拟完全图的秩、正负惯性指数和零度

姜娟 王龙

摘 要：图G的正惯性指数、负惯性指数和零度分别指其邻接矩阵A（G）中所有正特征值、负特征值和零特征值的个数，分别记为p（G），n（G），η（G）.本文给出拟完全图的秩、正负惯性指数和零度.

关键词：秩;正负惯性指数;零度;拟完全图

[中图分类号]O157.6   [文献标志码]A

Abstract：The positive inertia index p（G）， the negative inertia index n（G） and the nullity η（G） of G are respectively defined to be the number of positive eigenvalues，negative eigenvalues and zero eigenvalues of A（G）.The rank，positive and negative inertia indices and nullity of quasi-complete graphs are determined in this paper.

Key words： rank;positive and negative inertia indices;nullity;quasi-complete graph

图G的秩指其邻接矩阵A（G）的秩，本文只考虑无环无多重边的简单无向图.记G=V（G），E（G）是一个点集、边集分别为V（G）=v1，v2，…，vn，E（G）的n阶图.图G的邻接矩阵记为A（G）=（aij）n×n.其中，如果vi和vj相鄰，则aij=1，否则aij=0.邻接矩阵A（G）的秩为图G的秩，记为r（G），邻接矩阵A（G）的特征值为图G的特征值.图G中所有正特征值的个数、负特征值的个数、零特征值的个数分别称为图G的正惯性指数、负惯性指数、零度，分别记为p（G），n（G），η（G）.显然有p（G）+n（G）=r（G），p（G）+n（G）+η（G）=v（G）.

完全图指每一对不同顶点间都有边相连的无向图，n阶完全图常记作Kn.若图G去掉一个点后成为一个完全图，则称图G是拟完全图.在图G中与点u相邻的点的集合称为u的邻域，记为NG（u）.由图G顶点的一个子集和图G中两端均在该子集的所有的边的集合组成的图，称为G的导出子图.

在化学中，一个分子化学性质的稳定性与其对应分子图的零度有着密切的联系.Collatz和Sinogowitz[1]提出刻画所有奇异的图，即刻画所有零度大于零的图.Haicheng Ma[2]等讨论了树、单圈图、双圈图的正负惯性指数和零度，给出了计算方法，并提出了一个关于图的符号差的重要猜想. 彭杨[3]、王君帅[4]等刻画了几类正惯性指数为2的图和完全图的强边色数.本文完全刻画了拟完全图的秩、正负惯性指数和零度.

参考文献

[1]Bo Cheng，Bolian Liu.On the nullity of tricyclic graphs[J].Linear Algebra and Its Applications，2011，434（8）：1799-1810.

[2]Haicheng Ma，Wenhua Yang，Shenggang Li.Positive and negative inertia index of a graph[J].Linear Algebra and Its Applications，2013，438（1）：331-341.

[3]彭杨，耿显亚，朱娜.几类正惯性指数为2的图的刻画[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2021（1）：1-6.

[4]王君帅，马登举.完全图Km与路Pn的笛卡尔积的强边色数[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2017（2）：27-30.

[5]D. Cvetkovie'，M.Doob，H.Sachs.Spectra of Graphs-Theory and application[M].New York：Academic Press，1980.23-25.

[6]Long Wang，Yi-Zheng Fan.The signature of line graphs and power trees[J].Linear Algebra and Its Applications，2014，448：264-273.

[7]Dein Wong，Min Zhu，Wenping Lv.A characterization of long graphs of arbitrary rank[J].Linear Algebra and Its Applications，2013，438（3）：1347-1355.

编辑：琳莉