基于逆高斯过程的竞争失效模型

丁 力，蔡风景

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

在科学技术不断高速发展的当今社会，人们的需求不断提高，新产品与新材料层出不穷，产品可靠性对于企业和用户显得越发重要.可靠性是产品在规定时间内和规定条件下，完成规定功能的能力，这种能力的表示通常归结于一个概率值，它是一个系统在指定操作条件下和指定时间内完成所有规定任务的概率.这个系统可以是设备、技能以及能担当或保障某项任务执行的各因素的总和.随着系统的高度综合化以及运行环境的复杂化，复杂系统可靠性体现出结构复杂、失效模式多样性等特点.复杂系统的失效并不再是单一失效模式的作用，往往是多种不同失效模式之间相互竞争的结果，这些失效模式之间的竞争遵循着一种竞争规则，那就是任何一种失效模式的发生在导致系统失效后，其它失效模式将不再发生，即系统的失效是由最早出现的失效模式导致的.

随着技术发展，现代工程系统还具有长寿命、高性能的特点.传统失效分析的适用性逐渐变差，然而一些退化过程可以通过观测其退化数据进行可靠性建模.退化失效建模和分析早在20世纪90 年代就已经引起了研究者的关注，并且将其应用在统计学和可靠性方面.Lu 等[1]研究了退化过程建模中随机系数回归模型，利用退化数据推导产品寿命分布.Cha 等[2]得出退化过程服从布朗运动，而突发失效服从威布尔分布的竞争失效模型的极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation,MLE）.高军等[3]研究了基于伽马（Gamma）过程的复杂系统可靠性的评估.苏春等[4]从性能退化量角度，通过最小二乘法估计模型参数，进行可靠性评估.彭宝华[5]研究了维纳（Wiener）过程的退化失效可靠性相关评估.Wang 等[6]介绍了逆高斯（Inverse Gaussian,IG）过程可灵活用于退化建模，并指出在某些应用中，IG 过程比Wiener 过程和Gamma 过程更合适.Chhikara 等[7]介绍了逆高斯分布的相关理论以及应用.Ye 等[8]进一步对单调退化的IG 过程给出了明确的物理解释.Peng[9]研究了IG 过程及其在退化建模中的扩展.

针对产品高寿命、失效模式复杂化的特点，本文研究了在截尾数据下基于逆高斯过程的竞争失效模型.首先，介绍了竞争失效模型以及模型所需数据；接着，使用数据进行基于逆高斯过程的竞争失效模型的MLE；然后，在模型的数值模拟过程中，对不同系统数目的模拟数据进行参数估计，并将结果与只采用精确失效数据建立模型获得的结果进行对比；最后，进行真实数据分析，查看本文模型在真实数据下的拟合情况.

1 竞争失效模型

假设系统存在一个退化失效模式，退化量为y(t)，失效阈值为ω，当y(t)>ω时，系统发生退化失效.且系统还存在一个突发失效模式，其发生概率受时间的影响，且随着时间的增大而增大.两种失效模式之间相互独立，且都独立作用于系统，其中任何一种模式失效都会引起系统失效，在所有的失效中，最早产生的那种失效出现时，将导致系统失效，即系统寿命T=min(T1,T2)，其中T1为退化失效寿命，T2为突发失效寿命.系统失效后将不再对该系统继续进行监测.竞争失效会导致出现突发失效的右截尾数据，即一个单元在最后检查时间前，没有发生突发失效所获得的时间数据.

1.1 退化失效

设产品退化过程{Y(t),t>0}服从参数µ、δ和形状函数为 Λ (t)的逆高斯过程，即：

1）Y(0)以概率1 等于0；

2）Y(t)具有独立增量，即对于任意 0≤t1

3）对任意 0≤t10，b>0.

