计入关节摩擦的空间桁架结构动力学建模及共振分析

刘福寿 徐文婷 金栋平

摘要： 关节非线性对大型可展开空间桁架结构整体动力学特性有着重要影响。将关节模拟为具有六个方向刚度且其中任意方向可含有非线性特性的弹簧系统，研究了空间桁架结构非线性动力学建模与共振分析方法。采用双线性滞回模型模拟关节的摩擦特性，基于描述函数法得到了关节等效刚度和等效阻尼的解析表达式。在对两端含非线性关节的桁架构件进行动力学缩聚的基础上，建立了桁架结构在频域下的整体缩聚动力学模型，并采用Newton?Raphson迭代方法进行频域响应求解。通过数值算例将本文方法的计算结果与有限元分析结果进行比较，验证了本文方法的准确性和高效性。

关键词： 结构振动; 空间桁架结构; 非线性关节; 摩擦滑移; 双线性滞回模型

引  言

空间桁架结构具有轻质高强、结构灵活、宜于扩展等优点，是目前大型空间可展开结构及未来超大型在轨组装结构的一种主要结构形式[1?3]。不论是可展开桁架还是在轨组装桁架，都会使用大量的连接部件（简称“关节”）来联结桁架构件[4?5]。在这些关节中不可避免地存在间隙，导致关节内产生接触碰撞、摩擦滑移等力学问题[6]，成千上万个关节间隙可以使整个结构动力学呈现强非线性，甚至使理想结构的动力学特性发生很大改变[7]。因此，准确预测关节非线性对整体结构动力学特性的影响，对于大型空间桁架结构动力学设计及在轨动态性能至关重要[8]。

由于空间桁架结构中关节非线性特性的复杂性，精确建立关节动力学模型往往十分困难，通常需要对关节非线性模型进行一定的假设和简化，使其反映关节最本质的非线性特征。根据关节非线性刚度和阻尼的产生机理，可将其非线性模型分为接触碰撞模型和摩擦模型两种主要类型[7]。关节接触碰撞模型主要包括连续接触模型、两状态（接触和分离）模型以及三状态（接触、自由运动和碰撞）模型三类[8]。关节摩擦模型主要有理想双线性滞回模型[9]、考虑摩擦系数与速度相关性的Stribeck模型[10]、考虑微滑移的Valanis模型[11]以及能够描述多种摩擦现象的LuGre模型[10，12]等。在模拟空间桁架结构中的关节摩擦时，由于理想双线性滞回模型具有形式简单，需要辨识的物理参数少、物理意义明确等优点而被广泛采用[9，13?14]。

对于含单个或数个非线性关节结构的动力学特性研究，解析或半解析方法得到广泛关注[11?13]。例如，Yoshida[6]采用等效单自由度模型，研究了含单个回转铰链的悬臂梁的频率跃迁及能量耗散现象。Wei等[15]基于Galerkin方法，获得了含多个非线性关节的铰接梁的降阶动力学方程。然而，对于含大量非线性关节的空间桁架结构动力学建模与分析，目前主要依赖时域或频域内的数值分析方法，解析或半解析研究尚不够充分。时域数值方法通常采用有限元法进行桁架结构非线性建模和结构动响应计算[16?17]。为了获取足够精确的结果，时域方法在计算动响应时通常需要采用较小的时间步长，导致计算量太大[18];频域分析方法主要是利用谐波平衡法[19]、增量谐波平衡法[20]和描述函数法[21]等分析结构在简谐激励下的动力响应，其本质是将时域内的非线性微分方程组转换为频域内的代数方程组，提高求解效率。例如，宋正华等[19]采用谐波平衡法对含立方刚度铰的四边形桁架单元进行了动力响应分析。Zhang等[21]基于描述函数法对含立方刚度铰链的周期平面桁架结构进行连续体等效建模研究。上述有关频域方法的研究中，均是将桁架中的关节模拟为单一方向的非线性弹簧，而实际空间桁架结构中的关节的力学特性往往十分复杂，可以表现出多个方向的非线性特性。因此，针对空间桁架结构的非线性动力学建模，需要发展更加具有通用性的建模方法。

