种子课，将“生活经验”改造成“数学知识”

俞正强

生活经验，是小学生在日常生活中获得的感性认识。

数学知识，是人类以数学方法对世界加以认识的理性成果。

将“生活经验”改造成“数学知识”，数学知识对于学生来说就不是外加的，而是内生的，是从生命之树中长出的一根枝芽，而不是贴在生命之墙上的一块瓷砖。长出的枝芽，还能继续长;贴上的瓷砖，如果得不到养护，就会有脱落的可能。

那么，我们数学老师，如何帮助学生完成“生活经验”的改造呢？本文以“比的认识”为例，讨论如何完成经验改造。

一、溯源：比的生活经验来自两个地方

我们要帮助学生完成“生活经验”的改造，首先要将相应的生活经验找到，让生活经验成为一个存在、一个思考对象。

对学生来说，“比”的生活经验，主要存在于体育比赛中，但其实体育比赛的“比”不是我们要认识的对象，是去伪存真的认识过程中的“伪”的部分。

“比”的生活经验的“真”的部分，在学生的经验中并不十分明显。课本中选了照片的放大与缩小。其实照片的放大与缩小不是比，是比例。

课本里是以照片的放大与缩小为切入口，然后直接给出一个定义：两个数相除又叫作两个数的比。

从这个定义看，比是一种运算，是除法的另一种说法。

这个定义妥当与否本文不作讨论，因为本文主要是讨论生活经验的改造。

个人在教学实践中选择“煮饭”这件事情作为生活经验的切入口。饭是米和水的“比”，因为学生每天都会吃饭，所以有充分的经验，只是没有教师引导，学生很少会主动想到煮饭这件事情。

1. 体育赛事中的比

材料：（）∶（）

序一：这份材料在什么地方看到过？怎么读？

讨论：体育比赛。几比几。如足球比赛2∶3。

序二：请同学们说说足球赛2∶3是什么意思。

讨论：一个班踢进2个球，另一个班踢进3个球。

序三：如果场上又踢进一个球，接下来可能会是几比几？

讨论：2∶4或3∶3。

2. 煮饭中的比

材料：煮饭

序一：同学们肯定都吃过饭，大家煮过饭吗？

讨论：水加米煮成饭，水和米不能随便乱放，要有个基本的要求，水太多会稀，米太多会硬……

水和米之间有一个恰恰好的关系，这个关系定了就能煮成我们喜欢的饭。

序二：我们家煮饭通常米和水的关系表示为2∶3，大家能看明白吗？

讨论：2杯米与3杯水。

2斤米与3斤水。

2份米与3份水。

序三：今天我们家来了很多客人，煮饭的时候放了4杯米，大家觉得水应放多少？

讨论：4杯米就要6杯水，如果米增加了水不增加，饭就变硬了。而且必须变成6杯水，如果不是6杯水，饭的口感就变了。

要使饭的口感不变，则必须变成6杯水。

结论：口感就是标准的通俗的理解，比，本质上是一种关系的标准。

二、实践：经验改造的两个基本要点

在前面的经验整理中，形成如下材料：

接下来便进入关键的改造环节。

改造一：概括比较，厘清相同点与不同点

相同点：都是2∶3，前项后项是一样的。

不同点：（见表1）

【分析】经验的改造，首先是将经验作为思考对象，在成为思考对象之后，组织学生进行思辨，思辨的方式是比较、抽象与概括。思辨的结果是混沌的经验被特征化，而且特征是基于比较产生的，特征又是比较指向的。

改造二：去伪存真，形成比的基本概念

对于数学而言，我们所关注的“比”是类似煮饭这样的“比”，不是体育赛事这样的“比”。

因此，对小学数学而言，“比”有一对双胞胎，有点类似真假孙悟空。把这两个“孙悟空”放在一起，尽管长得一模一样，都是2∶3，差别却是巨大的。表1左边体育赛事之比是伪比，右边煮饭之比是真比。这个去伪存真的过程，也是这节课完成经验改造的关键环节，相当于摄影人说的“定格”，是知识的固化的一个节点。

材料：表1

序一：同学们，同一个2∶3，在不同的地方，表示的意义有这么大的差别。如果我们选择一个作为研究对象时，大家会选择哪一种？

讨论：选择生活中的类似煮饭的比，因为这个比是有规律的，有规律的是可以研究的。

序二：现在我们擦去体育赛事中的比的认识，留下煮饭中的比的认识。请同学们说说，比是什么？

讨论：比是两个量之间的一种固定的关系，一个量的变化一定带来另一个量的相应的变化，这种固定关系是一种标准。

序三：在学生的讨论中，将表1改造成表2。

【分析】这些认识便是比的概念的内涵，内涵确定，比的认识便基本完成。去伪存真的过程是一个思辨的过程，这个过程也是达成理解的过程，去伪存真的结果就是对数学知识的定格、固化，即什么是比的明确。

三、应用：速度是路程與时间的比

当那些模糊的零碎的经验通过思辨、去伪存真后成为数学知识时，让这个知识发生作用是十分重要的。学生会在知识发生作用的过程中加深对知识的理解。作用的发生主要有两种路径：一种路径是用改造而成的数学知识解决相应的问题;另一种路径是用改造而成的数学知识解释已有的知识。

在学生的原有知识中，速度是单位时间里完成的路程，速度是运算的结果。在学习比的认识之后，速度是路程与时间的比，速度是作为一种关系而存在的。这个对速度的新的解释的过程，就是比作为改造而成的数学知识的运用过程。这一过程如何完成呢？

