基于图式理论的数学问题解决认知过程研究

马晓丹， 张春莉

(1.北京教育学院 初等教育学院， 北京 100120； 2.北京师范大学 教育学部， 北京 100875)

数学学习的一个重要特征是从已知到未知，从简单到复杂，从具体到抽象，数学知识呈现的顺序性使得数学学习不能是随意的，也不是所有的学科知识都具有这样的层次性，数学可能是当前被教的知识结构中最具关联性和层次性的学科，皮亚杰称这些结构为知识图式。[1]于是，在很长的一段时间里，心理学领域有关图式的研究大都会选择数学问题作为典型样例。问题解决学习相对于一般的样例学习具有一定的特殊性，“问题解决学习更有利于数学高级认知图式的获得。”[2]这就不难理解，研究者为什么更倾向于用图式来研究数学问题解决。

基于图式理论的数学问题解决研究已取得诸多进展，如沃尔特斯基于图式进行了算术问题解决的研究，[3]戴安娜·斯蒂尔和黛布拉·约翰在代数领域区分了学生问题解决图式的两种水平，[4]钱纳潘在几何领域探讨了被学习者引入问题解决任务的几何图式。[5]这些研究虽已深入具体的内容领域，但并没有重视不同领域内数学问题解决图式在结构上的共性，以及学习者的认知结构是如何进行重组、拓展和完善的。又如，已有研究指出，结构良好的图式能够帮助学习者识别问题情境中的数量关系，既包括从特殊到一般的概括，又包括从一般到特殊的验证。[4]这说明现有研究已关注到结构完善的图式有助于数学问题解决，但是基于图式在结构上的差异对图式水平的划分以及对不同水平数学问题的区分还是模糊的，不同图式水平学习者的认知过程还需进一步深入刻画。

一、问题的提出

认知结构与认知行为是数学问题解决的两个重要方面。对学习者而言，图式反映的是学习者的认知结构，是内部的；认知过程通过外显行为来刻画，是外部的。唯物辩证法认为，外因通过内因发挥作用。这就意味着，图式与认知过程之间存在着某种关联。那么，图式是如何影响数学问题解决认知行为的？如何通过干预图式的发展过程以促进数学问题解决认知水平进阶？随着现代认知心理学和数学教育心理学的发展，当前研究逐渐意识到：图式本身存在着一定的层级关系，认知过程亦是如此，图式与认知过程之间的对应关系并非简单的因果关系。

杜宾斯基等人的APOS理论(1)20世纪80年代末至90年代初美国的杜宾斯基等人创立了数学概念学习的APOS理论模型。该理论认为学生学习数学概念是要进行心理建构的，建构过程要经历四个阶段：操作或活动(action)阶段、过程(process)阶段、对象(object)阶段、概型(schema)阶段。以皮亚杰等人提出的图式发展阶段理论为基础，解释了数学概念从程序化的操作转化为一个整体之后，进一步向更高层级的智慧技能转化的过程。[6]在这一理论中，图式经历的三种状态分别是单个图式、多个图式和图式的迁移。在修订版的布卢姆教育目标分类学中，认知过程可以分为六类：记忆、理解、运用、分析、评价和创造。[7]这六个认知过程代表了不同层次的思维水平。根据认知的复杂程度不同，记忆、理解和运用被称为低层次思维技能；分析、评价和创造被称为高层次思维技能。[8]作为高层次思维培养载体的问题解决，高层次思维技能是与之密切相关的认知过程。分析、评价、创造就是问题解决的三种认知水平。[9]如果以APOS理论提出的图式发展所经历的三种状态为节点划分不同的图式水平，引发进一步思考的问题则是：不同的图式水平与不同水平的认知过程是如何对应的？低水平的认知过程是否只在较低的图式水平存在？高水平的认知过程是否只在较高的图式水平存在？本研究期望通过实证研究的数据来揭示图式水平与认知过程的关系。

为此，本文提出如下研究问题：

(1)处于不同图式水平的问题解决者的认知过程是怎样的？

(2)处于不同图式水平的数学问题解决者的认知过程表现出怎样的共性与差异？

(3)从低水平图式到高水平图式的发展过程，数学问题解决者的认知过程呈现出怎样的趋势？

二、研究设计

本研究以APOS理论提出的图式发展所经历的三种状态为节点，将图式划分为四级水平：(1)前图式水平：未形成或形成部分可操作对象；(2)单一图式水平：形成多个单一的可操作对象，即这些对象之间没有建立起联系；(3)多元图式水平：能够将多个单一图式组合起来；(4)整合图式水平：能够作为一个整体迁移到新的情境中。本研究划分图式水平的目的在于刻画不同图式水平的数学问题解决者认知过程，比较不同图式水平的数学问题解决者的认知水平，为数学问题解决学与教的研究奠定基础。