本文将桁架中的关节模拟为沿构件局部坐标系平动和转动方向的六个弹簧单元，采用双线性滞回模型模拟关节摩擦特性。基于描述函数法推导了非线性关节的等效刚度和等效阻尼系数，建立了桁架结构在频域下的整体缩聚动力学模型，分析了非线性模型参数和激励力幅值对桁架结构动力特性的影响。

1 桁架结构非线性动力学建模

考虑含多个非线性关节的Pratt型空间周期桁架结构，如图1所示。将桁架结构中的构件模拟为空间梁模型，关节模拟为在构件局部坐标系下沿三个坐标轴方向的零长度平动弹簧（记为kux，kuy，kuz）和绕三个坐标轴方向的零长度转动弹簧（记为kθx，kθy，kθz），如图2所示。同时，考虑到关节的尺寸效应，在构件两端分别加上长度为e1和e2的刚臂，不计关节质量。

1.1 非线性关节等效建模

考虑桁架结构受到频率为ω（ω接近系统的某阶共振频率）的简谐激励，则桁架结构的动态响应以频率为ω的基础谐波分量为主，高阶谐波分量与基础谐波分量相比可以忽略不计。因此，桁架内关节在任一刚度方向上的相对位移可以近似表示为

1.2 桁架结构模型缩聚

在获得非线性关节的等效刚度和等效阻尼系数后，可采用有限元法或动力刚度法建立包含空间梁单元、等效弹簧?阻尼单元和刚臂单元的桁架结构频域离散动力学模型，然而这样的模型将具有很高的自由度数。为此，可以采用文献[23]提出的方法对上述离散模型进行动力学缩聚。以动力刚度法模型为例，根据构件与关节之间的位移连续性条件和动力平衡条件，首先将图2所示两端含非线性关节的构件缩聚为两节点铰?梁混合单元，该缩聚单元的动力刚度矩阵为[23]

2 算例研究

考虑由10个基本单元组成，包含60个关节的Pratt型周期桁架结构。桁架构件的长度为Ll=1.5 m（含两端关节长度），Lv=1.5 m。轴向构件和斜向构件两端的关节长度分别为0.02 m和0.03 m。构件采用碳纤维管制作，弹性模量E=205 GPa，密度ρ=1720 kg/m3，外径40 mm，内径34 mm。考虑构件材料具有弱阻尼，采用瑞利阻尼表示，瑞利阻尼系数α=0.05，β=0.001。该桁架结构的面内振动（Oxz平面内的弯曲振动和轴向振动）与面外振动（垂直于Oxz平面的彎曲振动和扭转振动）相互独立。为研究关节非线性对桁架面内和面外振动的影响，设关节轴向刚度kux（只影响面内振动）和绕z轴方向的转动刚度kθz（只影响面外振动）具有双线性滞回特性，其他方向刚度为线性。kux和kθz的临界位移分别为5×10-5 m和3×10-4 rad。为简便起见，假设所有关节具有相同的力学特性，初始刚度如表1所示。

首先采用描述函数方法计算非线性弹簧kux和kθz的等效刚度和阻尼系数，其中kux的等效结果如图5所示。从图中可以看出，随着关节相对位移幅值的增大，等效刚度系数从初始刚度k1逐渐减小到最终趋于刚度k2，而等效阻尼系数从零开始先增大后逐渐减小。在关节相对位移幅值刚超出临界滑移位移时，等效刚度系数和等效阻尼系数变化较快，之后变化缓慢。

在获得关节的等效刚度和阻尼系数后，便可建立桁架结构的缩聚动力学模型。本算例的缩聚模型共包含22个节点，132个自由度（由于采用动力刚度法建模，每根构件只需划分为1个单元）。为了验证本方法的准确性，同时采用ANSYS建立桁架结构的原始有限元模型。由于ANSYS无法直接分析出非线性结构的幅频特性，本文通过简谐激励下的非线性时程分析，间接获得非线性幅频特性。ANSYS模型中，构件采用Beam4单元模拟（为了准确模拟结构高频响应，将每根构件划分为5个梁单元），模拟关节的线性和非线性弹簧分别采用Matrix27单元和Combin40单元，刚臂采用MPC184单元模拟。整个有限元模型共包含306个节点，1836个自由度。