表示概率密度函数（PDF）和累计分布函数（CDF）有分别如下的逆高斯分布：

其中 Φ (·) 为标准正态分布，且CDF 为

设失效阈值为ω，则寿命T1= inf{Y(t) ≥ω,t>0}的分布函数：

1.2 突发失效

设产品突发失效时间T2～WEIB(η,β)，即PDF 和CDF 有分别如下的威布尔分布：

可重新参数化为

其中

1.3 系统可靠性

系统寿命T=min(T1,T2)，其中T1为退化失效寿命，T2为突发失效寿命.系统在时刻t的可靠性函数为：

系统的平均失效时间是

1.4 数 据

假设退化过程可以实时监测，即可以获得实验开始一直到系统失效之间任意时间的退化量，若每隔预设的固定时间段对系统退化量进行记录，则可以得到退化数据为Y(tij)，其中i= 1,2,…,n表示第i个系统，j= 1,2,… ,mi表示该系统第j次测试，timi为第i个系统检测出退化量超出给定阈值ω，判定系统发生退化失效的那一次监测时间，或在系统发生突发失效时，已经获得的对系统退化量进行监测的最后一次监测时间.

则收集到的系统退化量数据可表示为：

假设我们收集到系统失效时间数据Ti，其中i= 1,2,…,n表示第i个系统.若Ti是通过检测系统的突发失效而获得的精确失效时间数据，此时ξi=1.若Ti是timi时刻退化量高于给定阈值判定为退化失效的时间数据，则它是突发失效的右截尾时间数据，此时ξi=0.因此，突发失效时间数据可近似表示为与ξi取值有关的数据：T1,T2,…,Tn，其中

综上所述，我们收集到的数据可以由表1 表示.

表1 数据收集

2 竞争失效模型分析

2.1 似然函数

令参数为 Θ=（µ,δ,α,σ），退化失效和突发失效为影响设备失效的两种独立失效模式，可得似然函数：

对数似然函数为：

2.2 极大似然估计

极大似然估计的直观想法就是：如果试验得到一组数据，则我们应当选取使这组数据出现的可能性最大的参数θ的值，也就是使似然函数L(θ)达到极大值时θ的取值，从而求得参数θ的估计值.利用极大似然估计法求得的参数估计值也称为极大似然估计值.

求未知参数θ的极大似然估计值的问题就是求似然函数L(θ)的极大值点的问题.当L(θ)可导时，这个问题可以通过解似然方程来解决.因为lnL(θ)是L(θ)的单调增函数，所以lnL(θ)与L(θ)在θ的同一值取得极大值.因此，也可以将似然方程写成

求解（11）式或（12）式这两个似然方程中的任一个，就可以得到参数Θ 的极大似然估计值.对对数似然函数（12）式关于各个参数求偏导，令其等于0，并令

在获得参数Θ=(µ,δ,η,β)的点估计值以后，我们还需要对参数的置信区间进行分析.渐进正态置信区间是一种易于计算的方法，且在大多数商业统计软件中被广泛使用.利用模型参数的MLE 值和MLE 的方差-协方差矩阵，可以计算参数和参数函数的置信区间.

根据参考文献[10]8.4.1 节式（8.5），假设获得观测信息的负对数似然的海森矩阵，则协方差矩阵

2.3 系统可靠性函数分析

3 数值模拟

在R 程序中进行一次模拟仿真.假设系统退化失效服从于逆高斯过程，突发失效服从于威布尔分布，取参数 Θ= (µ,δ,η,β)，其中µ= 0.8,δ=1.4,η= 180,β=1.8，初始退化量Y(0)=0，系统个数分别为10、30 和50，监测时间间隔为20，监测次数为20 次，模拟生成逆高斯过程的退化数据以及突发失效的威布尔分布的失效时间，并以退化失效阈值ω=220来区分导致系统失效的失效模式.将数据按表格1 收集完成.

使用收集到的数据，采取本文中MLE 方法进行10 000 次点估计以及区间估计，将结果按不同系统数目一起收录在表2 中.ξi=1，i=1,2,…,n条件下的精确突发失效数据和退化数据的竞争失效模型的模拟结果，收录在表3 中.

