基于方向距离函数的网络交叉效率度量及其分解

涂 冲，林瑞跃

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

数据包络分析（Data Envelopment Analysis,DEA）是美国著名运筹学家Charnes 等[1]提出的，用于评价具有多个投入和多个产出的决策单元（Decision Making Unit,DMU）相对效率的数学规划方法[2].该方法发展至今，已经被广泛运用到多种行业和部门，相关理论和应用得到了极大发展[3-5].传统DEA 将被评估的DMUs 当作黑箱，不关心其运行情况，可能会产生误导决策者的结果[6].因此，Fare 等[7]提出了网络DEA 模型.网络DEA 将DMU 的生产过程打开，分成多个生产阶段，在评价总效率的同时还评价每个生产阶段的效率，这样就可以看出每个生产阶段对于总效率的影响程度.通过对每个生产阶段进行具体分析，就能为决策者找出效率低下的具体原因.现有的网络DEA 模型大多数都只采用自我评价而忽略了同行评价[8-9].为解决这一问题，Kao 等[10]提出了网络交叉效率评价模型，简称KL（Kao 和Liu）模型，用每个DMU 所采用的乘数计算其它DMU 的系统和阶段交叉效率.这样，每个DMU 不仅要自我评价，还要同行评价.每个DMU的系统交叉效率值和阶段交叉效率值都是自我评价和同行评价的加权平均.KL 模型是Kao 等[10]在固定规模收益（Constant Returns to Scalem,CRS）假设的基础上构建的投入导向型的CCR（Charnes Cooper Rhodes）模型.因此，只能在CRS 情况下评价投入端的系统效率和阶段效率.另外，他们的方法在串联结构下采用了乘积的形式分解系统效率，这使得串联结构下的效率分解无法拓展至VRS（Variable Returns to Scale）情况.

方向距离函数（Directional Distance Function,DDF）模型是对传统模型的一种改进[11-12].相较于传统模型，该模型可以通过研究者选定的方向向量来指定投入产出的改进方向[13]，同时研究者可以通过选取合适的方向向量来处理负数据.

本文基于乘数型方向距离函数，针对两种基本网络结构——串联和并联，分别给出了VRS下的网络交叉效率评价方法.无论是串联结构，还是并联结构，我们的系统效率都可拆分为阶段效率的加权平均.基于DDF 的交叉效率概念基础上，讨论了VRS 下串联系统和并联系统的交叉效率度量及分解，并使用了两个数例来说明本文提出的方法的可行性.

1 基于DDF 的交叉效率模型

为了方便模型的描述，我们在VRS 下开展模型的讨论.假设有n个DMU，每个DMU 用m项投入生产s项产出.记第j个DMU 为DMUj，其第i项投入和第r项产出分别为xij(i=1,…,m)和y rj(r=1,…,s).如下VRS DDF 模型可用于评价DMUd(d=1,…,n)的效率，

2 基于DDF 的网络交叉效率评价

2.1 串联结构

如图1 所示，本模型将一个DMU 分成q个阶段，第一个阶段消耗外来投入xi(i=1,…,m)，并将全部产出(g∈Ω1)投入第二阶段.第p(p= 2,… ,q− 1)阶段消耗p−1阶段的产出)，并将其产出全部投入p+1阶段，直到第q阶段，消耗上一阶段的产出，并将全部产出y r(r=1,…,s)全部输出.

图1 串联结构系统

为了处理可能存在的负数据，基于文献[14]的RDM（Range Directional Model）模型，令投入、产出和中间变量的方向向量分别为：

构建如下VRS 串联模型：

如果模型（3）出现多解的情况，可以采用如下第二目标模型：

2.2 并联结构

并联结构是网络DEA 中另外一种常用结构.如图2 所示，并联结构由q个互不相关的独立阶段组成，每个阶段消耗(i= 1,…,m,p=1,…,q)生产出(r= 1,…,s,p=1,…,q).

图2 并联结构系统

这表明系统交叉效率可分解为阶段交叉效率的加权平均.