假设关节轴向非线性弹簧kux滑移后刚度k2=0.5k1，在桁架最右端A点上施加幅值为5 N沿z轴方向的简谐激励，观察在桁架结构前两阶面内共振频率附近A点竖向位移幅值随激励频率的变化，结果如图6所示。从图中可以看出，采用本文方法得到的桁架结构前两阶面内共振特性与ANSYS结果均十分吻合，由于关节滞回非线性的影响，桁架结构的前两阶共振频率左移，幅值明显减小。

为研究关节非线性转动刚度kθz对桁架面外振动特性的影响，取刚度比k2/k1=0.5，在桁架最右端A点上施加幅值为1 N沿y轴方向的简谐激励，求得A点沿y轴方向位移的幅频曲线，如图7所示。从图中可以看出，本文方法同樣可以准确分析出关节转动刚度kθz对桁架结构前两阶面外共振特性的影响。

为研究激励力幅值对桁架结构非线性动力特性的影响，并验证本文方法在不同激励大小下的准确性，保持关节参数不变，将激励力幅值从5 N增加到15 N，得到一阶共振频率附近A点竖向位移幅值随频率的变化，结果如图8所示。可以看出，随着激励力幅值的增大，桁架结构的共振频率逐渐左移，说明激励力幅值越大，系统的整体刚度越小。另外，从图中可以看出，当激励幅值达到15 N时，本文方法仍然可以获得准确的非线性频响结果。

为了研究关节参数对计算结果准确性的影响，考虑关节轴向非线性弹簧kux滑移后刚度k2=0.8k1和k2=0.2k1两种情况，在桁架最右端A点上施加幅值为5 N沿z轴方向的简谐激励，得到桁架结构一阶面内共振如图9所示。由图中结果可见，当k2=0.8k1时，两种方法得到的稳态响应幅值均十分吻合;当k2=0.2k1时，两种方法结果稍微存在一些差别，说明当非线性程度较弱时，采用只考虑基础谐波项的描述函数法近似误差很小;当非线性程度较强时，只考虑基础谐波项的描述函数法会产生一定的误差。

3 结  论

本文针对含大量非线性关节的空间桁架结构，提出一种能够同时考虑关节在不同方向非线性特性的动力学缩聚建模与分析方法。将关节的摩擦滑移模拟为双线性滞回模型，采用描述函数法推导了关节的等效刚度和等效阻尼系数，通过将两端含非线性关节的桁架构件缩聚为两节点混合铰?梁单元，最终建立了桁架结构的缩聚动力学模型。采用本文方法对桁架结构的共振特性进行了分析，并与有限元方法计算结果进行了对比验证。结果表明，采用本文方法分析得到的桁架结构前两阶面内和面外共振特性与ANSYS时程分析结果能够很好的吻合，双线性滞回模型会导致桁架结构的整体刚度降低和阻尼增大。

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Dynamic modeling and resonance analysis of space truss structures with frictional joints

LIU Fu-shou1， XU Wen-ting1， Jin Dong-ping2， LIU Xiang-dong3， LU Ping-li3

（1.College of Civil Engineering， Nanjing Forestry University， Nanjing 210037， China; 2.State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China; 3.School of Automation， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract： The joint nonlinearity has an important influence on the overall dynamic characteristics of large deployable space truss structures. By modeling the joint as a combination of six spring elements which can have nonlinearity in any direction， the nonlinear dynamic modeling and resonance analysis of truss structures are studied. The bilinear hysteresis model is used to simulate the friction in the joint， and the analytical expressions of its equivalent stiffness and equivalent damping coefficients are derived based on the describing function method. The dynamic condensation of the truss member with nonlinear joints at both ends is carried out to establish the overall condensed dynamic model of the truss structure in the frequency domain， and the dynamic response is solved by the Newton-Raphson iteration method. A numerical example is given to compare the results of the presented method and the finite element method， which verifies the accuracy and efficiency of the presented method.

Key words： structural vibration;space truss structures;nonlinear joint;friction and slip;bilinear hysteresis model

作者簡介： 刘福寿（1984-），男，讲师。电话：（025）85427763;E-mail：liufs_nuaa@163.com

通讯作者： 金栋平（1964-），男，教授。E-mail：jindp@nuaa.edu.cn