关于数学几何代数的整合教学研究

张丽娜

摘 要：中学的数学是区别于小学的数学体系的，它涉及到了更多新鲜的知识和概念。其中重点突出的两大类学习便是几何与代数。它们看似互相平行的两条学习脉络，实则是相互交叉的两条纽带，潜藏着深厚的关系。教学中需要整合两者之间的内容开展有针对性的授课，帮助学生们更好的理解和应用其中的知识。

关键词：中学数学;几何代数;整合教學

中学阶段的学生对于新鲜的知识是充满好奇心理的，在面对中学数学中的几何和代数学习时是激动和紧张的。教师如果想让学生们明白两者之间是是息息相关的，首先要把两者的内涵意义梳理清楚，前者是用空间图形的方式凸显直观性，后者是通过思维的分析凸显数量之间的关系。在此基础之上融合更多的教学情景来进行综合教学，以给学生们以正确的方向性指导，进而让学生们熟知在实际的学习和解题中，往往是交换使用这两种方式作为解析题目的工具。以鲜明的几何背景和清晰的代数逻辑来进行灵活的转变，才能让问题更加轻松的得到正确答案。

一、几何、代数的分类与联系

（一）几何与代数分别是在数学中分支出来的两类学科，两者在中学数学中的重要性处于同等的地位，也是最基础的知识体系。其中，最早的几何是平面几何，平面几何是研究平面上的直线和二次曲线的几何结构和度量属性（面积，长度，角度）。平面几何采用公理化方法，在数学思想史上具有重要意义。后来平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。为了计算体积和面积问题，人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。中学阶段的教学重心还是集中在对于平面几何的的学习和研究上。

（二）代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般是在中学阶段涉及讲解，此过程中主要是从介绍代数的基本思想开始，即研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。传统的代数用有字符（变量）的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法（用整数除除外），则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如：1/2x*y+1/4z-3x+2/3.一个代数方程式，是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数，也就是它的根。

（三）在笛卡尔引进坐标系后，代数与几何的关系变得明朗、且更加紧密起来，这就促使解析几何的产生。解析几何是由笛卡尔、费马分别独立创建的，这又是一次具有里程碑意义的事件。从解析几何的观点出发，几何图形的性质可以归结为方程的分析性质和代数性质。几何图形的分类问题，也就转化为方程的代数特征分类的问题，即寻找代数不变量的问题。立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴，从而研究二次曲面的几何分类问题，就归结为研究代数学中二次型的不变量问题。这两者之间理念与解题过程的结合与转化自然是促使了在教学中的整合。当然，中学阶段所面临的问题不会那么深奥和复杂，但是，很多教师常常分离代数和几何学的知识，学生会抱有“代数知识和几何学知识的关系不密切”的想法。如果无法整合几何学相关知识，学生无法充分学习数学知识系统，无法深入理解很多抽象的代数知识。所以在教师的教学实践中的关键是培养学生在这种整合中的思维方式，锻炼其逻辑推理能力，也是方便学生顺利、快捷的解析题目的问题。

二、几何代数的整合教学

（一）以数思形

著名数学家、数学教育家G·波利亚在《怎样解题》一书中说道：“不断地变换你的问题，……我们必须一再地变换它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到有用的东西为止。”当遇到几何图形问题的时候，可以从中分析出相应的数量关系来思考图形中蕴藏的规律。把一些几何题转化为代数题来解，可达到简便、快捷解题的目的，用代数方法研究几何图形，可以表达其中复杂的数量关系，这种转化的常用方法有多种，例如用函数分析线段变化，某些代数问题，巧妙地运用几何方法来解证，不但解题思路清晰，而且运算量大大减少，尽管有时代数式的意义不易说清，但它可沟通儿何与代数、三角之间的关系，活跃解题思路，激发学习兴趣，使老师的教学和学生的的学习变得轻松而愉悦。笔者更想说的是，教师在教学中积极的采取几何与代数之间的整合教学可以把数学题目灵活化，给了学生更宽阔的视野，让他们可以透过表象看到问题的本质，从而适度的转变途径，帮助自己找到更为恰当、便捷的解题方法。

代数与几何综合题涉及代数与几何两大学科的知识，并且几何与代数综合题是将几何知识与代数知识相结合的一类题目，最常见的题目是以方程的思想方法去解证图形中各元素的位置关系，以及长度、角度、面积等的数量关系问题。此类问题的解决，是对中学阶段数学教与学中的数学思想和数学方法掌握、运用的考察，想要学生学会解决此类题目，就需要教师将综合法、分析法等思维方法交叉、反复地传输给学生，在此过程中需要数学老师带领学生深刻剖析题意，特别是题中的隐含条件。所以，要让学生始终参加审题、分析题意、列方程、解方程等活动，了解列方程解应用题的实际意义和解题方法及优越性，这其中审题应是最为关键的一环。要想法弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。找不出相等关系，方程就列不出来，而找出这样的等量关系后，将其中涉及的待求的某个数设为未知数，其余的量用已知数或含有已知数与未知数的代数式表示出来，方程就列出来了。要教会学生通过阅读题目、理解题意、进而找出等量关系、列出方程解决问题的方法，使之形成“观察—分析—归纳”的良好习惯，这对于整个数学的学习都是至关重要的。另外，在教学中还要告诉学生，有些问题用算术法解决是不方便的，只有用代数解法。对于某些典型题目在帮助学生用代数方法解出后，同时与算术解法作比较，使学生有个更清晰的认识，从而逐渐摒弃用算术解法做应用题的思维习惯。

