数学函数教学的难点及解决策略

李慧芬

摘 要：中学阶段的数学学科教学内容相对以前而言跨度较大，学生在学习初期能够通过以前掌握的数学知识进行代入，学习的效果相对较好且内容的理解较为顺畅。但随着教材内容的逐渐深入学生对知识的掌握愈发困难，尤其到了函数的教学时学生对教材中的重点难点难以通过自身思维能力进行解决，需要通过教师的反复讲解才能够勉强完成学习任务。面对这一情况，教师在教学过程中应对函数的教学方式进行充分的改进，对教学过程中的重点难点及突破策略进行深入的思考，使学生能够以流畅、自然的方式掌握数学知识，提升学生对函数的掌握效果，促进学生数学核心素养的全面提升。本文针对中学数学教材中函数教学的重点难点及突破方式进行解析，以期提升学生的函数学习效果。

关键词：中学数学;函数教学;重点难点;突破方式

案例背景：

中学阶段的学生接触函数缺乏函数的基础，在学习的过程中也较为困难，对其中的重点知识理解起来也有着一定的障碍。因此，教师在教学的过程中应通过教学方式的创新与实践提升学生对函数的学习效果。目前中学阶段的学生对函数的概念较为模糊，学生在这一阶段的思维能力也并未成熟，对较为复杂的函数难以进行理解和学习。在当下数学教学中也存在着一定的问题有待完善。身为新时代的中学数学教师应对函数的教学进行充分的调整，及时发现传统教学模式中留存的问题，并以积极探索的方式设计可行性较高的案例进行实践，以期提高学生的函数学习效果及数学综合能力。

案例描述：

案例一：在对《常量与变量》进行教学的过程中，教师首先便可构建较为生活化的问题情境，引导学生在自身较为熟悉的情境中进行代入展开学习。首先教师在教学导入环节应通过生活化的问题引导学生进入到教学情境中进行思考，如：同学们，每天早上我们走路到学校共计1000米，假设需要步行20分钟，那么在以上的数字中哪些是能够变化的哪些又是客观存在且不能够进行改变的呢？学生经过思考能够较为简单地得出1000米为固定条件，骑行时间可以通过骑行的速度进行改变。这种教学方式不仅能够充分激发学生的学习兴趣及参与的欲望，还能够完成生活化问题情境的构建，使学生能够跟随教师的问题进行思考和知识的学习，在情境构建结束后教师便可通过设定问题的方式继续进行引导，题目如下：某超市大米打折，每斤米的价格为10元，如果早上售出150份，中午售出205份，晚上售出310份，那么早中晚各自卖了多少钱？如果周末一天售出大米x份，总收入为y元，如何通过公式进行表达？在等式中哪些量是固定的？哪些是变化的？学生在这样的问题中首先能够对有着实际数字的大米收入进行计算，即150×10=1500元，205×10=2050元，310×10=3100元，共计6650元。学生经过这样的计算将数字替换为xy也能够以等式的方式进行展现，即10x=y。通过问题的解答学生能够逐渐发现函数中变量和常量的关系及区别，并能够通过等式的方式进行两者的区分。在学生理解结束后教师还可通过列出公式的方式让学生进行常量和变量的分辨，如：y=12x-3，8x÷2=y，y=x2等，学生在对常量知识进行掌握后在进行分辨能够对学生的学习效果进行充分的巩固。这种构建教学情境的方式对学生的学习效果而言有着良好的提升作用，学生也能够在情境中以较高的参与兴趣和学习效果掌握函数相关的知识。