3 数例分析

3.1 串联数例

采用的数例源自于文献[15]中的台湾24 家非寿险公司数例.该数例适用于两阶段的串联结构，具有两个投入、两个产出和两个中间变量.为了说明本模型能够处理负数据，我们将原数据中的x1取其相相反数，其原数据可以从文献[15]中获得.

表1 和表2 分别表示二阶段串联模型评价结果的乘数和效率，其模型如模型（3）所示.表1中，列2 至列7 分别表示x1,z1,z2,y1,y2的乘数，列8 和列9 都表示自由变量.表2 中，列2 至列9 分别表示第一阶段的交叉效率、权重和排名、第二阶段的交叉效率、权重和排名以及系统效率和排名.

表1 串联数例的乘数

表2 串联数例的交叉效率

观察表1 中的数值，不难发现许多乘数值为0，表明DMU 为了使效率值最优，会赋予部分投入、产出较低的乘数.而在生产过程中，每个投入和产出往往都有重要作用，交叉效率的思想缓解了这个问题.

表3 中展示的是单阶段DDF 模型的评价效率，其模型如模型（2）所示.表3 中，列1 至列6 表示的是自我评价的结果，列7 至列12 表示的是交叉评价的结果.观察其自我评价的结果，我们可以发现DMU5、DMU6、DMU12、DMU15、DMU20、DMU21、DMU22的效率值为0，无法进一步评价其效率优劣，辨别能力较弱.与自我评价相比，交叉评价的辨别能力更强，然而相较于表3，表4 中交叉评价无从得知无效DMU 效率低下的原因，很难给出具体的改进建议.同时观察表3，我们发现数据中的负值并没有影响本模型对于效率和排名的计算.这拓宽了本模型的适用范围，以往研究人员[14]在处理银行效率评价和环境评估等问题时，负数据常常影响模型的计算，本模型解决了这个问题.我们不难验证对于每个DMU，系统交叉效率值等于阶段交叉效率值乘以对应的权重之和.这里DMU24为例，0.126 × 0.449+0.033 × 0.551=0.075.

表3 串联结构下单阶段DDF 模型

3.2 并联数例

并联的数例源于文献[10]的2011―2013 年台湾银行业数据，适用于三阶段并联结构，每一阶段具有三个投入和三个产出，为了说明本模型能够处理负数据，我们将原数据中的y1取其相反数，其原数据可以从文献[10]中获得.

表4 和表5 分别表示三阶段并联模型评价结果的乘数和效率，其模型如模型（5）所示.表4中，列2 至列7 分别表示x1,x2,x3,y1,y2,y3的乘数，列8 至列10 是自由变量.表5 中，列2 至列12 分别表示第一阶段的交叉效率、乘数和排名、第二阶段的交叉效率、乘数和排名、第三阶段的交叉效率、乘数和排名以及系统交叉效率和排名.

表4 并联数例的乘数

表5 并联数例的交叉效率值

（接上表）

对比表5 中三个阶段的效率值和排名我们可以发现，三个阶段的排名大致相似，与取负值之前的结论一致.这表明负数据对于并联模型的计算影响较小，模型在处理负数据是能够取得较好的结果.另外，对比各DMU 的效率，没有相同的效率值，表明本模型具有较强的辨识力.不难验证，每个DMU 系统效率值等于阶段效率值与对应的权重的乘积之和，与本文定义相同.以DMU1为例，0.823 40 × 0.326 81+0.729 26 × 0.280 29+0.837 84 × 0.392 90=0.802 69.

4 结 论

基于DDF，本文得出VRS 下串联模型和并联模型，使得模型能够同时优化投入和产出.基于交叉效率的思想，通过定义串联和并联结构下DDF 的系统效率和阶段效率，将DDF 下的系统效率分解为阶段效率的加权平均，分别为两种结构提出了VRS 下的基于DDF 网络交叉效率评价方法.该方法还可以处理投入、产出及中间变量可能存在的负数据.