高三数学复习课如何构建解题结构的探讨

刘峰

高三数学教学是高中阶段最为重要的一个环节，第一轮复习的目标是夯实基础，包括“牢固掌握基础知识”、“形成熟练的基本技能”、“养成运用基本数学思想方法研究问题的意识”、“积累丰富的基本活动经验”。如何达成这一目标，很大程度上取决于教师在课堂教学中讲什么、怎么讲。研究高考真题，以真题中的热点问题为专题进行复习，能提高备考效率，本节课就高考中解析几何的面积最值问题展开教学，通过对高考真题的拆解，突破难点，构建解题结构。

一、讲解题结构的构建

课堂从引例“已知圆 ，过点P（2，0）的直线 与圆C交于A.B两点，求 面积的最大值”中与圆有关的三角形面积问题开始，以学生已有的活动经验为基础，复习解题思路的同时，帮助学生构建解题结构。解析几何集几何与代数为一身，研究相关问题时，需经理先几何后代数的过程，与圆有关的三角形面积问题是解析几何中较为特殊的研究对象，其几何性更为突出，但学生往往容易忽略几何性，应用通性通法来求解问题。以此题为引例，旨在强化几何、代数的结构，为问题变化为椭圆等曲线中面积最值问题做好铺垫，并明确“主元”思想。复习思路的过程既发散了思维，也帮助学生将解题思路进行了整理，形成引例的解题结构，如图1。

引例的解题结构体现了本节课“解析几何的面积最值问题”要复习的重点问题，第一个是主元的选择问题，主元的选择对运算的方式、方法，以及后端的面积函数都有较大的影响;第二个是面积函数的最值求解问题，不论选择哪个主元，最终面积函数的求解均与基本不等式、换元、拆分运算等知识技巧有关。这两个问题就是面积最值问题的核心问题，引例的解题结构既帮助学生明确了解题方向，也帮助学生明确了解题环节，实现难点的突破。

二、讲主元选择的比较

主元的选择是解题结构的第一环节。该部分的教学将引例中的圆换成椭圆，三角形面积问题换成四边形面积问题，强化题目背景的变化不影响解题结构时，训练学生主元选择的意识，比较主元选择对运算量的影响。

例题  已知椭圆 ， 分别为左右焦点，过 的直线 与椭圆E交于A，B两点，过F2且与直线 垂直的直线 与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值。

例题引导学生从几何路线、通性通法、参数方程三个方向选择自己喜欢的主元进行面积函数的计算求解，给与学生们充分的活动时间，体验不同主元下运算的繁简比较。活动中学生大多数选择通性通法，以斜率k为主元;部分同学选择参数方程，以倾斜角 为主元;几乎没人选择几何路线，究其原因是不能发现与焦点弦长（或焦半径）有关的三角形，进行解三角形知识的应用。因此课堂点评以参数方程的运算为展示，让学生对比运算量的差异，以介绍解三角形的方式求解弦长为辅，发现思维。通过例题的活动、点评，让学生强化面积最值问题解题结构的第一环节，重视主元的选择。其实，主元的选择是解析几何中重要的思维意识，并不局限于面积问题。

为了巩固引例、例题的教学果效，课堂设置了一个变式练习，训练学生基于解题结构的思维。具体变式如下：已知椭圆 ，圆 ， 分别为左右焦点，过F2的直线 与椭圆交于A，B两点，过F2且与直线 垂直的直线 与圆交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.

引例、例题、变式的设计均由高考真题拆分而来，以高考真题重组的方式，看到题目的发展变化，推陈出新，体悟高考真题万变不离其宗的解题结构。

三、讲归纳总结的提升

课堂教学精讲了引例、例题，略讲了变式，每一道题目讲解之后都进行了归纳提升。整节课处处体现归纳提升的重要性，第一处在引例解题思路的回顾之后，旨在归纳总结引例的入题结构，体现主元选择的多样性;第二处在引例面积函数的求解策略之后，旨在归纳上四下四分式函数的一般转化策略结构，前后两次总结形成了面积最值问题完整的解题结构;第三处在例题面积函数的计算之后，旨在应用解题结构的同时，帮助学生强化主元选择的意识;第四处总结是三角形、四边形面积求解公式、方法的总结，旨在提醒学生求解面积时要注意进行灵活的选择;第五处总结是例题背景的挖掘，圆锥曲线两条垂直焦点弦长的倒数和为定值，该部分的教学是课堂思维深化的点缀，鼓励学生要进行广泛的联系与思考，探究命题背景;第六处总结是课堂小结，强化解题结构，巩固课堂教学。

整节课围绕解题结构（如图2）展开，从解题思路的探寻，到三种解题方向的实践、比较，从面积函数的得到，到函数最值的求解策略，构建解题结构，突破解题难点;从圆到椭圆、从椭圆到橢圆与圆，从三角形到四边形，强化结构的稳定，把握解题的结构。

高三的复习是知识综合应用的学习，是知识应用于解题时解题结构的构建。课堂要从广泛的联系出发，发散思维，捕捉思维火花，但又不能让思维的出现成为无源之水，因此就需要教师创设良好的情景推动学生发散思维，再进行及时的归纳总结，构建解题结构。教学中需要教师主动构建解题结构，打造出一节节高效的课堂，助力高三复习。

（微山县第三中学  山东济宁  272195）