序一：请观察时间与路程两个量之间的关系。

讨论：1.时间的变化一定带来路程的变化。

2.时间与路程不论怎么变，始终是120与  的关系，这个关系就是固定的。

3.只要车在跑，时间与路程就不可能为0。

结论：路程与时间的关系符合比的内涵，因此，速度其实是路程与时间的比。

序二：我们发现速度其实就是路程与时间的比。同学们能都举一反三，谁又是谁和谁的比呢？

结论：单价是总价与数量的比。

序三：请大家观察以下材料，有什么发现与大家分享？

材料：路程÷时间=速度  速度是路程与时间的比

总价÷数量=单价  单价是总价与数量的比

总量÷时间=效率  效率是总量与时间的比

讨论：比总是与两个相除的量连接在一起。我们在举一反三时的窍门就是与除法运算相连。

【分析】在这个数学知识的运用过程中，学生们体会到比与除法运算的密切联系。书本之中的关于两个数相除又叫两个数的比，在这里得到了落实，而这个落实是在知识的运用中完成的。至此，比是什么，学生们应该有个完整的认识了。

四、经验改造学习中的三个问题

做好经验改造，关键在两点：

第一，經验的唤醒与整理，使经验成为一个改造的“对象”。

第二，改造过程中的概括与去伪存真，形成一个“数学知识”。

要做好这两点，则必须做到以下三个要点。

要点之一：找准经验唤醒的切入口

在比的认识过程中，体育赛事这个切入口是十分普遍的，足球、篮球等什么比赛都无关紧要，而煮饭这个经验的切入口的选择十分重要。

为什么选择煮饭？

生活中关于这种配比的具体经验，学生是十分缺乏的，有人说配果汁，有人说洗衣服，有人说做面包，虽然这种事情很多，具体按照规范去干的却很少。很少干的活，经验便不具有普适性，讨论便无法开展。

煮饭这件事，虽然学生很少有直接的煮饭经验，但每位学生都有丰富的吃饭的经验。他们知道太黏的饭或太干的饭的原因是水多或水少，他们知道吃饭的人多自然米要多，米多了自然要水多。而且现在的学生都能明白什么是“口感”。妈妈烧的菜、外婆煮的饭为什么好吃？只是那个口感。学生们对口感完全能理解。

而自己习惯的那个口感，就是自己对饭的标准的设置，这种标准其实就是米与水的固定关系。

因为有这些基础，所以在经验的唤醒以及唤醒过程中有利于概括比较的，莫过于煮饭这件事了。

要点之二：在经验唤醒与思辨中舍得花时间

教师们对课堂效率念念不忘，似乎作业做得多了，就是效率高。因此，“比的认识”通常会是以下教学流程：

1.课堂谈话：照片放大不变形

2.定义学习：两个数相除又叫两个数的比。因为除数不能为0，所以比的后项不能为0

3.练习：将除法运算改写成比，求比值

4.练习：相同量的比扩展到不同量的比

5.小结

这个流程，比的认识来自除法运算，比只是除法的另一种表示。所有除法的规则同样是比的规则：除数不能为0，所以比的后项不能为0;因为有商不变的性质，所以有比的基本性质。

学习十分简单，作业会做得比较多，效率会高。

但是，这样的学习是脱离学生们的生活的。在学生们的生活中，明明看见比的前后项都可以是0的。胆大的学生问老师一下，老师会回答：那个比不是我们这个比。胆小的学生则会把疑惑放在心里，觉得数学是一只古怪的怪兽。

迎着学生们生活中最熟悉的“比”的经验上去，就会费时间，一点一点厘清楚，需要占用时间。学生的思考也要有时间，时间的占用会减少学生做作业的时间。

但是，这段时间是不会白花的。这段时间花了，学生会少做一些作业，但是，得到的回报是学生会喜欢上数学，喜欢上思考，喜欢上观察这个世界，继而喜欢去干一些事情。

要点之三：改造中形成的观点要多包容

在“比的认识”的改造中，有一个讨论是这样的：

师：在比中可以出现0吗？

生1：比的后项不能为0，因为除数不能为0。

生2：比的前后项均不能为0，因为如果出现0，饭就不是饭了。

请老师们思考，这两个学生的回答，您喜欢哪个学生的回答。

生1的回答，估计来自他的课外学习，他是用知识在回答我们的问题，就其性质而言，是知识的提取。生2的回答，则应该来自他对生活经验的思考，他用常识回答问题，就其性质而言，是知识的创造。

但是，生2的回答与书本上的知识是有冲突的，书本上认为：

比的前项可以为0，比的后项不能为0。

而这位同学以他的思考告诉我们：

比的前项与后项，都不能为0。

理由很简单：米∶水=2∶3，若米为0，则饭不是饭，是水;若水为0，则同样饭不是饭，是米。

那么，他的思考结论与书本的知识不相符，怎么办？

这就需要有包容之心。因为在经验的改造中，思考环境是开放的，既然是开放的，则完全有可能获得一些意外的成果。

而这些意外的成果与计划的成果一起，便组成了学习的深度水平。

经验的改造，其实只是把知识学习深入学生们的生活中，这应该就是我们平常所说的深度学习了。

（作者系浙江省金华师范学校附属小学校长）

责任编辑：胡玉敏

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