以《三角形的面积》为例论述有效数学课堂的建构

王华佳

【摘要】本文以《三角形的面积》教学为例，论述在小学数学教学中提高课堂有效性的策略，提出在课前布置合作探究任务、课中开展合作交流、课后互助提升等教学建议，以提高学生的自主学习能力、合作沟通能力和思考探索能力，建构高效的数学课堂。

【关键词】小學数学 《三角形的面积》 自主学习 有效教学

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）09-0088-02

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，学生的学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。参与实践、自主探究、交流协作都是学习数学的重要方法。在人教版五年级上册《三角形的面积》一课中，教师应积极挖掘有探究意图、能承载数学意识、含有数学思想方法的教学内容，要充分发挥课本例题、习题的功能，以课本例题、习题为蓝本进行探究主题的创设，把教材中静态的知识转化为“主动观察、动手操作、产生疑惑、提出猜想、得出规律、反思验证”的动态过程。另外，探究的素材应具有一定的挑战性和趣味性，能够激发学生主动探究的欲望。例如，学生经历将两个相同的三角形拼成一个平行四边形的操作活动，在观察和交流中发现三角形面积与平行四边形面积之间的关系，并能准确表达三角形和平行四边形的关系。这样的设计既有利于学生主动运用经验，又有利于学生对问题进行深入有效的研究和讨论，进一步发展学生的数学思维。

一、课前布置探究任务

（一）《三角形的面积》教材分析

《三角形的面积》是“图形与几何”的范围，是小学阶段学习几何知识的重要内容，也是学生今后学习其他几何知识的基础。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出，教师应引导学生利用方格纸或割补等方法探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。为落实这一目标，该部分教材内容均是以探索活动的形式出现的。学生在学习三角形面积的计算方法之前已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程，因此教师可以借鉴前面学习的转化的数学思想进行教学，这样有利于培养学生的探索能力。

新课改以来，在教学图形面积计算时，教师把通过探索获得面积计算公式作为重要环节渗透转化的数学思想，但每次的转化教学分别要落实到什么程度以及是否有不同的侧重点，则需要进一步思考。翻阅人教版、苏教版、北师大版三套教材，笔者发现其单元结构和课时安排类似，均以“平行四边形—三角形—梯形”为序，在《平行四边形的面积》一课中主要呈现的是从平行四边形到长方形的等积转化，而三角形的面积计算公式推导则强调通过“加倍”（即要构造一个全等图形来拼组）得到相应的平行四边形再比较、计算，至于梯形面积计算公式的推导，则呈现出算法多样化的取向，鼓励学生开展对图形的多元分析，在此基础上得出一般算法。教材普遍这样编写，提示我们：这个单元各课的教学目标既相互呼应，又层层递进。因此，对“三角形的面积”新授课来说，不仅要继续强调转化的思想，更要落实一种常用的转化方法——加倍法。因为“加倍法”（或称“镜像法”）是一种典型的化归方法，不仅对图形转化有用，而且在解决其他数学问题时也会用到。

（二）《三角形的面积》背景分析

在学习“三角形的面积”之前，教材安排了认识三角形（包括学习三角形的三边关系、内角和、三角形的分类等）、长方形的面积、平行四边形的面积等内容，为学习三角形的面积奠定了基础。三角形的面积教学主要是通过操作活动——剪拼三角形，求出拼成的平行四边形和每个三角形的面积，进而从多组数据中发现平行四边形和三角形的关系，在操作中发现拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高的关系，根据关系和之前学习的相关经验，引导学生独立推导出三角形的面积公式;最后再通过练习巩固知识，学会用三角形的面积公式解决实际问题。这部分内容的重点是让学生在探究活动中经历三角形面积公式的推导过程，掌握三角形面积公式并体会转化方法的应用。

可以看出，三角形的面积教学的难点是组织学生自主加入三角形面积计算公式推导的整个过程。在这节课教学中，教师要积极创设情境，让学生经历“发现问题—提出问题—提出猜想—进行验证”等探究活动，引导学生自主推导出三角形面积的计算公式。

