一种考虑参数不确定性和相关性的悬置系统固有特性分析方法

黄晓婷 杨坤 毛海宽 吕辉

摘 要：針对汽车动力总成悬置系统参数同时存在不确定性和相关性的复杂情形，提出了一种汽车动力总成悬置系统固有频率和解耦率的不确定性分析方法。首先，基于多维平行六面体模型对具有不确定性和相关性的系统参数进行描述;其次，结合正则化、泰勒级数展开和中心差分法等方法，计算悬置系统固有频率和解耦率的不确定性响应;再次，给出方法的具体分析步骤;最后，以蒙特卡洛法作为参考方法进行对比验证。结果表明，悬置系统不确定性参数的相关性对系统固有特性响应有一定影响。所提方法在求解系统不确定性响应方面表现出较高的计算精度和计算效率，可为汽车动力总成悬置系统固有特性的计算、评估和优化设计提供参考。

关键词：机械动力学与振动;动力总成悬置系统;多维平行六面体模型;固有特性;不确定性;相关性

中图分类号：TN958.98   文献标识码：A

doi：10.7535/hbkd.2021yx04001

收稿日期：2021-03-30;修回日期：2021-04-23;责任编辑：冯 民

基金项目：国家自然科学基金（51975217， 51605167）;广东省自然科学基金（2020A1515010352）

第一作者简介：黄晓婷（1988—），女，广东广州人，讲师，硕士，主要从事汽车NVH分析与控制方面的研究。

通讯作者：吕 辉副教授。E-mail：melvhui@scut.edu.cn

黄晓婷，杨坤，毛海宽，等.一种考虑参数不确定性和相关性的悬置系统固有特性分析方法[J].河北科技大学学报，2021，42（4）：319-326.HUANG Xiaoting，YANG Kun，MAO Haikuan， et al.A method for inherent characteristics analysis of powertrain mounting systems by considering parametric uncertainty and correlation[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2021，42（4）：319-326.

A method for inherent characteristics analysis of powertrain mounting systems by considering parametric uncertainty and correlation

HUANG Xiaoting1，YANG Kun2，MAO Haikuan2，LYU Hui 2

（1.Guangzhou College，South China University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510800，China;2.School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510641，China）

Abstract：In order to deal with the complex situation that parametric uncertainty and correlation coexist in the automotive powertrain mounting system （PMS），an uncertainty analysis method for calculating the natural frequency and decoupling rate of PMS was proposed.In the proposed method，the multi-dimensional parallelepiped model was firstly constructed to describe the PMS parameters with uncertainty and correlation.Then，the uncertain responses of the natural frequency and decoupling rate were calculated by integrating the regulation technique，Taylor series expansion and central difference method.Next，the analysis procedure of the proposed method was presented.Finally，the Monte Carlo method was used as a reference method for comparison and verification.The numerical analysis results show that the correlation of uncertain parameters of PMS has a certain influence on the inherent characteristics of the system.The method presents acceptable computational accuracy and higher computational efficiency in solving the uncertain response of PMS，which provides important reference for the calculation，evaluation and optimization design of the inherent characteristics of automotive PMS.

Keywords：

mechanical dynamics and vibration;powertrain mounting system;multidimensional parallelepiped model;inherent characteristics;uncertainty;correlation

工程实际中，受生产加工、测量误差、磨损、疲劳老化和复杂工况等主客观因素的影响，汽车结构系统，包括动力总成悬置系统（powertrain mounting system，PMS）[1-4]，往往存在众多不确定性因素。系统振动特性的复杂性与存在于系统的不确定性因素密切相关。因此，在PMS固有特性的分析和优化设计过程中，很有必要考虑系统不确定性因素的影响。

