阶梯型正弦波相角量化误差的周期性与对称性——阶梯波研究之五

陆祖良

(中国计量科学研究院，北京 100029)

1 引 言

正弦信号的相角是重要的参数，本质上是两个时间量的比。单个正弦信号的相角与参考点的选取有关，某个观察点的相角是该点与参考点之间的时间与周期的比。两个同周期正弦信号之间的相角差具有确定的含义。相角在电学计量中有广泛应用，如交流功率除与电流、电压有关之外，还与它们之间的相角差有关。因此相角研究受到重视，包括相角参考标准的建立以及相角准确测量方法的设计等[1～3]。相角问题研究，涉及功率、工频谐波、分流器[4～10]，以及阻抗等计量问题[11～13]。

数字技术应用于相角研究，例如通过模数转换器(ADC)的采样技术和不同的分析方法测量两个信号的相角差；数模转换器(DAC)产生设定相角差的两个信号。在一般的DAC中，量化过程使输入的数字量与输出的模拟量之间存在一个以LSB/2为限的误差。这使输出的幅值产生误差，也使相角的输出与输入之间存在不一致。这反过来给相角的精确设置带来困难。随着DAC分辨率的提高，这个问题会得到缓解。但是严格说，输入数据的量化所带来的相角输出是不连续的；出现在正弦波中，可视为波动的一种量化效应。它对测量尤其是精密测量的影响应予评估。量子交流电压出现之后，人们用已知的两个电压比组成电桥来测量阻抗比[14，15]，对于可编程量子电压而言，这种量化所固有的不连续性，成为阻碍电桥不确定度水平提高的重要因素之一。尽管人们已经认识到[5,16，20]，这种误差有大小的不同，存在个别特定相角，获得的实际结果与设定值之间的偏差几乎可以忽略，但缺乏深入的分析及内在规律的一般性了解。

作者将此问题归结为阶梯波的性质加以研究。因为通常的DAC，脉宽调制型除外，其输出实质上是阶梯波，原因是转换为模拟量并予保持的时间不可能为无限小。而所需要的正弦波则是阶梯波的基波。进而将获得的结论归结为阶梯波的固有特性，供相关研究参考。

关于阶梯波基波有效值量化误差实验研究的初步结果已有发表[17]，认识到这种量化误差基本上是固定的，因而其大部分可通过补偿克服；相角在 0 rad 附近变化时，误差显现了某种对称规律。本文则着重于相角量化误差内在规律的研究。

本文定义了相角的量化误差，提出并证明了相角量化误差的主要特性，描述了相角量化误差的具体分布特性，研究了相角量化误差的零点分布等有关性质，讨论了其应用。

2 相角的量化误差

原始正弦信号y(x)=sinx，其中x=2 π t/τ(τ为周期)，在一个周期内用N(N≥3)个等间隔的点离散。间隔为H=2 π /N，离散点的值则为：

yn=sin(nH)

(1)

式中：离散序号n=0,1,2,…,N-1。一个周期内的离散数据，以下称为数据列。

DAC将式(1)的数据列转换为模拟信号。在零阶保持(zero-order-hold)中，形成连续的阶梯波形。如果DAC的分辨率无穷小，或者说，不考虑幅值的量子误差，则输出结果可以写成：

z(x)=yn=sin(nH)，nH≤x<(n+1)H

(2)

这个阶梯波中包含阶次与N有关的谐波分量[18]，其中基波的幅值和相角为：

(3)

φ1=-π /N

(4)

基波幅值与原始信号的幅值相差1.6449/N2，是原始信号中的主要部分，基波相角比原始信号超前-π /N。第一个谐波位于N-1的阶次上。因此可通过N值的调整使基波之外所有谐波远离基波并占很小的比例，从而方便地将谐波滤除而保留基波，生成所需要的正弦波。

当考虑量化误差时，式(1)表示的数值被量化：

(5)

(6)

它是实际的输出波形，其基波的傅里叶系数是：

(7)

(8)

