巧解抽象函数定义域问题

2021-09-10朱建

云南教育·中学教师 2021年8期

朱建

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数.抽象函数问题能有效地考查学生对知识的应用及迁移能力，对培养和提高学生的发散思维和创造性思维等能力有很好的促进作用.抽象函数定义域问题有一定难度，大多数学生解答起来总感到很棘手，即使学会了，过几天又会混淆.那么，有什么办法可以让学生深刻地理解、掌握这部分知识呢？首先，抽象函数也是函数，必须符合函数的定义：设集合A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f（x），x∈A.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域，与x的值相对应的y值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域.定义域、对应法则、值域为函数的三要素.

根据定义，对于函数三要素之间的关系，可以这样理解：运算法则f就是一种对应关系，在这种对应关系下能把集合A中的元素x对应到集合B中的元素y，其作用如同现实生活中制作某种零件的模具.当我们把铁、铜等液态金属倒入模具，冷却后就可以得到零件.液态金属如同函数的定义域，模具就是对应法则，成品就是值域.要模具起作用，原材料必须是液态的某种金属，我们暂且称其为对象.对象必须满足一定的条件，超出模具的作用范围，模具将不起作用或无法制作成品.联系函数定义，我们可以得到这样一个结论：

函数的定义域都是指x的取值范围，f的对象可以变，对象范围不会变.

这就是解决抽象函数定义域的秘诀，稍加记忆和理解我们就可以快速地解决抽象函数定义域的问题.下面笔者就结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的类型和求法.

一、已知y=f（x）的定义域为[a，b]，求y=f[g（x）]的定义域

我们可以这样理解：在函数y=f（x）中，定义域为[a，b]，即a≤x≤b.

f的对象是x，对象的范圍是a≤x≤b.

（f的对象可以变，对象范围不会变）

∴在y=f[g（x）]中对象由x变为了g（x），但是对象的范围不会变，还是a≤g（x）≤b.

（函数的定义域都是指x的取值范围）

所以解得x的取值范围为y=f[g（x）]的定义域.

例1 设函数y=f（x）的定义域为[0，1]，求函数y=f（2x+1）的定义域.

解：∵y=f（x）的定义域为[0，1]，

∴0≤x≤1（函数的定义域都是指x的取值范围）.

∴在y=f（2x+1）中，0≤2x+1≤1（函数的对象可以变，对象范围不会变）.

∴-≤x≤0（函数的定义域都是指x的取值范围）.

∴y=f（2x+1）的定义域为[-，0]

二、已知y=f[g（x）]的定义域，求y=f（x）的定义域

我们可以这样理解：在函数y=f[g（x）]中，定义域为[a，b]，由于函数的定义域都是指x的取值范围即a≤x≤b.f的对象是g（x），函数的对象可以变，对象范围不会变.我们要找到不变量过渡到y=f（x），故需要由x的范围，通过运算得到g（x）的范围[m，n].在y=f（x）中对象由g（x）变为了x，但是对象的范围不会变，还是m≤x≤n.然而，函数的定义域都是指x的取值范围，故[m，n]的取值范围即为y=f（x）的定义域.

例2 设函数y=f（lgx）的定义域为[10，100]，则求函数y=f（x）的定义域.

解：∵y=f（lgx）的定义域为[10，100]，

∴10≤x≤100（函数的定义域都是指x的取值范围）.

1≤lgx≤2（f的对象是lgx）.

∴在y=f（x）中，1≤x≤2（f的对象可以变，对象范围不会变）.

∴y=f（2x+1）的定义域为[1，2]（函数的定义域都是指x的取值范围）.

三、已知y=f[g（x）]的定义域，求y=f[h（x）]的定义域

此类问题的解法：先由y=[g（x）]定义域求得g（x）的范围，再由g（x）的范围得到h（x）的范围，进而得到y=f[h（x）]的定义域.

例3 函数y=f（2x+1）定义域是[0，1]，则求y=f（2x）的定义域.

解：∵y=f（2x+1）的定义域是[0，1]，

∴0≤x≤1（函数的定义域都是指x的取值范围）.

1≤2x+1≤3（f的对象是2x+1）.