表2 采用截尾试验数据的模型数值模拟结果

表3 采用精确失效数据的模型数值模拟结果

对于表2，首先，我们在点估计值、平均误差和均方根误差三个方面进行比较，这里的平均误差采用了计算，其中θ为生成数据的参数初始值，为点估计值.可以明显看出，4 个参数的点估计值都在向着生成模拟数据的参数设置值靠近，随着系统数目增加，4 个参数的平均误差以及均方根误差变得越来越小.这说明随着系统数目的增加，估计效果越来越精确.

我们在参数的γ=0.05的双侧置信区间估计进行分析，进行区间长度以及区间覆盖率两方面比较.随着系统数目增加，不仅区间长度在逐渐减小，区间覆盖率也越来越接近1−γ，也就是0.95，这意味着本文所采用的参数区间估计方法是切实可行的.

我们将3 组数据的点估计均值带入可靠性函数（9）式，绘制系统的可靠性函数图，如图1所示.

图1 系统可靠性拟合图

从图1 可以看出，随着系统数目增加，拟合出来的曲线越来越接近原曲线.

表3 是只考虑ξi=1，i=1,2,…,n的精确失效数据的模型模拟结果.对表3 进行分析，可以看出，随着系统数目增加，估计效果越来越精确.相比于采用突发失效右截尾数据建立的模型，只采用精确失效数据的模型参数估计明显误差更大，在参数的点估计方面体现在点估计均值、平均误差以及均方根误差三个方面，而参数的区间估计方面体现在覆盖率偏离1−γ，也就是0.95 的程度更大，且随着系统数目增加，区间估计的区间长度越来越小，覆盖率的偏离程度也在加大.

综上所述，本文对基于逆高斯过程的竞争失效模型参数的点估计以及区间估计方案估计效果良好，均具有可行性.随着试验系统数目增长，估计效果也会更好，并且相比于只采取精确数据的竞争失效模型估计效果会更加精确.

4 真实数据分析

我们对文献[11]中获得的砷化镓激光器的退化数据与突发失效数据结合的竞争失效数据进行分析.数据如表4 所示，参加试验样本共19 个，激光产品退化数值为操作电流的增加比例，单位为%，设置退化阈值ω为10，退化产品监测时间间隔为500 h，监测次数总共为8 次试验总时间为4 000 h.若产品在试验结束时仍未出现失效，这里假设4 000 h 为突发失效右截尾数据.

表4 砷化镓激光器性能退化试验数据

采用本文基于逆高斯过程的竞争失效模型，将表4 数据代入模型中进行参数的点估计以及区间估计，得到表5 中参数的点估计值、区间左端点、区间右端点、区间长度的结果以及相应的可靠性函数R(t)（图2），将参数的点估计结果带入（9）式，可以求出这一批产品的平均失效时间约为3 954.55 h.

表5 砷化镓激光器数据分析

分别绘制了数据、退化失效、突发失效以及竞争失效的可靠性函数曲线，见图2.从图2 可以看出，刚开始时的产品失效主要是由产品的突发失效造成的，因此退化失效的可靠性函数曲线一直保持稳定.突发失效与竞争失效的可靠性函数曲线都在不断下降，且两条曲线下降幅度一直保持一致，其实产品一直存在性能退化现象，操作电流增加比例不断提高，一直到大概3 300 h左右开始出现退化失效导致的产品失效，也在此时，竞争失效可靠性函数曲线开始偏离突发失效可靠性函数曲线.

图2 砷化镓激光器可靠性函数图

5 结 论

针对产品高寿命、失效模式复杂化的特点，研究了结合截尾数据的基于逆高斯过程的竞争失效模型，在建立模型后对模型进行极大似然估计，通过渐进正态性构造模型参数的区间估计.对模型进行数值模拟后，验证了基于逆高斯过程的竞争失效模型的可行性，还验证了极大似然估计在试验系统数目增多时的准确性，并验证了采用截尾数据建立竞争失效模型相比于只采用精确失效数据建立的模型估计效果更好.在实例分析中，验证了本文模型在真实数据情况下拟合状况良好.竞争失效模型中，考虑等应力加速寿命试验和贝叶斯方法成为未来研究拓展的重要方向.