例谈一类曲线与方程问题的破解之法

张志刚

我们知道，曲线与方程之间联系紧密.建立平面直角坐标系，借助点与有序数对（x，y）的一一对应关系，便可求得曲线的方程，而借助方程可以准确地探究出曲线的性质.近几年来，高考试题中涌现出大量的曲线与方程问题，且多以多项选择题或填空题的压轴题出现，重点考查曲线的位置、范围、所围闭合区域的面积、曲线上的点到原点的距离的最值等，此类问题的难度较大，需要综合运用平面几何、函数、三角函数、不等式等相关知识才能破解.下面通过几个实例来探求此类问题的破解之道.

因此，解答此类问题注意以下几点：

（1）充分挖掘曲线的对称性并加以利用.此类问题中的曲线一般具有对称性，如关于原点、x、y轴对称.在解题时要充分利用好图形的对称性，将问题转化到x轴的右侧或者第一象限内进行求解，这样便可缩小讨论的范围.

（2）对于最值问题，要重点研究求曲线上的点到原点的最大或最小距离，在解题时可根据题设条件，尝试用数形结合的方法进行求解，或借助曲线的参数方程将问题转化为函数的最值问题，或尝试用基本不等式、柯西不等式、琴生不等式等进行求解.

（3）注重用割补法，探讨曲线所围图形的面积是此类题目的常见考点.通过分割或補形构造出规则的几何图形，发现所求曲线与规则几何图形间的大小（包含）关系，从而快速确定所求的值或范围.

（4）深刻领会坐标法在研究几何图形性质中的程序性和普适性.此类题目考查的方向往往比较分散，但不管考查曲线的何种性质，我们都应该立足于曲线的方程，充分挖掘方程的代数特征，以此为突破口，展开联想，经过缜密推理与运算，探究出曲线的几何特征.

（作者单位：山东省宁阳县复圣中学）