案例二：例如在对《函数》进行教学的过程中，教师首先便可通过设置问题的方式引导学生展开思考，如：用生活中最为常见的火柴棒组成一个正方形，并在其右侧再次构建一个正方形依次增加，请问构建两个正方形需要多少个火柴棒？三个正方形需要多少？四个正方形需要多少？一百个正方形要多少个火柴棒？其中有什么规律？在给出问题后教师可引导学生以在草稿纸上进行模拟的方式展开实践及思考。学生经过思考能够较为简单的得出一个三角形需要四根火柴棒，在其旁边搭建正方形则需要三根，因此一个为四根、两个为七根、三个为十根以此类推，一百个正方形则需要3×100+1=301根火柴棒。通過这一问题的设立学生能够发现在生活中函数的应用范围十分广泛，在学习的过程中也能够感受到函数的表现方式及等式的构建方式。在问题解析结束后教师应引导学生发现在上述算式中有两个变量，在等式中给出一个变量便间接地确定了另一个因变量。此时教师便可通过总结的方式引导学生发现自变量和因变量的关系，即确定了x值便确定了y值，在函数领域中便称y为x的函数，其中x为自变量y为因变量。学生在这样的课堂中能够始终以积极主动的方式进行参与并跟随教师的引导逐渐理解函数的知识，在学习的过程中也能够保持较为高昂的学习兴趣及学习欲望，在良好学习氛围的影响下积极展开思考和探究，自主发现函数之间的关系和变自变量、因变量及常量之间的关系，提升函数学习效果。

案例三：例如在对《一次函数的图像》进行教学的过程中教师便可引导学生以数形结合思想的应用展开学习及思考。首先教师以问题的方式引导学生进行思考，如：乌龟和兔子参加短跑比赛，乌龟每分钟能前进1.5米，兔子每分钟能前进2米，乌龟的起点比兔子靠前2米，乌龟和兔子同时出发，请分别写出乌龟和兔子距兔子起跑点的距离y与出发的时间x的关系式并推导谁能获胜。学生经过对之前掌握知识的运用能够得出y=2x，y=1.5x+2，此时教师便可引导学生回忆正比例函数及一次函数的知识进行胜利者的推导，引导学生以小组合作的方式展开探讨。在学生探讨的过程中若学生得出了正确的结论教师便可引导学生通过图像的方式进行表达，若学生并未得出正确结论教师便可通过图像验证的方式展开一次函数图像的教学和讲解。在知识讲解结束后教师便可开始引导学生通过交流和讨论的方式利用数形结合进行知识的探索，如等式中的k、b对一次函数展示的图像和性质有着什么样的影响？学生在交流的过程中教师也可通过适当的方式帮助学生进行探究，在等式中研究一个因素的影响可保持其他因素的固定，仅对被研究的因素进行改变观察其变化，如y=3x-6，y=3x+6，y=-3x-6，y=-3x+6。学生通过教师的引导能够在小组合作学习的过程中逐渐摸索出正确的结论，一次函数中y=kx+b，其中k、b为常数，k不能等于0。k在一次函数中能够决定一次函数图像的倾斜方向，k为正数时y的值随x的增加而增加，k为负数时y随x的减少而减少，k相同时则直线相互平行。b的正负值能够决定直线与y轴的交点，b为正数时交点位于正半轴中，b为负数时交点位于负半轴上，b相同时直线相交于一点。通过应用数形结合的方式引导学生以小组合作展开知识的探究和学习，能够使学生以较为主动的学习态度积极对知识进行学习和交流，在发现问题时也能够与同学及教师进行及时的沟通，避免自身因错误理解导致的概念学习错误或计算方式错误等情况的发生。这种教学方式的应用不仅能够帮助学生掌握数形结合思想，还能够使学生在教师的引导下充分应用自身逻辑思维能力对复杂的推导过程进行思考，培养学生逻辑思维能力的同时促进学生学习效果的全面提升，强化学生对函数的学习积极性及函数知识的应用能力。

案例四：例如在进行课后作业设计的过程中，教师便可通过设置生活化问题的方式引导学生巩固对函数基本概念的认知，如车辆每小时前进x公里，到达a点需经过xx距离、三角形的底出现了变化量为x的改变，其底边、角、面积、高有着什么样的变化、在购买文具的过程中商品的数量、单价及总价中哪个是常量？哪个是自变量？哪个是因变量等。学生根据教师的引导能够对基础知识进行反复的盘点，提升学生对基础知识的掌握程度。教师还应设计问题引导学生能够对属性的本质进行分化，变量其本质便是在变化过程中能够取不同数值的量，例如汽车行驶过程中的时间、路程与速度之间有何关系、汽车匀速行驶时不同时间所走的不同路程等都可作为变量概念的讲解。再而教师在教学过程中还应引导学生对概念进行总结和深入的认知，通过多种方式如表格、图像、数字等进行函数关系的体现，引导学生对同一信息以不同的方式进行处理，提升学生的问题解析能力并夯实学生的函数基础知识。

