求函数值域的三个途径

孙晓荣

求函数的值域问题是高中函数中的一个重要问题，不仅考查了函数的解析式、图象、性质、定义域，还考查了不等式、方程，属于一类综合性较强的问题，本文主要介绍求函数值域的三种方法：配方法、判别式法、换元法。

一、配方法

配方法是指通过恒等变形，将函数的解析式配凑成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，进而求得函数值域的方法，在运用配方法求函数的值域时，同学们要注意观察函数解析式的结构、特点，熟练运用一些配凑技巧，将函数解析式变形，然后利用二次函数的图象和性质来求得最值。

该函数解析式中含有根式，需要考虑运用换元法解题，首先利用根式的性质，确定IxI的取值范围，然后进行三角换元，将问题转化为关于新元卢的三角函數问题，根据旧元的定义域确定新元β的范围，结合β的范围和正弦函数的有界性求得函数的最值。

配方法、判别式法、换元法都是求解函数值域问题的基本方法，但是它们的特点和适用范围各不相同，配方法和判别式法都适用于求二次函数的值域，但配方法是利用二次函数的图象和性质来求得最值;判别式法是利用二次方程的根的判别式求得最值，换元法适用范围较广，其最大的优势是能简化解析式，将问题转化。

（作者单位：广东省广州市第二中学）