关于黎曼积分概念的教学思考

高大鹏 朱秋蓉

[摘           要]  微积分是普通高等院校理工类专业一门重要的基础课程。黎曼积分不仅是微积分学研究的核心对象，还是研究其他各类学科重要的辅助工具之一。基于教学经验，对学生怎样掌握这一部分内容提出一些思考。

[关    键   词]  黎曼积分;概念;教学

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2021）31-0046-02

一、研究背景

在我国古代时期，刘徽提出的割圆术就开始孕育了积分思想。在公元前7世纪，古希腊数学家在求解曲线长、曲边形面积及曲面体的体积时也含有积分思想。积分经过欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等著名数学家研究奠基后，直到17世纪初，英国牛顿从运动学出发，由力学创造流数学（微积分），同时期，德国莱布尼茨从几何学出发，由研究曲线的切线问题创立了微积分。但初创时期的微积分缺乏严格的基础，所以难免存在缺陷。19世纪，柯西通过研究得到连续函数一定存在积分的结论，随后，黎曼发现具有有限个间断点的不连续函数也存在积分，进而黎曼将柯西积分中的连续函数推广到了有界函数，并定义了黎曼积分，这在很大程度上完善了积分严谨的逻辑基础及定义。

二、黎曼积分的定义及几何意义

从求曲边梯形面积S的具体实例中可以看出，该问题可通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决。忽略该问题的几何背景，可得到如下函数f在[a，b]上黎曼可积的定义。

从这个定义来看，黎曼积分首先是对函数f的定义域进行任意分割T，在分割后的每个小区间[xi-1，xi]上任意取点ξi∈Δi所得的积分和在分割的细度‖T‖→0时有唯一的极限值，则函数f黎曼可积。根据此定义来判断一个函数是否黎曼可积，难度是很大的。原因在于黎曼积分定义中两个任意的要求。其一，要求对函数的定义域分割的任意性，其二，要求分割后每个小区间上取点的任意性。这两种任意性导致我们对一个给定函数f在其定义域[a，b]可得到无穷多种积分和，我们不可能将无穷多种积分和一一列举出来再考察其在分割的细度‖T‖→0时是否有唯一的极限。为此，我们需要建立更简单易检验的关于函数黎曼可积的判定定理（例如由达布和描述的关于函数黎曼可积的充要条件）。但反过来，如果已知函数f在某区间[a，b]上黎曼可积，我们可以对该函数在其定义域上作特殊的分割得到一个特殊的积分和，求出该积分和在分割的细度‖T‖→0时极限即为函数f在区间[a，b]上的定积分值。同时，这种方法往往也为求数列极限提供了一种思路。请看下面的例子：

三、教学思考

黎曼积分概念的教学是微积分课程教学的一个重点和难点。为深刻理解函数f在[a，b]上黎曼可积的定义，笔者认为应该做好以下五个方面的准备工作。

1.读。在学习本节课内容之前，应该让学生预习。尤其是阅读并理解曲边梯形面积和变速运动物体运动路程的求解方法。深刻理解对连续函数在局部范围内“以直代曲”“以匀代非匀”的思想，为定积分概念的引入做好铺垫工作，也为后续学习定积分的应用问题打下基础。

2.思。在充分阅读并理解定积分概念提出的背景后，学生应该思考如果忽略具体问题的几何背景和物理背景，应该如何提出函数黎曼可积的概念呢？首先对函数应该有什么要求呢？对于一个给定的函数有多少种积分和呢？等问题，这对培养学生严密的逻辑思维能力和创新能力有显著作用。

3.讲。在学生阅读思考的基础上，教师应该就定积分概念中的关键问题逐一解释清楚。比如，就分割T的细度的理解而言，教师应借助图示帮助学生理解分割T给定，则细度‖T‖随之确定，但‖T‖确定，对应的分割却有无限多个。就积分和而言，一个给定函数在给定区间的积分和与哪些因素有关？事实上，积分和不仅与分割T有关，还与在分割给定之后每个小区间上的取点有关。因此，积分和有无限多种。就极限过程而言，只有在等分分割区间时，‖T‖→0才能用n→∞来代替。就定积分作为积分和的极限这个概念而言，我们把这个极限理解为函数的极限。因为，在函数极限f（x）中，对每一个极限变量x来说，f（x）的值是唯一确定的。而对于积分和的极限来说，每一个‖T‖并不唯一对应积分和的一个值，这使积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多。另外，根据定积分的概念，定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数f及积分区间[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关，这一点是定积分与不定积分的重要区别。

4.练。众所周知，数列极限的求法很多。用定积分的概念求数列极限是一种重要的方法。教师在课堂上讲解了该方法的思想和要领后，应要求学生完成一些相关的变式练习，加深对这种方法的理解和运用。

5.问。通过教师对黎曼积分概念的讲解后，学生或许还有一些没有理解或认识不深刻的知识点，这就需要学生在课下和同学多讨论、交流。另外，教师要鼓励学生充分利用丰富的互联网资源，多看一些线上精品课程及其他相关教材，弥补教师课堂上讲解的不足。

教学作为一种双边活动，教师和学生需要积极配合才能达到良好的教学效果。数学概念的讲解作为数学课程的一个难点，教师和学生都感到比较吃力。本文以黎曼积分概念的教学为例，从自己的实际教学经验出发，提出了自己的几点思考。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.數学分析上册（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]张永立，黄芳，王学军，等.勒贝格积分与黎曼积分的关系[J].焦作师范高等专科学校学报，2020，36（1）：70-73.

◎编辑 马燕萍