基于不确定性分析技术的PMS研究不断深入。基于随机模型，SIRAFI等[5]讨论了系统悬置刚度的不确定性对PMS固有特性的影响;WU等[6]基于扭矩轴解耦理论对PMS进行了6-sigma优化，其中悬置刚度和位置参数被视为随机变量。基于区间模型，XIE等[7]使用Chebyshev区间分析方法计算了PMS固有特性的区间界限;CAI等[8]结合Chebyshev多项式与顶点法，对PMS固有特性进行了有效分析和優化。

然而，上述随机和区间模型均将系统不确定性参数视为独立变量，没有考虑参数相关性的影响。对于汽车结构系统中不确定性参数之间存在相关性的情形[9]，这2种模型均无法进行有效处理。对于此类情形，可采用多维椭球凸模型和多维平行六面体模型进行处理。吕辉等[10]基于多椭球凸模型处理悬置刚度的不确定性和相关性，对PMS固有特性进行了有效分析。PMS中同一悬置的三向刚度参数之间往往具有相关性，而不同悬置之间的刚度参数却相互独立。因此，基于多椭球凸模型的不确定性分析需建立多个椭球模型，这会在一定程度上给数值建模分析带来不便。

多维平行六面体模型（multidimensional parallelepiped model，MPM）可同时考虑参数不确定性和相关性共存的情形[11]。吕辉等[12]引入MPM处理系统悬置刚度，采用蒙特卡洛法提出了一种PMS不确定性分析方法。为获得精确的响应结果，该方法需要进行大量蒙特卡洛法抽样操作[13]，计算效率偏低。本文在前期工作基础上，为在保证计算精度的同时有效提高计算效率，基于MPM提出了一种将正则化技术、泰勒级数展开和中心差分法相结合的PMS不确定性分析方法，并给出了算例分析结果。

1 PMS固有特性计算

图1给出了某车型的PMS动力学6自由度模型[14-15]。

系统自由振动的动力学微分方程为

Mq¨+Kq=0，（1）

式中：M和K分别为PMS的质量矩阵和刚度矩阵;q为动力总成质心的6自由度位移向量。

求解式（1），可得PMS的固有频率fj，以及对应的振型φj=[φ1j，φ2j，…，φ6j]T，j=1，2，…，6。

当PMS以第j阶固有频率振动时，第k个方向所占的能量百分比[16]为

EDk，j=φkj∑6l=1MklφljφTjMφj，（2）

式中φkj表示φj的第k个分量。

第j阶模态的解耦率定义为

dj=maxED1，j，ED2，j，…，ED6，j，（3）

当解耦率为100%时，系统作第j阶振动的能量全部集中在某个方向上，该阶振动完全解耦。

2 MPM分析

对于实际工程中具有多组不确定性参数的情形，组与组之间的参数相互独立，而组内参数存在相关性。此类情形可采用多维平行六面体模型[11]描述参数的不确定域。设系统存在n个有界不确定性参数X=X1，…，Xt，…，XnT，Xt的不确定范围为Xt∈XCt-XWt，XCt+XWt t=1，2，…，n。其中，XCt和XWt分别为Xt的中心值和区间半径。

对于任意2个不确定性参数，Xt和Xlt，l=1，2，…，n，

其不确定域可用平行四边形域包络，如图2所示。

定义Xt和Xl的相关系数为

ρXtXl=b-ab+a。（4）

当a=b时，即ρXtXl=0，Xt和Xl相互独立;当a=0或b=0时，即ρXtXl=1，Xt和Xl呈线性正相关。

由n个不确定性参数构成的多维平行六面体的数学表达式为

ρ-1T-1R-1X-XC≤e，（5）

式中：e=1，1，…，1T;R=diagXW1，XW2，…，XWn;T=diagw1，…，wt，…，wn，wt=1∑nl=1ρt，l;ρ为相关系数矩阵。

在获得不确定性参数样本数据后，可根据以上数学表达式建立MPM模型。在式（5）中，当相关系数矩阵ρ的所有元素取值为0时，对应的MPM可描述所有参数相互独立的情形，如图3 a）所示;当ρ部分元素为0时，相应的MPM可描述参数相关性和独立性共存的情形，如图3 b）所示;当ρ的元素均不为0时，对应的MPM可用于描述所有参数两两相关的情形，如图3 c）所示。