（二）以形画数

通常我们在教学中用代数知识解决几何问题较多，用几何知识解决代数问题涉及较少，下面就重点举几个用几何图形解决代数问题以渗透数形结合思想的实例，以供各位同仁参考研究。例如：A和B两个人在周长是500米的圆形跑道上训练跑步。条件一：B跑步的速度比A快，条件二;两个人同时间、同地点出发;条件三：两个人相背而行。发现他们每间隔55s就可以相遇一次;而把条件三改成两人同向出发的时候，发现他们两个人是每间隔2’20s相遇一次。在这样的情况下，题目让学生求解A和B跑步的平均速度是多少。求甲、乙两人骑车的平均速度。当遇到这种问题的时候，学生一时间是有点混乱和没有思路的。这个时候仅靠条件中给出的数量关系，很难找到解决的办法，基本不知道从何处入手去分析，去搭建两者之间的关系。好似没有相等的数量和相差的距离一样。此时教师要正确的引导学生从代数的包围圈中跳出来，联系几何的知识，采用数形结合的方法，创造思路，动一下纸笔画出圆形，动一动脑筋，发挥想象力，假设一下当时的情景，描刻出两人的运动画面。用笔尖和手指的动作代替他们的出发方向和速度，把抽象的事物直观化了，这样也就把看似复杂的问题简单化了，很容易就能分析出前一个条件三，是相向行驶后在共同跑满一圈的时候发生相遇的问题，两人的路程和就是圆形的周长，而后一个条件三是追及问题并在第二圈的时候发生的相遇，说明跑的快的比跑的慢的多跑了一整圈，也就是说B比A多跑了一整圈，即500米。这样就可以从两点在图形的变化中，轻而易举得出数量关系和列方程的算式了。

再比如，对于运算结果来说，计算的结果可不能像小学那样单一、简略了。如|b|，其代表的数值结果就应分三种情况讨论。这一变化，对于中学生来说是比较难接受的，代数式的运算对他们而言是个全新的问题，要正确解决这一难点，必须非常注重，要使学生在正确理解有理数概念的基础上，掌握有理数的运算法则。对运算法则理解越深，运算才能掌握得越好。所以在处理上要注意设置适当的梯度，逐步加深。有理数的四则运算最终要归结为非负数的运算，因此“绝对值”概念应该是我们教学中必须抓住的关键点。而定义绝对值又要用到“互为相反数”的概念，这时候教师在教学中就要引入“数轴”的概念了，这样代数与图形之间的隔阂就不攻自破，自然的相互融合了，从这一点中利用的是画出数轴来解释数与数之间的内在关系。这一整合过程强调了图形的直观性，从稳妥和清晰的概念中让学生对于绝对值、正负数等关系逐渐地有了深刻的体会与理解。在通过相应题型的巩固练习就能很轻松的掌握和总结到其中的科学的内在道理了。学生在小学中的计算光是直白的一个结果就满足了，但是到了初一年级的学生为了正确理解算法，避免计算错误，不仅要考虑正确答案，还要在所有的计算步骤中寻找合适的方法，灵活的运用所学过的知识，以便更快捷的得出答案，并且通过思考其中的科学性质而确保得到更准确、更具体和更全面的结果，此類题目具有题型多样、内容广泛、方法灵活的特点，一般没有固定的模式可循。只有将代数和几何诸方面的知识融会贯通，并且具备了扎实的解题基本功，掌握了多种解题方法和技巧，才能全面、清晰、准确、严谨地解答好此类题目。

说到底，几何与代数的整合教学就是数形结合的思想培养和灵活应用，它是解数学题中的一个重要策略，就是通过数与形之间的相互转化来解决数学问题，利用它可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。著名的数学家华罗庚教授曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此，教师要逐步整合两者之间的教学，让学生们真正有了几何和代数的相关观念之后，可以从简单的思路中启发学生，在实际运用中形成一种巧妙的结合，使得学生在数形结合中形成更严谨的态度并养成更认真多面考虑问题的习惯。

参考文献

[1]《数学辞海》委员会.数学辞海.第6卷[M].山西教育出版社，2002.

[2]李娜.几何推理与代数推理的关系研究[D].华中师范大学，2015.

[3]数式与图形沟通直觉与逻辑互动[J].罗增儒.  中学数学教学参考. 2004（06）