浅谈列一元一次方程解应用题的方法
2021-09-10周晓红
周晓红
分析问题和解决问题是数学学习的重要内容之一。而列方程解应用题,是整个初中数学的重点和难点。许多实际问题都可以归结为解一种方程。所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面;同时通过列方程解应用题,可以培养学生的分析问题、解决问题的能力。
一.列一元一次方程解应用题的一般步骤
1.审题:读题目,认真审题,理解题意。
2.设未知数:一般求什么设什么,也可以间接地设其他未知量。
3.列方程:利用已找出的等量关系列出方程。
4.解方程:解所列的方程,求出未知数的值。
5.检验,写出答案。
二.主要应用题目类型
题目类型1:市场经济、打折销售问题
1.商品利润=商品售价-商品成本价
2.商品利润率=×100%
3.商品销售额=商品销售价×商品销售量
4.商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量
5.商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售。
例:某商店开张,为了吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种皮鞋进价60元一双,八折出售后商家获利润率为40%,问这种皮鞋标价是多少元?优惠价是多少元?
等量关系:商品利润率=商品利润/商品进价
解:设标价是X元,
解之:x=105
优惠价为
题目类型2储蓄、储蓄利息问题
(1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税
(2)利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息
利息税=利息×税率(20%)(3)
例:某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税)
[分析]等量关系:本息和=本金×(1+利率)
解:设半年期的实际利率为X,依题意得方程250(1+X)=252.7,解得X=0.0108
所以年利率为0.0108×2=0.0216
答:银行的年利率是21.6%
题目类型3:工程问题
工作量=工作效率×工作时间
工作效率=工作量÷工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
例:一件工作,甲独作10天完成,乙独作8天完成,两人合作几天完成?
[分析]甲独作10天完成,说明的他的工作效率是乙的工作效率是
等量关系是:甲乙合作的效率×合作的时间=1
解:设合作X天完成, 依题意得方程
答:两人合作天完成
题目类型4:若干应用问题等量关系的规律
(1)和、差、倍、分问题。此类题既可有示运算关系,又可表示相等关系,要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义,如相等、和差、几倍等。
(2)增长量=原有量×增长率
现在量=原有量+增长量
例1.某粮库装粮食,第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍,如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中,第二个仓库中的粮食是第一个中的问每个仓库各有多少粮食?
设第二个仓库存粮x吨,则第一个仓库存粮3x吨,根据题意得
题目类型5:行程问题
基本量之间的关系: 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间
(1)相遇问题 快行距+慢行距=原距
(2)追及问题 快行距-慢行距=原距
(3)航行问题
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
例:甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,甲带着一只狗,当甲追乙时,狗先追上乙,再返回遇上甲,再返回追上乙,依次反復,直至甲追上乙为止,已知狗的速度为15千米/小时,求此过程中,狗跑的总路程是多少?
[分析]狗跑的总路程=它的速度×时间,而它用的总时间就是甲追上乙的时间
解:设甲用X小时追上乙,根据题意列方程
5X=3X+5 解得X=2.5,狗的总路程:15×2.5=37.5
答:狗的总路程是37.5千米。
题目类型6:数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)则这个三位数表示为:100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.
(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。
例:一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数
等量关系:原两位数+36=对调后新两位数
解:设十位上的数字X,则个位上的数是2X,
10×2X+X=(10X+2X)+36解得X=4,2X=8,答:原来的两位数是48。
虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究,但实际生活中的问题是千变万化的,远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题,就要学会观察事物,关心日常生产生活中的各种问题,要会具体情况具体分析,灵活运用所学知识,认真审题,适当设元,寻找等量关系,从而列出方程,解出方程,使问题得解。
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