(一)研究对象

为保证样本的代表性，本研究综合考虑师资力量和生源情况等因素，从G市选取普通校、中等校、优质校各一所，再从每所学校的七、八、九年级各选两个平行班(均为各年级处于中游水平的普通班)，以这些班级的学生为研究对象，组织实施图式水平调查和认知水平测试。参与调查和测验的总人数为861人。研究对象按学校和年级类型分布的情况如表1所示。

表1 各校、年级分布的样本人数

其中，普通校、中等校、优质校分别占测试总人数的32.4%、32.9%、34.7%。七、八、九年级测试人数分别占测试总人数的31.8%、33.6%、34.6%。男生、女生分别占测试总人数的49.5%、50.5%。

本研究共收到有效问卷790份，这里的有效问卷对应两项测验结果均有效的个案，有效个案数占被试总人数的91.8%。

(二)研究工具

考虑到图式水平与认知过程之间的对应关系只有限定在同一类问题的解决时才有意义，本研究用于划分图式水平和评定认知过程的工具也应当限定在同一类数学问题中。本研究以行程问题为载体，考查学生“能否根据具体问题中的数量关系列出方程，能否借助方程刻画现实世界的数量关系”，以探明学习者在解决某一问题时图式水平与认知水平的对应关系。

1.划分图式水平的调查问卷

为确定数学问题解决者的图式水平，初步拟定三类问题征求专家意见，这三类问题覆盖了行程问题的基本类型。通过对15名一线专家(12名初中高级教师，3名教研员)进行访谈，根据图式水平界定标定问题的测量水平；对标定不一致的问题进行讨论，9人及以上意见一致结束讨论，最终明确用于划分图式水平的三类问题。

第一类问题考查行程问题中的相遇问题或追及问题，需要学习者建构两人行驶的路程之和(差)等于两地之间距离的数量关系。这一类问题是相对独立的，求解其中的任一题目，都不会影响到另一题目的求解。若学习者不能求解该类问题中的任一问题，表示学习者形成一个独立的图式存在困难，即未形成或形成部分可操作对象。这说明学习者仅处于前图式水平。

第二类问题考查的是往返行程问题。这一类问题与第一类问题存在着一定的联系。学习者在第一类问题的知识点之间建立联系，并用路程的和与差的关系表示这一联系。对于完成了第一类问题，却不能求解第二类问题的情况，专家意见认为学习者不能将第一类问题的知识点有效地组合起来，这代表他们的认知结构尚不能将相遇问题和追及问题组合在一起，只是形成了多个单一的操作对象，这些对象间却没有建立起联系。这说明学习者处于单一图式水平。

第三类问题将非封闭路径中的行程问题迁移到环形跑道中，学习者在已形成的图式的基础之上，形成一个可迁移的整体，并将之迁移至新的问题情境中。专家认为学生能够求解第二类问题却不能求解第三类问题的原因，主要在于封闭路径的行程问题相对陌生，不能形成有效的迁移，或是学生仍然以线性思维对问题中的数量关系进行表征，形成了严重的思维定势。这说明学习者处于多元图式水平。

对于三类问题都能完成的学习者，他们不仅能够将已形成的多个可操作的对象组合起来，还能够将其自由地迁移到新的情境中。这说明学习者已达到整合图式水平。

2.评定认知水平的测试卷

学生认知水平的评定是对学习者解决不同难度的数学问题时所反映出的认知水平的综合评定。仅用难度较小的题目或难度较大的题目都不能客观地反映学习者的认知水平。研究面向10名有经验的初中数学教师对试题难度进行预估(难度由低到高，按1～10记分)，保留试题难度均值在2～9分之间的题目。研究进一步考查了题目与拟评定的认知水平的对应程度。根据15位专家(其中包括数学教育专家7名，教育心理学专家5名，中学数学教研员3名)反馈的标定结果与拟评定的认知水平之间的一致性程度(由低到高，按1～5记分)，调整(更换题目)或拆分(一道题目可包含多个得分点)平均等级小于3.5分的题目，以保证试题的内容效度。其中专家评定的依据结合具体的测评题目，并参考修订版的布卢姆教育目标分类学对认知过程及其亚类的界定(表2)。

