几种格林函数方法的形成及其应用比较研究

雒向东，张 明，海 波，赵宇杰

(1.兰州城市学院 电子与信息工程学院,甘肃 兰州 730070；2.甘肃高师学报编辑部,甘肃 兰州 730070)

1 基本理论

20世纪30年代中期，汉森在解决某些电磁问题时，首先引进了三类矢量波函数，分别记为L，M，N，它们都满足齐次亥姆霍兹矢量方程[1,2].如图1所示在直角坐标系中对矩形波导选取z轴单位矢量作为领示矢量c，矩形波导内电磁场矢量波函数有如下形式[3,4]：

图1 矩形波导

(1)

(2)

(3)

(4)

2 磁型格林函数方法

(5)

(6)

定义域为:0≤x≤a,0≤y≤b，-∞≤z≤∞.

(7)

假设

(8)

用函数Nem′n′(-h′)作为(8)式的前标积可得

(9)

(9)式左边积分为

(10)

由于径向R′位于体积V内，(10)式中面积分等于零.函数∇′×N′是对带撇变量x′，y′，z′定义的.

(9)式右边积分为

(11)

将(10)、(11)式代入(9)式得

(12)

解出系数

去掉本征值上的撇号，保留函数M′上的撇号，(12)式可改写成

(13)

用类似方法，用Mom′n′(-h′)作(8)式的前标积，同样可推得

(14)

(15)

假设

(16)

将(15)和(16)代入(6)式得

(17)

(18)

(19)

上行符号对应z>z′，下行符号对应z

在z=z′处，对不连续磁型并矢格林函数有

(20)

(21)

(22)

利用单位阶跃函数

得

(23)

利用

得

(24)

由(21)式此方程又可写成

(25)

(26)

(26)式中上行符号适于z>z′，下行符号适于z

3 电型格林函数方法

(27)

(28)

Lomn(h)定义为

(29)

Sx=sinkxx，Cx=coskxx，Sy=sinkyy，Cy=coskyy.

Lomn(h)函数组本身以及与其他两组函数正交关系如下[3]85-86:

(30)

(31)

(32)

可见Lomn(h)，Nomn(-h′)在空域内不正交，但包括h域在内时就正交，正交关系如下：

(33)

根据Ohm-Rayleigh方法，假设

(34)

用Lom′n′(-h′)对(34)式作前标积可得

Lom′n′(-h′)·Memn(h)Bemn(h)+Lom′n′(-h′)·Nomn(h)Comn(h)]

(35)

同理用Mem′n′(-h′)、Nom′n′(-h′)对(34)式分别作前标积可得

(36)

(37)

(38)

假定

(39)

把(38)和(39)式代入(27)式得

(40)

把Lo和No分成两部分

Lo=Lot+Loz,No=Not+Noz

Lot和Not代表横向分量，Loz和Noz代表纵向z分量.

(41)

(42)

(43)

(44)

可用Not，Lot分别表示Noz，Loz，对带撇的函数可同样的表示，有

利用这些关系(40)式可改写为

进一步可推得

(45)

从(38)式可得

(46)

(47)

计算可得

(48)

故得

(49)

(49)式与(26)式是一样的.

4 位型格林函数方法

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

把(54)式代入(50)式得

(55)

Φ是电标量位函数的矢量形式,引入规范条件[3]89

(56)

把(50)、(52)、(55)式代入(51)式可得

(57)

(58)

由于三组矢量波函数在空域和h域内是正交性，故可确定(58)式中的三个系数A，B，C.

用Lom′n′(-h′)对(58)式作前标积，等式左边为

等式右边为

最后可推得得

用Mem′n′(-h′)，Nom′n′(-h′)对(58)式分别作前标积可得

(59)

假定

(60)

将(59)和(60)代入(57)式得

利用

∇×Lo=0, ∇·Lo=-kxkxSxSye-ihz-kykySySxe-ihz-h2SxSye-ihz, ∇∇·Lo=-κ2Lomn(h),

∇∇·No=0

代入(60)式得

(61)

对(56)式取梯度得

(62)

代入(55)式得

(63)

将(61)代入(63)式得

整理最后得

(64)

(64)式与(40)式相同.

5 磁型、电型和位型格林函数方法应用比较