一般，在计算基波的傅里叶系数时，使用的基函数为cosnH和sinnH；上两式说明，在由N个台阶值计算阶梯波的基波时，相应的基函数为[sin(n+1)H-sinnH]和[-cos(n+1)H+cosnH]。其实这个结论也适用于量化前的情况，式(3)、式(4)就是由此获得。

新的基函数的物理意义是，尽管分割仍然由N个均匀分布的点代表，但实际上是N个等寛的台阶，所处理的对象是连续的阶梯波信号。

这样式(6)所示阶梯波中基波幅值和相角成为：

(9)

(10)

考察量化前后的两个阶梯波表达式(2)和式(6)，以及它们基波的相角表达式(4)和式(10)，定义：

(11)

为“阶梯波基波的相角量化误差”。为简化表达，以下简称“相角量化误差”。这样定义的物理意义是，表达仅由数据“量化”而引起的误差，而数模“转换”、滤波等过程引起的误差则并不包括在内。

3 主要特性

3.1 起始点轮换不变性

首先说明一个重要的现象，当数据列的起始点在量化前阶梯波式(2)和量化后阶梯波式(6)中同步轮换时，相角量化误差将保持不变。

事实上这是一个简单的现象，但合理性并不明显。以下用三段论述对此作出证明。

首先，讨论限于任意的正弦波和一般的DFT。信号y(x)=Csin(x+φ)，不失一般性，这里C是信号按DAC内置电压V归一的无量纲相对幅值，C=c1/V(C≤1)，该信号的一个周期被N点均分，N符合采样定理的要求，间隔H=2 π /N。记某个数据的序号为0，其余依次标记。从序号为0的采样点开始的N个数据，经过一般DFT，按照采样定理，记获得的被测正弦波为y(x)=Csin(x+φ)。第1次轮换后，从序号为1的数据点作为起始点，对同样但次序变化了的N个数据，运算获得的波形则为y(x)=Csin(x+φ+H)，即比首次运算的波形相角滞后H。这个结论不难从正弦波时间轴上N个均分点对应的图像思考而得到，见图1。起始点每后移1个点，新的正弦波图像的相角滞后一个相角H。此后的轮换依次类推。

其次，把考察对象从正弦波数据列扩展到一般的数据列，它们同样来自均匀分割而总数为N，所有数据相互之间不必符合正弦规律，只是需限制数值为无穷大的情况(此即傅里叶变换可积性条件的离散化形式，它对数学的完整性具有意义，一般的实际情况下均可得到满足。但对于特殊应用的场合需要注意)。

在本文的讨论中，由于DAC的需要，其最大值按归一化要求不大于1。此数据列可视为某个周期性曲线在N个点上的采样；这个曲线可分解成三角级数。由于曲线的一般性假设，不排除三角级数有无穷多项的情况(例如方波)；只要N≥3，一定可以指出其中的基波，形如y(x)=Csin(x+φ)所表示。因此当起始点轮换时，起始点每后移1个点，所涉及的基波相角滞后一个角度H。事实上，这里没有改变时间轴上的N个均匀分割，改变的只是纵坐标的大小。而本文所讨论的量化操作，则正是这种纵坐标大小的改变。

为形象地展示上述结论，用实验1模拟两个信号的数据列。其中y1n=sin(nh+ π /6)表示一个规则的正弦波。y2n=(0.8R+0.6)sin(nh+ π /6)，R是位于[-0.5,0.5)之间的随机数(平均分布)，其中包含了y1n的波形，但只占60%，其余40%是随机数。实验1取DAC的分辨率为8 bit，N=20；分别计算这两个数据列，按式(5)计算量化后的数据列；然后按(7)、式(8)进行DFT并按式(10)计算相角。结果表示在表1中，其中“起点0”表示选择序号为0的数据点作为起始点。

图1 实验1中的两个数据列，规则正弦波为y1，较为任意的波形为y2，8 bit/DAC，N=20Fig.1 Two data sequence，y1,y2 and the fundamental of y2,in experiment 1 with 8 bit of DAC and N=20

