课堂教学中如何培养学生的数形结合能力

摘 要：众所周知，高中数学题型复杂多变，解题思想方法较多，其中数形结合思想能简化解题步骤，提高解题效率以及学生的数学成绩，因此，高中数学课堂教学中，应认识到数形结合思想的重要性，围绕具体教学内容，寻找相关的教学对策，积极培养学生的数形结合能力，使其掌握这一解题的重要方法.

关键词：高中数学;课堂教学;数形结合;能力

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）06-0008-02

收稿日期：2020-11-25

作者简介：陈华兰（1976.5-），女，福建省寿宁人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

“数”与“形”有着密切的联系，通过“形”能直观的看到“数”间的关系，减少不必要的计算，而运用“数”可对“形”进行精确的计算.高中数学课堂教学中培养学生使用数形结合思想的解题意识，有助于提高学生思维的灵活性，解答数学问题时能够选择最佳途径，促进其解题能力以及水平的提高.

一、结合教材，打牢数形结合基础

数形结合包括“以形助数”和“以数解形”两个方面，其中“以形助数”指借助图形分析数间的内在关系.学生对该方面较为熟悉，如借助函数图像解答相关问题.“以数解形”通常将“形”放到平面或空间直角坐标系中，通过“数”的运算解决相关“形”的问题.授课中引导学生重视教材，牢记教材中各种方程、函数对应的图像，并能根据定义域范围准确的绘制出相关图形.同时，结合教材内容适当拓展，使其能够准确绘制出一些特殊的图形.另外，“以数解形”，构建坐标系时引导学生不要盲目，应认真观察图形，建立合适的坐标系，降低计算量.

在讲解三角函数知识时，通过学习教材学生对y=sinx、y=cosx以及y=tanx已经比较熟悉，能灵活绘制对应图像并采用数形结合法解答一些题.但一些习题中往往涉及稍微复杂的函数，为使其能够运用函数性质，绘制正确的图像，教学中应结合以往经验适当对函数图像进行拓展.比如以下函数，要求学生能够运用所学知识画出其图像：y=sin|x|，y=x+sinx，y=xsinx.

显然针对y=sin|x|可知其为偶函数，学生可先绘制出y=sinx（x>0）的图像，而后将其关于y轴对称即可，难度并不大.但对于y=x+sinx，y=xsinx两个函数图像的绘制难度较大.授课中为学生讲解图像绘制技巧时，要求学生灵活运用函数的奇偶性，找到其关键点进行绘制.分析可知y=x+sinx为奇函数，y=xsinx为偶函数.对两个函数而言，原点、（π，0）是关键点.最终经过不断的尝试学生成功的绘制出两个函数图像，如图1（甲）、图1（乙）所示，为培养学生数形结合能力奠定坚实基础.

二、讲解例题，提高数形结合意识

高中数学教学中应注重例题的筛选、讲解，提高学生数形结合意识，使其遇到相关题目，能够自然的想到运用数形结合方法解答.课堂上为学生展示例题后，给学生留下一些思考时间，看学生能否解答出来.当学生百思不得其解时，可与学生一起分析解题过程，使学生亲身感受题干的转化、图形的绘制、图形的分析等过程，给其留下深刻印象的同时，让其具备数形结合应用意识.同时，完成解题分析后，要求学生自己写出解题过程以及最终的结果，而后公布正确答案，要求其对照自己的结果，以检验其是否真正理解.针对存在的共性问题，再集中讲解.

讲解三角函数知识后，可为学生讲解如下例题：已知关于θ的方程为3sinθ+sinθ+a=0，假设在θ∈（0，2π）上有两个不同实根α、β，求a的取值范围以及对应的α+β的值.

授课中与学生一起分析解题思路，即需要根据给出的方程进行化简，而后绘制出其在（0，2π）的图像，借助图像分析a的取值范围和α+β的值.课堂上要求学生自己写出解题步骤.经过该例题的讲解，很好的提高了学生应用数形结合解题的意识，最终学生经过积极思考，正确解答出了该题，解题步骤如下：

对原方程进行化简、移项得到新的方程为sin（θ+π3）=-a2.绘制出y=sin（θ+π3）在（0，2π）的图像，如图2所示：

由图可知要想满足题意，则32<-a2<1或-1<-a2<32.

当32<-a2<1，即，-2

当-1<-a2<32，即-3

三、注重引导，传授数形结合技巧

高中数学课堂教学中，部分习题看似无法使用数形结合法解答，但只要对要求解的问题进行巧妙的转化，使用数形结合法便能迎刃而解.由此可见，解题中掌握数形结合法应用技巧显得尤为关键.因此，授课中应做好引导，传授相关技巧，使学生应用数形结合法解题时少走弯路.解题时要认真审题，充分挖掘隐含条件，确定正确的定义域范围，保证绘制图形的正确性.同时，绘制好相关图形后应认真观察，结合已知条件以及所学的几何知识，理清线段、角度之间的关系，找到已知条件与要求解问题之间的关系，灵活运用等量代换、转化等知识解题.

讲解圆相关知识时，结合以下题目传授数形结合技巧：已知圆的方程为（x-3）2+（y-4）2=1.A、B两点的坐标分别为（-m，0），（m，0）（m>0）.P为圆上任意一点，若满足AP⊥PB，则m的最大值为.

授课中为使学生尽快找到解题思路，可要求学生根据题干先绘制出对应图形，而后根据绘制的图形，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，将要求的参数转化为圆上的点到原点的距离.

在教师的启发下学生绘制出如图3所示的图形，认识到OP=AO=OB=m，要使m的值最大，则OP的值最大.因为点P在圆上，所以就转化为圆心到圆点的距离.由圓的方程为（x-3）2+（y-4）2=1可知，圆的圆心坐标为（3，4），半径r=1.则圆心到原点的距离d=32+42=5，则m的最大值=d+r=5+1=6.

在课堂教学中培养学生的数形结合能力需要结合学生的认知规律，制定详细的计划，按部就班的开展培养工作.先通过教材知识的深入讲解，使其打牢数形结合基础，而后围绕所学讲解例题，提高其数形结合应用意识，尤其应给予其解题引导，使其掌握相关的技巧.另外，还应定期组织学生开展训练活动，使其积累解题经验，在解题中融会贯通.

参考文献：

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[责任编辑：李 璟]