“多法并用”，求解一道圆锥曲线中的距离问题

李靖

距离问题在圆锥曲线中比较常见，一般要求求动点到曲线的最大（小）距离、点到曲线上动点的最大（小）距离、动直线到曲线的最大（小）距離.此类问题中的点、直线、曲线一般随着参数的变化而变化，因而运算量较大，且难度也较大.本文重点探讨了一道圆锥曲线中距离问题的几种解法，供大家参考.

题目：求椭圆Sx2 +8xy+5y2 =9上的点到原点O的最大距离与最小距离.

题目中的椭圆方程为非标准方程，所以其长、短轴虽不在坐标轴上，但椭圆的中心位于坐标原点.我们可根据椭圆的方程绘制出图形，根据几何图形的特征、二次曲线的方程特征、目标函数的特点来解题.

一、根据几何图形的特征求解

每种圆锥曲线都有其独特的几何性质，如椭圆、双曲线、抛物线均为对称图形，它们的范围、对称性、顶点、轴、焦距等都可根据图形和方程来求解.在解答圆锥曲线中的距离问题时，我们可充分利用曲线、几何图形的特征来解题，在本题中，当点（x，y）在椭圆上，点（-x，-y）也在椭圆上，因此原点是该椭圆的对称中心.假设以原点为圆心画圆，随着半径的逐渐增大，会先后出现两个与椭圆相切于两点的圆，如图所示.图中椭圆上与原点距离最大和最小的点有一个共同特点，就是该点与原点的连线垂直于椭圆在该点处的切线，因此，这两个圆的半径就是本题所求的最小距离与最大距离，

二、通过构造矩阵求解

圆锥曲线的方程均为二次式，因此在求解圆锥曲线中的距离问题时，可根据二次式的特点构造矩阵，通过矩阵运算来求得问题的答案.本题中的椭圆方程为非标准二次方程，我们需先运用二次型理论知识，根据二次型方程构造出矩阵，然后结合矩阵的特征值得到椭圆的标准方程u1w2 +u2z2=1，最终得到最值.

三、运用Lagrange乘数法求解

对于平面上两点间距离的最值问题，利用多元函数微分的知识，可将问题转化为多元函数的条件极值问题，用Lagrange乘数法求解.在解题时，需先将平面上所求得的距离表达式作为目标函数，并将点的坐标满足的方程作为约束条件，构造Lagrange函数.

为了方便求解，这里将距离的平方的表达式视为目标函数，Lagrange乘数法的适用范围很广，尤其方便求解不确定图形的形状与位置的情况下的距离问题.如果把本题中的椭圆方程换成含有一次项的非标准方程，或者其他更加复杂的曲线方程，同样能够运用Lagrange乘数法.

总之，求解圆锥曲线中的距离问题，不仅要熟练掌握圆锥曲线的定义和性质，还要学会根据几何图形的特征、二次曲线的方程特征、目标函数的特点来构造图形、矩阵、Lagrange函数，这样才能在考试中稳操胜券.

（作者单位：安徽省临泉田家炳实验中学）