【案例分析】：

一、中学函数教学难点分析

（一）函数概念理解较为模糊

中学阶段的学生对函数的理解相对较差，对其中的概念难以进行理解进而出现理解错误和学习错误的情况产生，学生也因此难以对函数进行充分的解读，导致学生在中学数学课堂中难以进行函数知识的运用，对自身思维能力的运用也难以与函数进行融合。这是当下数学教学中学生仅仅停留在函数概念的层次上难以进行深入的原因之一，这种情况也导致学生进行题目的解答时难以进行知识的灵活运用，以死记硬背的方式进行知识的学习，以套公式的方式求解。这种解题方式虽然能够得到答案但学生的综合能力培养效果相对较差。

（二）学生数学思想掌握较差

在数学学科中的数学思想较多，函数方程思想、整体思想、建模思想、数形结合思想、化归思想、归纳推理思想、分类讨论思想、隐含条件思想、极限思想、方程思想、类比思想等都是数学学科中十分常用且应用效果十分优秀的数学思想。学生对这些较为复杂的数学思想掌握较差，在函数的学习过程中也难以对数学思想进行灵活的运用，这也导致了学生难以将数字与图形进行结合，对学生的学习效果及学习能力都造成了一定的影响。

（三）函数意识相对较差

在数学课堂中学习函数的过程中在变量中经常出现多种复杂的函数关系。但中学阶段的学生因函数意识较差，在遇到此类问题时往往难以进行解答，对其中的函数关系分辨能力也相对较差。部分同学甚至在学习函数时因此存在着较大的难度，导致学生出现厌学、反感的不良心理出现，解题时也只能通过灯亮关系进行推导，函数知识的学习和应用对此类学习困难的学生而言可谓惟恐避之不及。

（四）思维能力发展进度较慢

中学阶段的学生形象思维仍是主要的认知方式，函数的知识又相对抽象，在学习的过程中对学生的思维能力及认知能力都有着一定的要求。教师在教学过程中只有通过数形结合思想的运用才能够使学生理解函数知识，在求解的过程中教师也应引导学生通过思维能力的运用构建正确的函数图形或表格，并通过数字与图形相互转换的方式展开函数的学习。但因学生思维能力的发展进度较为缓慢，在课堂中学生难以及时地将数形结合思想进行运用和整合，对较为抽象的运算过程及运算内容也难以进行细致的理解，导致学生在学习函数时面临着较大的问题。

二、中学函数教学有效性的提升策略

（一）培养学生学习兴趣，体现学生主体地位

1.构建问题情境，提升学习欲望

函数的知识在中学阶段的学生看来是枯燥而乏味的，大部分的内容都是枯燥的数学概念和等式之类。教师在函数的教学过程中应通过多种教学方式的应用激发学生的学习兴趣，构建合理的教学情境，使学生能够在教师拟定的情境中以较高的学习兴趣进行参与，对函数知识进行深入的理解。构建函数教学情境的方式还能够带领学生在问题情境中进行深入的思考，对教学中的重点难点以自主探究、自主思考的方式进行突破，使学生在课堂中不仅能够掌握基础的函数知识，还能够对学生的概念转化能力、数学学习兴趣及抽象知识理解能力进行全面的提升，促进数学函数教学有效性的提升和发展。在案例一中教师便通过较为生活化的方式进行了引导，学生在自身较为熟悉的情景中进行导入，通过案例一中以问题导入、以解决问题的过程展开教学的方式学生也能够利用自身已经掌握的数学知识进行带入，避免了因初次接触函数导致的生疏感和陌生感，不仅学习压力较低，还能够将函数的学习方式进行全面的提升，为学生留下良好的函数印象，使学生能够对函数进行正确的理解，逐渐对等式中的元素进行了解，为后续函数知识的学习奠定了基础。

