浅谈初中数学建模思想教学及应用

郑爱萍

摘要：数学建模是将实际问题抽象转化为数学模型，用数学方法求解模型，使问题得到解答，培养学生的解决问题的能力。

关键词：数学思想   构建模型   解决问题

中图分类号：G4 文献标识码：A

数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，随着数学教学的不断深入，重视数学知识与现实生活的联系，发展学生的数学应用意识和应用能力，已成为数学教育发展的趋势。数学建模将实际问题抽象转化为数学模型，用数学方法求解模型，使问题得到解答，能够帮助学生探索数学的应用，增强对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识与实践能力。解决这类问题体现在数学建模思维过程中，要根据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形，使问题简单化，且重要过程是根据题意建立函数、方程（或方程组）、不等式（组）等数学模型。使学生明白：数学建模过程就是通过观察、类比、归纳、分析等数学思想，构造新的数学模型来解决问题。

本文谈谈如何在代数的教学中渗透数学建模的思想与思维过程。

一、构建代数式求解

列代数式表示数量关系解决问题，是一个基本的代数方法，是方程法、不等式法、函数法等的基础，其中“公式”是它的一个典型，充分地体现出代数式的意义和作用。教学中可让学生从所熟悉的有关计算公式着手，探讨公式的特征和现实意义，知道它所反映的是事物的一般情形的本质属性，与具体对象无关，可以利用它来简便解决有关问题。让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程，较好地理解代数式的模型特征及其应用。

例1、观察算式：

1=12;

1+3=4=22;

1+3+5=9=32;

1+3+5+7=16=42;

1+3+5+7+9=25=52 ;……

用代数式表示这个规律（n为正整数）：1+3+5+7+9++（2n-1）=

分析与解答  由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1+3+5+7+…+（2n-1）=n2。填n2.

二、构建方程（不等式）求解

现实生活中广泛存在着数量之间的相等（不等）关系。 “方程（不等式）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。通过方程（不等式）建模来解决问题是一个重要代数方法，如打折销售、分期付款、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成方程（不等式）模型，通过列方程（不等式）得以解决。教学中，从方程（不等式）的意义出发，务必使学生充分考察每一个具体的实际问题的基本情形，探索出问题中的未知量、已知量，特别是它们之间的等量（不等）关系，选取适当的未知数并假设未知数，进而列出正确的方程（不等式）够造相应的数学模型来解决问题并作出合理性的验证，得到所要得答案。

例、在全力抗击新型冠状病毒疫情工作中，为了加强救治新型肺炎患者，武汉参照北京小汤山医院模式，积极筹建火神山和雷神山医院.在“两山”医院的建设过程中，有大量的土方需要运输.“武安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨土方。

（1）求“武安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？

（2）随着工程的进展，“武安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请一一写出.

[分析]1、第（1）小题可通过方程（组）建模解决问题;第（2）利用不等式建模解决问题。

注意：在实际应用中，通过 方程（不等式）建模来解决实际问题时，注意理论与实际的联系，往往需对模型的显示给予合理性的验证，以得到所要的答案。

三、构建函数关系求解

通过函数建模来解决问题是又一个重要代数方法，是教学重点，亦是教学难点。教学中，为达到较好的教学效果，应避免机械地传授教学，在课堂上务必认真引导学生主动参与每一个具体的问题讨论，鼓励学生积极探索并交流各自的看法，准确把握每一个具体的问题中所涉及的量，并弄清哪些是常量，哪些是变量，特别是它们之间的变化关系，会用相应的数学方法加以描述，进而构造相应的函数模型并应用它合理去解决有关实际问题，现实生活中的许多问题，诸如计划决策、最佳投资、最小成本、最大利润、方案最优化等问题，常可建立函数模型求解。

例、某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润.

[分析]确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值.

[解答]解：设销售价每件定为x元，则每件利润为（x﹣8）元，销售量为[100﹣10（x﹣10）]，

根据利润=每件利润×销售量，可得销售利润y=（x﹣8）·[100﹣10（x﹣10）]=﹣10x2+280x﹣1600=﹣10（x﹣14）2+360，

∴当x=14时，y的最大值为360元，

∴应把销售价格定為每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为360元.

[点评]此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，建立起函数模型，从而来解决实际问题，比较简单。

数学建模能力的培养应贯穿于学生的整个学习过程，并激发学生的潜能，使他们能在学习数学的过程中自觉地去寻找解决问题的一般方法，真正提高数学能力与学习数学的能力. 数学应用与数学建模，其目的是要通过教师培养学生的数学意识，教会学生方法，让学生自己去探索、研究、创新，从而提高学生解决问题的能力，让数学进入生活，让生活走进数学。

本文为福建省教育科学“十三五”规划2019年度立项课题“现代化技术手段在学生作业中的应用研究”阶段性成果之一，课题编号：FJJKXB19-598