表2 《学生认知水平测验》的评定依据

续表2

最终确定将调整后的9道题目编制成《学生认知水平测验》问卷，共包含30个得分点。第1题用于评定学习者的分析水平，包括6个得分点；第2题用于评定学习者的评价水平，包括2个得分点；第3题用于评定学习者的评价、创造水平，包括3个得分点；第4题用于评定学习者的分析、评价水平，包括5个得分点；第5题用于评定学习者的评价水平，包括2个得分点；第6题用于评定学习者的评价、创造水平，包括6个得分点；第7题用于评定学习者的评价水平，包括2个得分点；第8题用于评定学习者的分析水平，包括2个得分点；第9题用于评定学习者的创造水平，包括2个得分点。每个得分点按0、1两级记分，满分30分。其中，考查分析的题目共计12分，考查评价的题目共计10分，考查创造的题目共计8分。

研究分图式水平调查和认知水平测验两个阶段进行。图式水平调查用时30分钟。一周以后进行认知水平测验，测验分两次进行，间隔两天，每次测验用时30分钟。

《学生认知水平测验》的Cronbach’α系数为0.908，说明该测验具有较高的内部一致性信度。

三、研究结果

(一)随着图式水平的提高，学生人数呈逐级下降的趋势

通过分析学习者解决三类行程问题的过程(表征方式、数量关系等)，将学习者划分为四级水平。如表3所示，处于前图式水平的学生人数为252人，占有效个案总数的31.9%；处于单一图式水平的学生人数为226人，占有效个案总数的28.6%；处于多元图式水平的学生人数为172人，占有效个案总数的21.8%；处于整合图式的学生人数为140人，占有效个案总数的17.7%。从较低的图式水平到较高的图式水平，学生人数所占的比例总体呈现出逐级下降的趋势。

表3 不同图式水平样本分布情况的描述性统计

(二)学生认知过程的发展受到图式水平发展的影响

进一步通过学习者在不同认知过程中的表现，或是在某一认知过程中达到的高度来衡量认知水平。对各认知过程的得分按照满分为1进行标准化，即用学习者在某一认知过程中的实际得分与该认知过程中满分的比值来反映该学习者在这一认知水平上的表现。具体来说，用分析活动实际得分与分析活动的满分(12分)的比值来刻画分析水平；用评价活动实际得分与评价活动满分(10分)的比值来刻画评价水平；用创造活动实际得分与创造活动的满分(8分)的比值来刻画创造水平。下文将标准化后的得分简称“得分”。

将790名有效个案分为四组，每组个案的某一认知水平用这组个案在这一认知活动中的得分均值来表示。然后将处于不同图式水平的学习者在不同认知活动(分析、评价、创造)中的得分均值统计在表4中。

表4 不同图式水平的样本在《学生认知水平测验》中认知活动的得分均值

从表4可知，认知过程的发展会受到图式发展的影响，处于较高图式水平的学习者在各个认知过程中的成绩均高于较低图式水平的学习者在相应认知过程中的成绩。

四、讨 论

(一)多种认知过程共同促进学习者对数学问题的解决

修订版目标分类学为去情境化的认知过程描绘了清晰的范围和边界，这使得不同认知过程之间有着明确的界限，也就是认知过程的互斥性。[7]但清晰的概念界定并不意味着多种认知过程不能共存。诸如“低阶认知水平发展完全才开始发展高阶认知水平”的观点无疑是对“互斥性”的误读。需要进一步思考的是，这些认知过程在情境化的条件下又是如何发挥作用的呢？凯斯等曾指出数学问题解决者可以通过阅读题干、找到重要信息或分段等方式理解问题。[10]普雷斯利等[11]提出画图、列清单、列表或者找到更简单的例子等方式能够帮助实施一个计划。这种借助图形、表格、模型等外部形式表征问题的方式，可以大大减轻工作记忆的负担。[12]除此之外，高曼还将一些监控数学问题解决活动的元认知过程作为数学问题解决的一部分。[13]可见，数学问题解决活动包括多种认知过程，它是数学智慧技能中最高层次的学习结果，也是数学学习中最为复杂的认知过程。本研究进一步发现，处于较低图式水平的学习者，其解题行为中也存在着较高水平的认知行为，如评价活动和创造活动，尽管在这两个认知活动中的得分均值低于分析活动；处于较高图式水平的学习者，其解题行为中仍保留着略低水平的认知行为，如分析活动，并且学习者在分析活动中的得分均值仍高于评价活动和创造活动。总的来说，处于不同图式水平的学习者在解决数学问题时都表现出不止一种认知行为，多种认知过程共同作用于不同图式水平的数学问题，分析、评价、创造三个水平所对应的外显行为是相互协作的，多种认知过程共同促进有意义的问题解决学习。