3 PMS固有特性的不确定性分析

分别以fjX和EjX表示PMS的固有频率和解耦率（j=1，2，…，6）。为便于分析，以下过程用YjX表示fjX或EjX。

蒙特卡洛法是一种应用广泛的不确定性分析技术。文献[12]给出了基于蒙特卡洛法和MPM求解YjX不确定边界的主要步骤，这里不再赘述。为提高计算效率，本文提出MPM摄动分析方法。

首先，通过正则化技术将平行六面体模型转换为标准区间模型，如图4所示。

设ζ=ρ-1T-1R-1X-XC，Ω*=ζζ≤e，其中，ζ=ζ1，…，ζt…，ζnT，ζt∈0，1（t=1，2，…，n）。响应YjX被变换为Y*jζ，ζ∈Ω*。

通过正则化处理，相关性参数X的不确定域Ω被投射到以原点为中心且半边长度为1的标准立方体中，形成变换参数ζ的空间域（Ω*）。在Ω*中，区间变量ζ相互独立。因此，通过正则化变换后的MPM，可采用目前成熟的区间模型处理方法进行处理。

对Y*jζ在中心点处用一阶泰勒展开，即

f*jζ=f*jζC+∑nt=1f*jζCζtζt-ζCt。（6）

由于ζC=0，0，…，0T为ζ空间的原点，因此Y*jζ可表示为

Y*jζ=Y*j0+∑nt=1Y*j0ζtζt 。（7）

偏导函数Y*j0ζt可通过以下关于参数X的式子求得：

Y*j0ζt=∑nd=1Y*jXXdXdζtζ=0。（8）

由于PMS中不确定性参数Xt与变换参数ζ均为一次多项式的关系，即Xdζt为常数。因此，Y*j0ζq还可表示为

Y*j0ζt=∑nd=1YjXCXdXdζt。（9）

利用中心差分法[17-18]，偏导数YjXCXd可表示为

YjXCXd=YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXd，（10）

其中δXd是一个微小增量，δXd=0，…，δXd，…，0T。

将式（10）代入式（8），得

Y*j0ζt=∑nd=1YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXdXdζt。（11）

考慮到ζt∈0，1，响应函数Y*jζ的边界范围可分别表示为

Y-*jζ=Y*j0+∑nq=1Y*j0ζt=Y*j0+∑nt=1

∑nd=1YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXdXdζt，（12）

Y-*jζ=Y*j0-∑nq=1Y*j0ζt=Y*j0-∑nt=1

∑nd=1YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXdXdζt。（13）

式中Y-*jζ和Y-*jζ分别为响应的上边界和下边界。

综合以上分析，可得MPM摄动分析法的一般步骤如下。

1）对于系统中n个不确定性参数X，根据实验数据分析得到各个参数的边界和中心值。通过建立两两参数的平行四边形域的方式，得到参数间的相关系数。

2）根据MPM的相关系数矩阵以及数学解析式，基于参数边界、中心值以及相关系数，建立该样本数据下的MPM。

3）通过正则化，将具有相关性的不确定变量X变换为独立区间变量ζ，将响应函数Yj（X）从多维六面体空间变换到多维标准立方体空间，变换后的响应函数为Y*j（ζ）。

4）在中心值处对Y*j（ζ）一阶泰勒展开，由式（12）和式（13）得到Y*j（ζ）的上下边界，即为Yj（X）在原空间中的上下边界。

4 算例分析

4.1 PMS模型

以某4点横置PMS为例[12]，如图5所示。表1给出了各悬置的初始静刚度。

4.2 基于MPM的频率及解耦率计算

选择悬置点刚度作为研究对象，考虑同一悬置点三向刚度参数的相关性，且不同悬置的刚度参数相互独立，对4个悬置的刚度可建立一个12维度的MPM。表1所示为各刚度的区间中点值，假设刚度参数的不确定度为±5%。为便于分析，令各悬置点的三向刚度的相关系数相同，分别研究悬置刚度参数的相关系数为0，0.2，0.4，0.6，0.8和0.9共6种不确定情形，当相关系数为0时，MPM退化为纯区间模型，各参数相互独立。