表1中提供了以序号分别为0、1和2的数据点为起始点的阶梯波基波的相角值。由此计算各起始点的相角量化误差，y1n的相角量化误差均为 -0.000 201 rad，而y2n的则均为0.000 619 rad，与上述结论一致。当起始点轮换时，无论是量化前还是量化后，相角的步进值均为0.314 159 rad，与H=π /10之差不大于10-11rad数量级。这在数据列y1n以及较为任意的数据列y2n中均是如此，即，与设置信号的参数(幅值C和相角φ)无关。

表1 实验1结果，数据列起始点轮换后阶梯波基波的相角/rad，8 bit/DAC，N=20Tab.1 Results of experiment 1,phase angle value in rad of fundamental in staircase waveform when starting data-point is rotated,with 8 bit of DAC and N=20

这个结论的内在机理，在于尽管起始点在轮换，但数据列本身(观察对象)和DFT运算中的基函数(观察方法)都没有改变。观察对象没有改变，是指数据列中各点之间相邻关系、及各自大小没有变化，同时N点均匀分割保持不变；观察方法没有改变，是指基函数的次序没有轮换，同时基函数不被量化。至于式(5)所表示的量化方式对这个结论不是最重要的。

实验2使用真实的DAC，NI6733，分辨率16 bit，内部参考电压10 V，利用文献[19]中的一组实验的采样值。N=24，量化前的数据由数列yn=sin(nH+H/2)获得。将其输入DAC生成阶梯波。由ADC测量其台阶值。ADC参数：NI5922，24 bit@500 kHz至16 bit@ 15 MHz，其内部参考电压10 V，采用2 V峰峰值量程。采样率为1 Ms/s，将阶梯波每个平台再细分M=50。ADC采样10组数据，每组含10个周期。

处理如下：首先将10组平均成为1组，该平均的标准偏差一般位于10-5量级，台阶转换处个别点标准偏差稍大，但不大于(1～2)×10-4；然后将1组内10个周期平均成为1个周期，该平均的标准偏差一般为(1～2)×10-5；由于每个台阶50个测量数据两端存在过渡过程和吉布斯现象，按片段采样 (13,25,12)只取中间25个采样值平均作为该平台的值，此时标准偏差小于(3～5)×10-6。将此一个周期内24个值作为量化后的数列。按式(7)、式(8)作DFT,并计算相角量化误差。对应于每个序号数据点作起始点轮换，计算结果表明，相角量化误差均为-278.780 3 nrad，见表2。

表2 实验2结果，实测阶梯波基波相角数据/rad，16 bit/DAC，16 bit/ADC，N=24，原始数据源于[19]Tab.2 Results of experiment 2,phase angle value in rad for real experimental of staircase waveform,with 16 bit of DAC，16 bit for ADC and N=24,the original data came from [19]

进一步计算相邻起始点之间相角的步进值，并与H比较，对应于量化前和量化后，每一个起始点的步进值与H之差大部分小于2×10-12rad，个别小于1×10-11rad。

以上是对于阶梯波基波相角量化误差的基本认识。即，对于幅值C和相角φ任意设定的原始信号y(x)=Csin(x+φ)，当起始点在数据序列中轮换时，相应阶梯波基波的相角量化误差都是相等的。为与量化后的相角区别，下文称原始信号相角为设置(初)相角。

3.2 周期性

相角差为pH的两个数据列

y1n=Csin(nH+φ)y2n=Csin(nH+φ+pH)

(12)