(二)创造在任一图式水平的问题解决中都代表最高层次的认知过程

本研究发现，创造对于任一图式水平的学习者都是最高层次的认知过程，其次是评价，最后是分析。认知过程层次的高低与学习者在不同认知过程中的得分情况恰好是相反的，即学习者往往在层次相对较低的认知过程中获得更高的分数，而在层次相对较高的认知过程中获得较低的分数。这一特点表现在任何一级的图式水平中，即处于任一图式水平的学习者，各过程的得分均值呈现出一个共同趋势，从分析过程到评价过程，再到创造过程，得分均值由高到低。与之相反的是，分析、评价、创造所反映的认知层次是由低到高的。可见，创造相对于分析、评价过程来说，是更高层次的认知过程，创造所对应的外显行为对于数学问题解决者来说是更难习得的。拉姆斯戴恩的研究可以间接解释这一结论，通常基于分析性的或程序性的方法来完成的问题解决，几乎完全采用左脑思维的方式，可以通过学校常用的讲授法来学习。然而，创造性的问题解决是一个鼓励整个大脑以最有效的顺序进行迭代思考的框架，它本质上是合作的，当它以团队的形式完成时往往最具有创造力。[14]运用大容量的知识组块进行思维，能有助于问题解决时在短时记忆容量范围内进行思维操作，有助于心理视野的开阔和提高创造性。[15]因此，创造是一个高级的认知过程，要想达到数学问题解决的创造水平需要左右脑之间相互协调，需要个体与他人的相互合作。

(三)从低水平图式到高水平图式的过程是多种认知过程并行发展的过程

已有研究尚未对认知过程的发展路径达成共识。早期的观点认为学习者在达到较低的认知水平之后，才开始发展较高水平的认知过程；而新近的一些观点指出低水平的认知过程仍会出现在高水平的认知过程中，并可能从中得到进一步的发展。本研究发现，处于较高图式水平的学习者在不同认知活动(分析、评价、创造)中的得分均值均高于较低图式水平的学习者，即高图式水平的学习者在分析、评价和创造三个认知过程中都会有更好的表现。这一实证研究的结论间接证实了学习者在各个认知活动中的表现会随着图式的发展而进步，其原因在于处于较高图式水平的学习者采取了更为丰富和有效的行动。正如凯泽等人提出的数学能力强的学生所偏爱的几种表现[16]：(1)使用复杂的策略；(2)有效的程序性知识；(3)能够灵活运用的策略。此外，较高的图式水平还能促进问题的深层结构表征。[17]这都说明联系的多样性、规则的操作性以及思维的敏捷性是图式水平高的表现，同时也是影响数学问题解决认知过程的重要因素。因此，学习者从低水平图式到高水平图式的过程，也是分析、评价和创造并行发展的过程。具体来说，较高图式水平的学习者，其分析过程会在区分出有关部分与无关部分、重要部分与不重要部分的基础之上，进一步发展为能够确定与题解相关或重要的要素所构成的总体结构，明确某一要素在结构中的适合性或功能，能够挖掘题干中的隐含条件，明确所有条件的设计意图；其评价过程会在检验解题计划中的内部矛盾或错误之处的基础上，进一步发展为能够基于明确的外部准则和标准对不同的解题程序作出评判；其创造活动会在提出各种可能的解决方案的基础上，进一步发展为能够建立问题解决的子目标或步骤，执行问题解决的子目标或步骤。

五、结论与建议

综上，本研究得到以下结论：第一，多种认知过程同时存在于不同图式发展阶段的数学问题解决中，从较低的图式发展水平到较高的图式发展水平，分析、评价、创造活动贯穿于数学问题解决的始终。第二，创造对任一图式水平的学习者都是最高层次的认知过程，其次是评价过程，最后是分析过程。第三，从低水平图式到高水平图式的过程是多种认知过程并行发展的过程，处于较高图式水平的学习者通常在各个认知过程中都有更好的表现。

基于以上研究结论，我们对当前数学问题解决的学与教提出如下建议：数学问题解决的学习应当遵循图式的发展规律，由于学习者从低水平图式到高水平图式的发展过程是不可逾越的，其图式水平不可能从前图式水平直接发展为整合图式水平，而是逐级进行的，不同水平的图式将是发展为更高水平图式的内部条件；数学问题解决的教学应当是分阶段进行的，从前图式水平到单一图式水平、从单一图式水平到多元图式水平、从多元图式水平再到整合图式水平分别对应数学问题解决的不同教学阶段，各阶段应当匹配怎样的外部条件以促进认知水平的提升是未来数学问题解决教学的研究方向。