2.构建学习氛围，提升参与欲望

中学阶段的学生函数知识，对较为抽象的数学概念进行学习学习的难度自然较大。教师在教学过程中应为学生构建合作、交流、共进、探讨的学习氛围，引导学生在教师的引导下展开自主学习。教师在教学设计中也应对课前预习、课堂中听讲、课后复习及练习进行整体的设计，引导学生通过探究式学习的方式逐渐摸索出适合自身的学习方式。教师在构建学习氛围时教师应着重于融入生活化元素，体现学生的主体地位，使学生在掌握知识后能够进行成果的展示和表达，满足学生表现欲望的同時提升学生课堂中的参与欲望，感受学习数学知识的快乐。在案例二中教师便通过引导学生实际操作的方式参与到课堂中，学生在以火柴拼图形作为基础的导入中有着较高的参与欲望，积极的教学氛围也让学生对函数知识更加的渴求，在实践中也能够逐渐发现操作中的函数问题。教师在学生发现问题时也进行了积极的引导，根据学生的疑惑和求知欲带领学生进行知识的探索，讲解函数知识的同时以趣味化的实践提升了学生的学习兴趣。

（二）重视数形结合，讲解应用方式

中学阶段学生的函数学习兴趣需要教师的充分引导，在教学设计中教师应对函数的分解及组合方式进行深入的解析，使学生能够在学习过程中不断以新的学习目标进行知识的深入学习，提升学生的学习欲望。在函数教学中运用数形结合思想是最为直观且效果较为优秀的，教师在教学过程中也应引导学生发现数形结合的重要性并通过教师的讲解发现等式分解及组合的方式。首先教师应引导学生理解先分解再组合，最后以综合的方式进行应用，学生在掌握基础技能后能够降低学生的学习压力。在教学中教师还应引导学生以交流和鼓励的方式进行整体的提升，促进学生函数学习效果的提升。此外，教师在绘图教学中也可融入数形结合思想，使学生将较为抽象的函数计算及推导的过程中提升自身解题能力，通过函数在图表中不同的位置及表现进行问题的解析，将函数和思想融为一体进行问题的解决。在案例三中教师也是通过问题进行教学内容的导入，面对耳熟能详的龟兔赛跑游戏学生的学习兴趣也相对较高。案例三中的问题严格来说是车辆行驶问题的拓展，教师换了一种较为童趣的方式进行表达，学生处于好奇和展示知识的迫切，愿意积极地配合教师展开学习，在讲解中教师也充分运用了数形结合思想，将原本较为复杂的问题以函数图像的方式进行展现，学生能够更加直观地对问题进行分析，提升了学生将算式转化为图像的能力，带动学生函数学习效果的提升。

（三）函数概念重点讲解

1.函数概念形成的讲解

在中学数学课堂中教师应重视学生对函数基础概念的掌握，保证学生能够在面对问题时能够从本质上进行分析和推导，提升学生的解题能力及解题效果。首先，教师应引导学生通过多种方式进行推导，如生活中的案例、学生的生活经验等都可当作相应的素材，使学生在符合自身认知能力及学习进度的情况下能够正确掌握函数的基本知识及基本的应用方式、表现方式等，提升学生在对函数作用的认知，强化学生的函数观念促进学生对函数概念的形成过程了解程度的提升。

2.结合实际案例展开概念教学

学生在对函数知识进行复盘后教师可通过实际函数案例的方式引导学生进行函数概念的学习，使学生在实际案例中完成作业时进行更加直观且准确的推导，理解函数的关系及结构，巩固学生对函数知识的学习效果及掌握程度，使学生在重点难点的学习过程中能够以较为坚实的基础进行支撑，发挥自身逻辑思维能力及数学核心素养进行探究式学习，提升学生的学习效果。

（四）数学函数课后作业布置合理化

1.课后作业分层，提升训练针对性

在同样的函数教学课堂中因学生的思维能力及数学基础的不同在一定程度上会导致学生的学习效果存在着差异，教师在布置课后作业的过程中若并未对这种差异性进行重视则会导致课后作业的内容出现缺陷，学习效果较差的学生难以进行解答，学习效果较好的学生认为题型过于简单的情况。因此，教师在教学过程中应通过课堂练习的方式对学生的学习效果进行检验，保证课后作业设计的针对性及合理性，使不同学习结果的学生都能够通过课后作业的布置进行自身能力的提升并巩固基础知识。在进行作业设计的过程中教师应针对学习结果较为优秀的学生设置较多的提高类型题目，引导学生在难度较高的练习内容中进行函数学习成果的巩固和思维能力的提升;对学习成果中等的学生教师可布置以基础知识复习为主的练习内容，在其中插入适当的提高类型题目，使学生在巩固基础知识后能够尝试进行自身函数解析能力的提升;对学习成果较差的学生教师可布置较为基础的题目，帮助学生在课后的时间中巩固基础知识，使学生能够跟随教学进度展开学习，保证全体学生的整体发展，避免出现学习进度相差较大的情况产生，促进学生数学能力的发展。

