如何运用放缩法证明不等式

彭姚鲜

放缩法是证明不等式的重要方法，是指通过对不等式进行合理的放缩来证明结论的方法，如何对不等式进行合理的放缩是解题的关键.下面，我们结合例题来谈一谈运用放缩法证明不等式的技巧.

一、根据极限进行放缩

在运用放缩法证明不等式时，要把握好放缩的“度”，不能放得太大或缩的太小，否则无法证明出结论.此时，我们不妨先求出不等式的两边式子或者一侧式子的极限，根据所得的极限来对不等式进行放缩，如此便能把握好放缩的“度”，

对于证明在某个区间（a，b）上不等式恒成立问题，我们先要将不等式变形，构造出函数（x），并求出在区间端点处函数的极限值f（a）、f（b），再根据极限f（a）、f（b）对目标不等式进行放缩，进而证明不等式恒成立.

二、借助切线的性质进行放缩

在运用放缩法证明不等式时，我们可借助切线的性质来进行放缩，首先将不等式进行合理的变形，构造一个或者两个函数，然后判断函数的凹凸性：若函数为凸函数，则曲线在某点处的切线恒在曲线的上方;若函数为凹函数，则曲线在某点处的切线恒在曲线的下方.

解答本题，主要运用凸函数y=lnx的切线的性质，来明确函数y= Inx与其在（1，o）处的切线y=x-l之间的位置关系，从而将不等式进行放缩，证明结论.

当遇到含有指数、对数的复杂不等式证明题时，我们可以根据极限、借助切线的性质来进行放缩，从而证明不等式成立.除了上述两种技巧，运用放缩法证明不等式的技巧还有很多种，如添加项、放大分子、縮小分母等，同学们在解题时要注意归纳总结，以提升解题的效率.

（作者单位：江苏省丹阳高级中学）