考虑2个主要方向（Bounce和Pitch方向）的固有特性配置[19-20]，以下分析计算只给出2个主要方向的响应结果。图6、图7分别给出了不同相关系数下悬置系统Bounce和Pitch方向固有频率和解耦率的上下界数值。以下将纯区间情形（相关系数为0）计算得到的结果与其他不同相关系数情形计算出的结果之差的绝对值，称为偏差。

由图6和图7可知：

1）当相关系数为0，即各变量相互独立（退化为纯区间情形）时，系统频率及解耦率的变化范围最大。

2）对于固有频率，考虑参数相关性后，其变化范围缩窄，但相关系数的进一步增大对频率范围的影响不大。①在Bounce方向，参数相关性主要影响频率的下界，与无相关性的结果比较，当参数存在相关性时，下界频率的数值增大，出现了约0.9 Hz的偏差。②在Pitch方向，参数相关性主要影响频率的上界，与无相关性的结果比较，存在约1.4 Hz的偏差。

3）对于解耦率，考虑参数相关性后，其变化范围逐渐缩窄。①在Bounce方向，参数相关性同时影响解耦率的上下界，其偏差随相关系数的增大而增加。与无相关性的结果比较，上界的偏差范围为5%～13%，下界的偏差范围为 9%～19%;②在Pitch方向，参数相关性主要影响解耦率的下界，与无相关性的结果比较，偏差范围为13%～17%。

以蒙特卡洛法作为参考方法，分析MPM摄动法的计算精度，以蒙特卡洛法与MPM摄动法的计算结果之差的绝对值作为计算误差，如表2和表3所示。

1）对于PMS固有频率，MPM摄动法在不同相关系数下求得的固有频率均约等于无相关性时的数值。不考虑相关性时两方法误差最小，2个方向上下界误差均约为0.02 Hz。考虑相关性后，由于固有频率随相关系数增大的影响较小，因而2个方向上的计算误差随相关系数变化不大，上下界误差均约为0.05 Hz。

2）对于PMS解耦率，Bounce和Pitch方向表现出较大差异。①对于Bounce方向，参数无相关性时计算误差最大，上界误差约3.2%，占参考值的3.8%，下界约1.5%，占参考值的2.8%;而误差随着相关系数增大算法误差有所下降，当相关系数为0.9时，上下界误差降至约0.6%。②对于Pitch方向，MPM摄动法的上界误差随相关系数的增加稍有减小的趋势，由1.7%降至约1.2%;而下界误差稍有增大，由0.6%增至约1.0%。

上述分析均在同一计算机上进行求解，对于某一相关系数情形下的求解，蒙特卡洛法的计算用时约为6 910.7 s，而MPM摄动法用时仅为2.4 s。因此MPM摄动法具有较高的计算效率。

5 结 语

本文针对蒙特卡洛法计算效率较低的问题，提出了一种基于正则化技术、泰勒级数展開和中心差分法的MPM摄动法，处理考虑参数不确定性和相关性的汽车动力总成悬置系统固有特性分析问题。分析结果表明，所提出的方法能有效处理悬置系统不确定性参数相关性和独立性共存的情形;在不同的相关系数下，与蒙特卡洛法相比，MPM摄动法的计算误差在可接受范围内，且具有较高的计算精度，同时运算时间大幅缩减。

本研究不足之处在于当参数不确定性很大时，摄动法可能存在一定的局限性。但总体而言，本文方法可为汽车动力总成悬置系统固有特性的计算和评估提供重要参考，后续将对其运用于系统的优化设计开展进一步研究。

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