非零横截面亥姆霍兹线圈的中心轴向磁场*

安靖婕 张露妍 赵品彰 / 江苏省计量科学研究院

0 引言

在电磁相关的科学或工程研究领域，亥姆霍兹线圈是一种常见的仪器设备，能够产生可计算的静态或者交流磁场，应用于地磁场的测量及补偿[1]、电磁场的模拟[2]、弱磁场测量仪器的校准[3][4][5][6][11]、电磁兼容抗扰度试验[7]等方面。文献[8][9]表明，在亥姆霍兹线圈中心附近的一定空间内，磁场均匀，这种特性对于弱磁仪器的校准和电磁兼容抗扰度试验非常重要。

亥姆霍兹线圈中心轴向磁场的精确计算是应用的基础。以圆形亥姆霍兹线圈为例，文献[3][4][10]分析了影响中心轴向磁场测量准确度的各个因素，包括线圈机械尺寸（半径、间距）误差、馈入电流的量值误差、导线匝数误差、频率上限等。在计算中心轴向磁场强度和分析误差时，将线圈视作圆形电流环，横截面积相对线圈直径近似为零，可简化计算过程；实际上，当线圈匝数较多且电流较大时，横截面积会影响中心轴向磁场的计算结果，尤其在应用亥姆霍兹线圈产生校准用的精密标准磁场时，这一影响更应被重视，本文将对此展开论述。

1 圆形电流环轴线上的轴向磁场

如图1所示，假设有一个圆形电流环，环的横截面积远小于相对环半径，以它的中心为原点O建立直角坐标系，x轴穿过原点并与圆环平面垂直，则在x轴上靠近原点的某一点P(xP,0,0)沿x轴方向的磁场强度Hx(xP,0,0)可用式（1）计算：

图1 圆形电流环示意图

式中：Hx(xP,0,0) —— 磁场强度，A/m；

r—— 圆环的半径，m；

xP——P点的x轴坐标值，m；

I—— 导体中的电流值，A

2 亥姆霍兹线圈的中心轴向磁场

如图2所示，圆形亥姆霍兹线圈由一对线圈平行共轴放置而成，两个线圈的匝数分别为N1和N2，半径分别为r1和r2，两个线圈之间的间距为d，导线中的电流为I，且方向相同。根据亥姆霍兹线圈的定义，应满足N1=N2=N，r1=r2=r，d=r。现在以亥姆霍兹线圈的中心为原点O建立直角坐标系，x轴穿过原点并与线圈平面垂直。假如不考虑线圈的横截面积，将其视为电流环，参考式（1），亥姆霍兹线圈在靠近原点的x轴上一点P(xP,0,0)沿x轴方向产生的磁场强度为

图2 亥姆霍兹线圈示意图

则在原点沿x轴方向产生的磁场强度HC可通过式（3）计算，式（3）被称为经典公式：

当线圈匝数较多时，无法忽视横截面积对中心轴向磁场数值的影响。用xOy平面将线圈切开，得到图3所示的横截面，称之为非零横截面。将此横截面近似为矩形，假设其x轴方向的边长为2b（宽度），y轴方向的边长为2a（厚度）。在线圈绕制过程中，多匝导线之间存在间隙（如图4所示），在绕制足够紧密的条件下，导线间隙很小，甚至可以被忽略，则横截面内的等效平均电流密度

图3 非零横截面

图4 横截面示意图

图3中，在第一象限的横截面内找到一点A（xA,yA），则在第二象限的横截面内可以找到一点B（xA-d,yA），AB与x轴平行且A与B之间的距离为d；在第三象限的横截面内可以找到一点C（xA-d,-yA），B与C相关于x轴对称；在第四象限的横截面内可以找到一点D（xA,-yA），D与A相关于x轴对称。如果将A、B、C、D四个点视为线圈横截面微元，则四个微元构成了以x轴为中轴线的亥姆霍兹子线圈横截面，而子线圈的中心点在原点附近沿x轴移动。

基于该思路，将亥姆霍兹线圈横截面分割成图5所示的微单元网格，第一象限的横截面内的每一个电流微元λe·dxdy，在另外三个象限的横截面内总能找到对应的微元，与之组成亥姆霍兹子线圈横截面；众多子线圈在原点附近沿x轴方向的磁场强度之和，即为非零横截面亥姆霍兹线圈中心的真实磁场强度HC，基于式（2）得到：

图5 横截面网格图

假如应用式（3）计算亥姆霍兹线圈中心轴向磁场强度，相对误差为

当横截面相对线圈半径的尺寸，即a/r与b/r的值在0.05～0.25间变化时，根据式（6），可以计算得到不同的相对误差值，对应关系如图6所示。从图6中可以发现，假如忽略亥姆霍兹线圈的横截面积应用式（3），横截面厚度（2a）引起的误差要大于横截面宽度（2b），当a/r=0.05，b/r=0.25时，误差为0.1%；而当b/r=0.05，a/r=0.25时，误差可达0.5%。

图6 横截面尺寸对中心磁场的影响

3 结语

通过数值计算分析了横截面尺寸对于圆形亥姆霍兹线圈中心轴向磁场强度的影响。由此得出结论：当线圈匝数一定时，应尽可能增大横截面宽度，减小横截面厚度，应用经典公式计算亥姆霍兹线圈中心的轴向磁场强度时，误差才能得到有效控制。下一步工作的设想是研制一组实物线圈对理论研究结果进行验证，难点在于机械加工精度的把控，以及找到一款准确度高、体积小的商用磁场探头。