新背景下二次函数的实际应用

闵家军

生活中我们经常需要利用二次函数的知识来解决实际问题，各地中考试卷中也频频出现此类试题. 这些题目往往以一个崭新的背景为支撑，要求解决诸如最值等问题. 为方便同学们及时了解中考中此类问题的发展态势，现举例说明，供参考.

一、以实物为背景

例1（2020·浙江·台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）.

科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出的水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2 = 4h（H - h）.

应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔.

（1）写出s2与h的关系式，并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两個小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式.

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.

点评：厘清题目中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键.

二、以运动场所为背景

例2（2020·浙江·绍兴）如图3，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m. 队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA = 2.88 m.这时水平距离OB = 7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图4.

（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）. 这次发球能否过网？是否出界？说明理由.

点评：求解本题时要发挥图形和图象的作用，及时捕捉题目中的有用信息，体会数学思想方法的运用.