式中:p=1,2,…,N-1，所生成的阶梯波基波具有相同的相角量化误差。

这里没有指明起始点，表示起始点序号为0。

这是第3.1节结论的一个推论。证明如下：当y1n的起始点作轮换时，将生成y2n，并对应于p的不同取值。因此y2n与y1n有相同的相角量化误差。

其物理意义是，在设置相角为横轴，相角量化误差为纵轴的坐标图上，当横轴上的点为φ,φ+H,φ+2H,…,φ+(N-1)H时，纵坐标都是等高的，都等于φ点的相角量化误差；当φ点在区间[0,H]之间变化时，这个结论仍然成立。换言之，相角在区间[0,2 π ]范围之内变化时，其量化误差的分布，只要知道第1个区间[0,H]的分布就可以了。这就是相角量化误差的周期性，周期为H。为了与通常的“信号周期”相区别，称这种周期为“相角量化误差周期”，按其特征，简称为“H周期”。

实验3验证了相角量化误差的周期性。DAC分辨率为12 bit，取N=10，在式(12)中按设置的幅值和相角，分别计算两个数据列，并按式(5)计算它们量化后的数据列；然后按式(7)、式(8)进行DFT，并按式(10)计算量化前后的相角，最后按式(11)计算相角量化误差。表3提供了3个不同幅值和相角设置情况下的结果，结果表明上述结论成立。不同的p值下，y2相角量化误差与y1的相等，两者差值小于(1～2)×10-11rad。

表3 实验3结果，周期性验证，12 bit/DAC，N=10Tab.3 Results of experiment 3,verification for periodicity with 12 bit of DAC and N=10 nrad

3.3 对称性

一个H周期内相角量化误差的分布是对称的。具体描述以下：两个信号的设置初相角分别位于H周期的对称点上，或说，与周期H的开始点和终止点有相等的距离。则它们的相角量化误差绝对值相等，符号相反。

以正弦函数信号为例，两个数据列：

y1n=Csin(nH+α)y2n=Csin(nH+H-α)

(13)

此处不妨有0<α

(14)

对称性来源于第3.2节周期性与三角函数本身性质。证明如下：

y2n=Csin(nH+H-α)

=Csin(-NH+nH+H-α)

=Csin[-(N-1-n)H-α]

=-Csin[(N-1-n)H+α]

=-Csin(n*H+α)=-y1n*

这里在正弦函数符号内增加项-NH，是因为NH=2 π 。最后引入了新的序号n*=N-1-n，表示反向排序，因为当n=0,1,2,…,N-2,N-1时，有n*=N-1,N-2,…,2,1,0。

因此式(13)实际上是这样的两组采样列，一个是另一个的反符号反向排列(反符号指相应数据值绝对值相等而符号相反)。

按式(7)、式(8)计算数据列y2n的傅里叶系数a1(y2)和b1(y2)，此处符号中不加序号n，是强调傅里叶系数是整个数据列的特征值，需要指出的关键是，在DFT计算中，相乘的数据列与基函数数据列应该有相同的序号。

a1(y2)=y2n[sin(n+1)H-sinnH]

=-y1n*[sin(N-1-n*+1)H-

sin(N-1-n*)H]

=-y1n*[sin(-n*H)-sin(-n*-1)H]

=-y1n*[sin(n*+1)H-sinn*H]

=-a1(y1)

b1(y2)=y2n[-cos(n+1)H+cosnH]

=-y1n*[-cos(N-1-n*+1)H+

cos(N-1-n*)H]

=-y1n*[-cosn*H+cos(n*+1)H]

=y1n*[-cos(n*+1)H+cosn*H]

=b1(y1)

因此,φ1(y1)=-φ1(y2)。

现计算数据列y2的相角量化误差

这就是需要证明的式(14)。

余弦函数信号可同样证明。

一个需要说明的情况是，在正弦函数信号情况下，两个反符号的数值，经过式(5)的量化之后，是否会产生绝对值相差1个LBS的情况？注意到Microsoft Excel所提供的INT(x)函数是“将数值向下取整为最接近的整数”。因此，式(5)中函数INT(x+0.5)，当且仅当数值x的小数部分绝对值[x]严格等于0.5时，才会产生所担心的情况，如：INT(2.5+0.5)=3,而INT(-2.5+0.5)=-2。

