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逆向思维,反向思考

2021-09-10陈春云

数学大王·中高年级 2021年9期
关键词:张牌反证法钝角

陈春云

阿才吃完饭,坐在沙发上回味一则今天读过的智慧故事:话说清朝宰相刘墉因为直言进谏,触怒龙颜。乾隆皇帝当堂做了两个“纸阄”,名曰“生死阄”:一个上面写着“生”,一个写着“死”。其实刘墉知道,乾隆在这两张“纸阄”上,写的都是“死”字,刘墉不管抽到哪一张,都会被处死。怎么办?

刘墉突然想起来,只要证明自己没有抽到的那张是“死”,就等于证明了自己抽到的这张是“生”啊!于是他灵机一动,上前抽出一张“纸阄”,然后一口吞下去。现场所有人都傻眼了,大家只能通过刘墉没有抽到的那张,来反证刘墉抽到的这张是什么。大家打开那张没有被刘墉抽到的“纸阄”一看,果然是“死”,乾隆皇帝只好赦免了刘墉。

阿才被刘墉的智慧深深折服,静下心来想一想:这不就类似于数学课上,老师教的反证法吗?

复杂的赛制

阿才清楚地记得,老师是这样说的:“六年级举行象棋比赛,共有100人报名参加。”接着,老师宣布了比赛方法:“抽签分组。组内2人只下一盘棋,胜利者参与下一轮抽签。如人数为奇数时,未抽到对手的人,直接进入下一轮抽签。依此操作,直至决出冠军。”你知道这次比赛一共下多少盘吗?

那时候,阿才很快得出了答案,自信地回答道:“单独看比赛规则的表述,从比赛开始到比赛结束,一轮一轮地比赛,我们依次思考下去,就比较麻烦了。但是,我们可以反过来想,从结果入手。要想得到冠军,就需要淘汰99人。而每下一盘就淘汰一人,所以一共要下99盘。”阿才对知识的快速掌握,让老师和同学们不由得赞叹。

相同花色的牌

有一次,阿才的同桌拿出了一副扑克牌,说:“我手里的这副牌,除了2张王牌之外,共有52张牌。在这52张牌中,共有4种花色——红桃、方块、梅花和黑桃。这4种花色各有13张,从中任意抽牌,你说,最少要抽出多少张牌,才能保证4张牌是同一花色的?”

阿才想了想,说:“这里‘保证的意思,想必是无论怎样抽牌,都一定有4张牌是同一花色的吧。”

阿才的同桌点了点头。

“那我们先抽12张牌,看看是否能保证有4张同花色的?虽然有时12张牌中可能有4张是同一花色的,甚至4张以上是同一花色的,但这都不能保证一定有4张牌是同一花色的。因为抽的这12张牌,可能是每种花色正好是3张牌,因此不能保证一定有4张同一花色的。”阿才继续说道。

那么任意抽13张牌,是否能保证有4张是同花色的呢?

阿才說:“如果一种花色的牌没有4张的话,那么每种花色最多只能有3张,因此4种花色的牌加起来最多只能有12张,与抽出来的13张牌矛盾。这种证明方法叫作反证法。就是假设结论是错误的,然后推出其中的某一点是与已知条件矛盾的,这就说明这个假设是不对的,因此说明我们得出的结论是正确的。”

“最后”的证明

阿才与同桌对反证法的讨论热情还没有减少。阿才翻出书桌上的一本书,指着上面的两道题对同桌说道:“你看,这是我给你精心准备的一道题,我们就用它来结束今天的讨论吧!你可以试试看哟,嘿嘿。”

阿才的同桌看了看,题目描述很简洁,大致是这样的:

一个三角形中不可能有两个钝角。(请用反证法证明)

阿才的同桌挠了挠头,思考了一下,说:“哈哈,你难不倒我的。虽然这道题的相关描述很少,但是我已经想出答案了。我先问问你,你知道三角形内角和定理吗?”

阿才不服输地说:“我当然知道了,三角形的内角和定理是‘三角形三个内角的和等于180°。”

阿才的同桌开心地一拍大腿,说:“对啊,听好了。假设一个三角形有两个钝角,那这两个钝角的和就会大于180°,这与三角形内角和定理互相矛盾啊!所以对题目的假设是不成立的,那么原命题就是正确的。”

阿才的同桌回答正确,两个人也心满意足地结束了有关反证法的交流。

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