基于核心素养下对基本不等式的再思考

2021-09-10杨伟达

数理化解题研究·高中版 2021年4期

关键词：正数定值分式

杨伟达

摘要：基本不等式是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的难点.本文介绍了一些基本不等式的求解策略，仅供参考.

關键词：基本不等式;求解策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0002-02

新教材将基本不等式放入高中数学第一册第二章，

成了一线数学教师对新教材教学的热门话题，其意义深远，即突显出基础性、实用性、技巧性，又能够进一步提升学生的运算求解能力和转化与化归能力.下面是笔者对一些关于基本不等式的数学问题进行剖析，旨在提高学生的数学核心素养.

一、和与积

和与积是天生一对孪生兄弟.缺了谁，就找谁﹒如果和为定值，就要想办法找积的形式;如果积为定值，就要想办法找和的形式.在运用“和与积”时，必须满足“一正、二定、三相等”，若发现不符合三个条件时，就要进行变形，运用基本不等式即可.

例1 已知a>0，b>0，1a+2b=3，求ab的最大值.

分析已知条件是和的形式，和为定值求积的最大值.观察、发现直接运用基本不等式即可.

解因为a>0，b>0，

所以1a+2b=3≥21a×2b即2ab≤32，所以1ab≤98，ab≥89

所以当且仅当a=23，b=43 ，ab最小值为89.

二、倒数和

倒数和的形式如：a□+b△（a，b为正数）.当且仅当□≠△时，就要对倒数和进行变形，或加m减m、或乘m除m等方法把□变为△，最终达到乘积为定值.

例2 已知x>12，求x+22x-1的最值.

分析观察、发现倒数和的两项乘积不是定值，不能直接运用不等式，此时需要对倒数和进行变形，直到乘积为定值时运用基本不等式即可.

解因为x>12，所以x-12>0.

将x+22x-1=x+1x-12=（x-12）+1x-12+12≥2+12.

当且仅当x=32时，x+22x-1的最小值为2+12.

例3 求函数y=x2+3x+5x+1（x≠-1）的值域.

分析本题看似与不等式无关，实则可以通过拆分变为倒数和的形式，然后再运用基本不等式求解.

解 y=x2+3x+5x+1=（x+1）2+（x+1）+3x+1=（x+1）+3x+1+1

（1）当x+1>0即x>-1时，y≥2（x+1）×3x+1+1即y≥1+23，当且仅当x=3-1时，等号成立;

（2）当x+1<0即x<-1时，y≤-2（x+1）×3x+1+1即y≤1-23，当且仅当x=-3-1时，等号成立.

综上所述，函数y=x2+3x+5x+1（x≠-1）的值域为-SymboleB@，1-23∪1+23，+SymboleB@.

三、整式和与分式和

整式和的形式如：a○+b▲（a，b为正数），分式和的形式如：c□+d△（c，d为正数）﹒在涉及整式和与分式和的数学问题时常常已知一个定值求另一个最值. 当且仅当□+△不为定值时，就要对整式和变形，或加m减m、或乘m除m等把分母之和变为定值.解决办法：先设，接着进行乘法运算，最后变为倒数和的形式求最值.

例4 已知正数a，b满足a+b=1，求12a+3+1b+2的最小值.

分析本题是整式和为定值求分式和的最值问题. 解决办法：整式和乘以分式和﹒笔者观察、发现分式中的两分母之和与已知条件的定值不吻合，所以先将分式进行变形，后再将整式变形即可.

解不妨设12a+3+1b+2=m，将12a+3+1b+1变为12a+32+1b+1，

因为a+b=1所以（a+32）+（b+2）=92，

所以92m=（a+32）+（b+2）×12a+32+1b+2

92m=32+2a+32b+2×12（b+2）a+32≥32+2

所以m≥13+239﹒

当且仅当a=922-6，b=7-922时，12a+3+1b+2的最小值为13+239﹒

例5 已知a>0，b>0，a+3b=5ab，则3a+4b的最小值是（）.

A.245B. 285C. 5D. 6

分析将题设条件化简为分式和为定值的形式. 笔者发现原问题是分式和为定值求整式和为最值的数学问题. 解决办法：整式和乘以分式和后用基本不等式即可.

解将a+3b=5ab化简3a+1b=5