紧扣概念本质 优化变式教学——以“平面向量的数量积”复习课为例

汪东生

（安徽师范大学附属外国语学校城东校区 安徽芜湖 241000）

数学复习课中，如何真正做到精讲精练，提高复习效率，是数学老师所面对的一个重要课题。下面以一节高三数学复习课“平面向量的数量积”为例。通过对经典例题的挖掘，引导学生进行自主探究、变中生成的教学，希望对数学复习有所启发。

一、课堂教学简录与反思

（一）课前练习

（二）课前思考

①求向量的数量积的方法有哪些？②向量的数量积有哪些应用？

二、一题多变，呈现知识网络

例1 已知|a|=1，|b|=2，向量a与b的夹角60°，求a·(b-a)的值。

师：请同学们快速给出答案。

学生齐答：a·(b-a)＝a·b-a2=0.

师：很好！通过本题，我们复习了向量数量积的公式：a·b=|a|·|b|cosθ.请再看下一题。

变式1 已知|a|=1，|b|=2，且向量a与b-a垂直，求向量a与b夹角。

变式2 已知|a|=1，|b|=2，向量a与b的夹角60°，求向量a与2a-b的夹角。

生2：先求出|2a-b|＝2和a·(2a-b)=1，再用公式求出其夹角为60°。

生3：画图，发现向量2a，b和2a-b构成一个正三角形，直接看出。

师：非常棒！向量本质是几何概念，利用数学结合的方法快速解题。我们根据他这个图你们能否求出向量a与2a＋b的夹角？

学生齐答：30°

变式3 已知|a|=1，|b|=2，向量a与b的夹角60°，求 |2a-b|和|a+b|。

师：公式记忆很熟，在三角形中我们还可以用余弦定理求解|a+b|！再看题。

师：他是用向量数量积的公式。注意找两向量夹角要平移使得它们共起点，那两向量夹角范围是？

学生齐答：0≤θ≤π！

师：如果本题∠O不是特殊角60°还行吗？请再看下一题。

反思：通过课前练习，当堂投影学生作品苏醒知识。然后从问题1出发，通过变式帮助学生复习了数量积定义、夹角公式、模长公式，通过数形结合体会向量数量积本质。

三、一题多解，使求解方法清晰

师：他对平面向量数量积的公式的本质理解了，他把两个向量投影到一个向量上，用共线向量的长度来计算，我们把这种方法称为投影法，当然还需要观察两个向量的夹角是锐角还是钝角，以确定符号.谁还有其他方法？

学生根据题意说出选择思路。

师：刚才同学们的这些解法，从不同的角度解决了这个问题，希望学生通过三种解法的比较，学会根据题目的特点，选择最优的方法解题。

反思：通过例2、变式1、2的分析、讲解、示范，学生可以清楚地知道求解向量数量积的分析和求解方法。考虑变式数量要“适度”，尽量避免题量展示解法展览，减轻学生无效劳动，因此变式3、4让学生说出思路即可。