（三）课前探究任务设计

课前，笔者通过布置“三角形面积的计算方法”的探究任务，让学生通过锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等几何图形学具来探讨，要求学生在课前根据以下要求自主探究：

1.三角形如何转化成已学过的其他图形？

2.观察转换后的图形和原来的三角形，你发现了什么？

3.有了这些发现，你能写出三角形面积的计算公式吗？

4.把你的推导公式过程梳理一下，在下一节课上说给大家听。

二、课中合作交流

有了课前的自主探究，学生经历了图形的转化过程，初步了解了三角形面积计算公式的推导，接着笔者引导学生思考、交流以下问题：

1.你打算把三角形转化成什么图形来计算面积？转化后的图形与原三角形之间有什么关系？（边说边操作把三角形转化成你想要的图形）

2.说一说自己推导得到的三角形面积公式以及推导过程。

3.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可以用同一种方法推导吗？

教学片段如下：

师：相信同学们已经根据之前布置的学习任务进行了三角形面积计算的相关探究，现在请你们在小组内分享你的收获。可以结合以上3个问题来组织语言。

生1：我使用的是两个锐角三角形，拼成了一个平行四边形。锐角三角形的底和高分别也是这个平行四边形的底和高，因为平行四边形的面积等于底乘高，所以再除以2就可以得到这个锐角三角形的面积。

生2：我有个疑惑，你是任意的两个锐角三角形拼起来的吗？如果一大一小还能拼成吗？

生3：我觉得要等底等高的两个锐角三角形才行。

生4：我觉得还是拼不成，如果形状不同是没办法拼成的。

生1：哦，我懂了，应该要两个完全相同的锐角三角形才能拼成。

生2：对，“完全相同”很重要。其实你刚才使用的就是两个完全相同的三角形，只是总结的时候漏了这些关键字。

生4：我也来说说我的方法，我使用的是两个完全相同的直角三角形，拼成了一个长方形……

在合作、交流、讨论的过程中，教师還应相机引导学生充分利用几何直观，将自己转化、推导的过程表述清楚，大胆提出自己的疑惑，争取在交流中达成共识。从而发展学生的空间观念，培养学生的几何直观能力与推理能力。

有了课前的探究和课中的交流讨论，学生进一步提高了发散思维和以多种方法解决问题的意识及能力，面积公式的推导方法除了有“用两个完全相同的三角形拼一个平行四边形”，还有“将一个直角三角形剪拼成一个长方形”和“将一个锐角三角形折叠成一个长方形”等新的推导面积公式的思路。最后，教师通过“不同的三角形都可以用同一个公式推导吗”这一问题的交流，让学生发现以上3种推导方法都适用于任意三角形。

三、课后互助提升

课后布置小组合作学习任务单：以下说法正确吗？为什么？小组内一人思考一个问题，通过录制语音或者视频简要说明自己的想法。语音或视频发到所在学习小组群。最后，达成共识后由组长填写答案，第二天上交。

1.两个等底等高的三角形一定可以拼成一个平行四边形。（  ）

2.两个三角形可以拼成一个平行四边形。（  ）

3.三角形的面积是平行四边形面积的一半。（  ）

4.两个面积相等的三角形，它们的底和高一定分别相等。（  ）

这样设计教学环节，从学生的易错点出发，通过课后在微信学习小组群交流探讨，帮助学生加深理解三角形与平行四边形的关系，进一步深化学生对三角形面积公式的理解。

从以上教学案例可以看出，在小学数学教学中，通过课前布置学习任务，课中交流讨论，课后布置讨论任务，能让学生主动认领“任务”，积极地相互配合与研讨;通过教师在课堂上引导学生开展交流讨论互动，使课堂氛围轻松而又有序，活泼而又认真。让学生在有趣的课堂氛围中主动探究、相互协作、大胆猜想，不仅培养了学生的自主探究意识，而且培养了学生的团队合作精神。

（责编 林 剑）