2.课后作业提趣，提升完成欲望

在中学阶段函数的教学中，教学内容对学生而言本就较为枯燥，学生在课后还要进行枯燥的运算及推导对学生而言无异于是一种“折磨”，因此，教师在进行作业设计的过程中应根据学生现阶段的兴趣及年龄特质进行课后作业的趣味化设置，使学生在完成作业的过程中能够保持较为高昂的兴趣和完成意愿，引导学生在课后能够积极进行能力的提升和知识掌握程度的培养。例如在一次函数作业的设计中，教师便可为学生布置较为生活化的“手机充电的同时玩游戏”主题作业，假设充电速度为每分钟1%，用手机玩游戏的耗电为每分钟0.4%，以此为基础进行题目的针对性设计。学生在面对这一问题时完成的兴趣较高，在一定程度上能够抵消函数枯燥乏味的运算过程，使学生在完成作业的过程中能够感受到快乐，理解函数在生活中的常用性和重要性，对函数的基本推导方式进行巩固，提升学生的课堂学习效果。在案例四中，教师为了提升课后作业的趣味性避免了传统的计算作业，转而通过生活中较为常见的案例及知识进行引导，目的主要是为了夯实学生的函数基础。函数的学习本就较为复杂，在教学初期为学生构建良好的基础十分必要，这一课后作业的设计可谓是整体教学中的点睛之笔，不仅完善了课堂中因时间限制难以进行训练和巩固的不足，还使学生感受到了函数的趣味和在生活中的常用性，较为基础的问题也能够使学生对函数的学习产生良好的印象，不会因枯燥切复杂的推导作业产生抵抗情绪，对学生的学习效果也有着全面的提升作用。

（五）课后反思完善教学

在教学结束后教师并未完成全部的教学任务，教师还应对课堂教学的过程进行充分的反思，发现自身教学过程中存在的问题及缺陷，通过适当的方式进行调整和完善，提升自身教学能力，使学生能够在不断改革的课堂中进行高效的知识学习。此外，在教学反思的过程中教师还应虚心听取学生的意见，根据学生的语言反馈及成绩反馈、作业反馈等对自身特定的教学片断进行回忆，反思其中的不足并寻找完善的方式。在完善的过程中教师应通过信息技术的应用汲取优秀教师的教学经验，去其糟粕取其精华，不断完善自身教学素养，拓展知识面，为学生构建多元化的高效教学课堂，提升学生的函数学习效果，促进学生课堂参与度的提升和学习兴趣的发展。

【案例反思】

综合上述案例及反思，在函数的教学中教师应根据学生的实际学习情况及学习能力进行教学方式的选择及教学策略的运用，严格以新课标及新课改为标准进行教学结构的调整，使学生能够在以自身为主体的课堂中展开高效的自主学习及自主探究，以主动学习的方式进行知识的汲取，提升学生的学习效果及学习能力。教师在教学过程中也应对自身的教学能力进行持续的提升，只有不断的学习才能够不断地革新教学观念，为学生解决函数问题、讲解函数知识的同时提升学生的学习质量。教学结束后教师也应进行积极的反思，对课堂中的表现进行客观的审视，发现其中存在的教学问题并想方设法进行完善和实践，提升学生对函数的学习兴趣，带动函数教学重点难点的突破，使初中数学课堂成为活跃、高效且生动的互動式探究课堂。

参考文献

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[2]陈向荣.信息化环境下初中数学函数教学的策略研究[J].新课程（中），2018（03）：143.

[3]卢兴林.初中数学函数教学的难点及解决策略[J].考试与评价，2020（06）：118.