函数值(惩罚成本)随迭代次数的增加而减小，最终趋于稳定，得到惩罚成本最少的解决方案。图中表示迭代过程中最佳适应度值(惩罚成本)的变化，是通过种群中个体的差异性(方差)表示的迭代过程中种群中的多样性。可见，因为初始种群采用NEH启发式算法生成一个生物体，所以在第一次迭代就产生了一个质量不错的解，第11次迭代时基本上已经收敛完毕，也体现出了HSOS算法收敛快、效率高的优势。另外，由于算法中加入两种变异操作和局部搜索策略等改进手段，即使在算法已趋收敛的情况下，种群仍然具有较高水平的差异性()，即种群中仍然保持了较高的多样性，可以避免陷入局部最优，证明本文的改进技术的确能够明显改善SOS算法的性能。

最终得到的最优调度的排序方案为9-3-10-5-7-4-2-6-1-8，图6所示为该方案的调度排序甘特图，其惩罚成本最小。图中9号构件是第一个被加工的预制构件，最后一个完成的预制构件是1号构件和8号构件(完成时间最长)。

实际生产中企业通常根据订单，以准时交付(最小化惩罚成本)为目标进行调度。根据现场观察和访谈得知，车间管理人员制定的实际生产顺序为9-7-8-1-4-10-6-2-5-3，实际生产计划与优化后的生产计划如表5所示。可以清晰地看出，优化后的惩罚成本减少了(967-727)÷967=24.8%，完工时间减少了0.5 h；预制构件生产的总延误时间从24.5 h缩短到1.0 h；预制构件生产的总库存时间由675 h缩短到554.5 h，优化减少约18%。由此可以证明预制构件生产调度模型优化结果的有效性。

表5 优化前后的生产计划对比

4.3 多目标优化

本节同时以完工时间和惩罚成本为优化目标对模型进行求解。仍然以全天运输条件为背景，采用MOHSOS算法进行多目标优化调度。本节实验中，设置种群大小为100，迭代次数为30，实施变异操作的概率为0.1，局部搜索概率为0.1，优化最终得到7个Pareto最优解。为了更好地验证算法在多目标调度模型中的性能，将MOHSOS算法与GA进行比较。公平起见，GA的参数设置参考MOHSOS算法，即将种群大小为100，迭代次数为30，实施变异操作的概率为0.1，两个目标权重均为0.5，优化后得到如图7所示的7个潜在的Pareto最优解。经过验证，最终识别出5个Pareto最优解。

引入准确率和空间距离两个指标对两种算法得到的Pareto最优解质量进行评估，如表6所示。从表7的多目标优化实验结果对比可知，相对于GA，所提MOHSOS算法得出的非劣解拥有更好的准确率，同时解的质量也更高，从而证明了MOHSOS算法在求解预制构件生产调度多目标优化问题上的有效性。

表6 检验指标释义及计算

表7 多目标优化的实验结果对比

表8所示为MOHSOS算法优化后得到的Pareto最优解。可见，随着完工时间的增加，惩罚成本逐渐降低，在保证质量的前提下，工期和成本相互影响、相互制约。当企业接到紧急生产订单时，可以选择优化后完工时间小的Pareto最优解(靠近Y轴的解)作为生产计划进行调度，以一定的成本为代价满足紧急情况下完工时间的要求；当企业交货时间充裕时，可以考虑选择靠近惩罚成本小的Pareto最优解(靠近X轴)作为生产计划进行调度排产，以减少因提早或延迟交付造成的损失，从而降低生产成本，提升企业效益。

表8 多目标优化的Pareto最优解 h

5 结束语

本文从整个预制构件供应链的角度对传统的生产调度模型进行改进，丰富了装配式建筑预制构件生产调度优化问题的理论基础，进一步完善了预制构件生产调度模型。然后，考虑生产过程中的劳动力、缓冲区空间和模具等资源约束，根据实际工程需求提出最小完工时间和最小惩罚成本两个目标作为模型的优化评价准则，依此建立了预制构件生产调度的数学模型。最后，设计了一种改进的元启发式算法——MOHSOS算法对所建立的预制构件生产调度模型进行优化求解，为解决生产调度问题提供了一种新的思路，而且通过装配式住宅项目实例验证了模型和算法的有效性。

未来研究可以将生产过程中可能发生的突发状况(机械故障、模具损坏、预制构件不合格)纳入模型进行讨论来增加模型的柔性，以更加贴近真实的预制构件生产情况。另外，本文对多目标优化采用传统线性加权法的思路进行求解，后续研究可采用其他求解多目标优化的思路对算法进行改进。