利用夹逼定理推论研究函数零点问题

杨昌颢

摘 要：研究方程的根的个数问题亦或是研究函数零点个数问题，是近年来高考的热门问题。除了通过直接求解对应方程、研究函数的性质、分离变量之外，笔者还发现了一种研究函数零点问题的思路，这种思路能很有效地将复杂的函数零点问题简单化。

关键词：函数;零点问题

研究方程的根的个数问题亦或是研究函数零点个数问题，是近年来高考的热门问题。这类问题，考察了利用导数研究函数的图像与性质、零点存在性定理、方程的根的分布等一系列知识，具有较强的综合性，对学生的思维能力与计算能力有着较高的要求。

研究这类问题，关键是要明确思考方向。不同的思路在思维量和运算量上存在着一定的差异，为了能在有限的时间内尽可能快速地解答题目，往往会选择通过对方程f（x）=0进行分拆变形减少计算量。

解决这类问题有几种思路：第一种是对于方程D（x）=0，直接求出它的实根，计算实根个数。这个思路是最为直接的，但是对于方程本身有一定的要求，要能够被因式分解。而对于含有Inx、ex等式子的超越方程，往往是不可直接求解的;第二种是将其转化为研究对应的函数f（x）的零点个数问题，若是研究函数f（x）的单调性的过程中计算过于复杂，则可以选择通过将函数f（x）转换为它的等价形式g（x），研究函数g（x）的零点个数问题;第三种思路是将方程D（x）=0的实根个数问题转换为函数y=p（x）和函数y=q（x）的交点个数问题。

解题反思：对于含参数求函数零点的问题，一种解题思路是直接求导，利用导函数的零点来对参数进行分类讨论，从而得出在不同情况下的函数零点个数;另一种即为数形结合，将函数的零点问题变为两个函数的交点问题，利用导函数研究函数的相关性质（包括但不限于函数的单调性、极值、最值），从而能对函数的图像有一个认识。

数形结合一般是将函数y=f（x）的零点转化为方程f（x）=0的根，再将f（x）=0拆成p（x）=q（x）。其中p（x）与q（x）的函数图像应该比较简单，便于分辨，最好是一个函数和一个常函数的组合，从而通过讨论函数的图像和常函数的交点个数，得出原函数的零点个数;直接讨论两个函数的交点个数，若是遇到含有参数或者是无法求出具体值的情况。可以通过适当放缩的方式，利用夹逼定理的推论进行求证。

解题反思：有些函数零点问题比较复杂，尤其是多函数混合的时候，无论是直接求解还是数形结合都不便于学生理解函数的曲线性质。先放缩再研究是一种很好的解题思路，通过让式子更简单的方法，让学生能更直观地感受函数曲线，让学生求解的思路更明确、减少学生的计算量。

因此让学生掌握一些经典的放缩不等式是有必要的，可以让学生在处理问题的时候更轻松，例如ex≥x+1，ex≥ex，ex>x2，x-1≥Inx≥1-，>Inx等，通过利用代数式的正負性、放缩原理、局部最值放缩法等方法，将“超越函数”缩放为一次或二次函数，或者是能较为简单地判断单调性的超越函数。

参考文献

[1]孟胜奇，古伯纯.利用导数研究函数的零点问题[J].中学数学教学参考，2020，（1）：138-141.

[2]胡云浩.再谈“利用放缩法解函数零点存在问题”[J].中学数学教学，2020，（2）：43-45.