在[x]=0.5的基础上，增加(或减少)1×10-14，都使反符号的两个数值量化之后成为绝对值相等的整数，如：INT(2.500 000 000 000 01+0.5)=3而INT(-2.500 000 000 000 01+0.5)=-3；

INT(2.499 999 999 999 99+0.5)=2,而INT(-2.499 999 999 999 99+0.5)=-2。

因此所担心的情况是小概率事件。但存在这样的情况，两个绝对值本应相等的数值，由于计算误差，在模拟实验中可能出现相差10-11量级的不一致，大多数情况下这不会引起问题。但如果运算值[x]恰巧位于0.5的两侧，尽管相差很小，也会导致INT(x+0.5)相差1个LBS。

当C的分辨力与LBS可比时，上述情况会出现。如C=1-γLSB，α=0；N=24，在离散点对(90°，270°)，sinnH绝对值等于1，考虑数据列(1-γLSB)sinnH，其中γ={0.5，1.5，…}，在这对离散点上有[x]=0.5，这是[x]严格等于0.5的情况。而在离散点对(30°，330°)和(150°，210°)，sinnH绝对值等于0.5，数据列(1-γLSB)sinnH，其中γ={1，3，…}，此时[x]很可能横跨0.5。在这些情况下应用式(5)，会相差1个LBS(绝对值)。

这是式(5)本身的缺陷。面临类似情况，可使其中的一个等于另外一个，从而使绝对值相等的数据量化之后仍然相等。

实验4验证对称性。

式(13)中的设置值取C=0.907 8，α=5/17H，N=24，DAC的分辨率取为16 bit。其余与实验3相似。实验结果如表4所示。表4的结果证实了对称性(准确到2×10-11rad)及其证明中提到的中间结论，两个数据列的基波相角绝对值相等而符号相反，量化前后都是这样。

表4 实验4结果，对称性验证，N=24，16 bit/DAC，C=0.907 8，α=5/17HTab.4 Results of experiment 4,verification for symmetry,with 16 bit of DAC,N=24,C=0.907 8 and α=5/17H

4 一个H周期内相角量化误差分布

下面进一步研究相角量化误差在一个H周期之内的分布情况。

4.1 实验结果

实验5以式(13)中信号y1=Csin(x+α)(余弦函数同样实验)为基础，DAC的分辨率取为16 bit，不失一般性，取幅值C=1，将H细分10等分，分别取α=0.0H,0.1H,…,1.0H为设置初相角，分别取N=24、23、22、21。实验过程与实验3相似。实验5的结果表示在图2中。

以设置初相角α与H之比为横轴，以相角量化误差为纵轴，将结果标注在图上。由于周期性，只报告了相角在一个H周期，即[0.0H,1.0H]上的分布。前述对称性结论在图中得到反映，如α=0.1H与α=0.9H，它们的相角量化误差绝对值相等符号相反，其余类推。

图2 实验5结果，相角量化误差在一个周期H内的对称分布，16 bit/DACFig.2 Results in experiment 5,symmetry distribution of quantization error of phase angle in one H-period,with 16 bit of DAC

图2中，点与点之间的虚连线仅仅表示它们属于同一种函数(正弦或余弦)；并不表示它们之间真实的分布，实际上两点之间的分布不是线性的。

从图2可见进一步的特性。叙述并证明如下。

(1)初相角α=0.5H时，相角量化误差与α=0.0H相等，且为零。

首先，当α=0H时，相角量化误差是0，事实上这是最早被认识到的一个事实[5,16]。这里给出证明如下。

在第3.3节对称性的证明中，结合周期性，可以看到，在设置初相角为0的两侧，相角量化误差是对称的，即绝对值相等符号相反。因此α=0.0H时，其相角量化误差既应为正，又应为负；而这一点的量化误差存在，因此其值必须是0(这是由对称性而不是线性决定的)。

同样，由于对称性，相角量化误差在α=0.5H两侧表现为绝对值相等符号相反。与上述同样的理由，对称性区间的中点，α=0.5H，其量化误差是0。因而与α=0.0H时的相等，且两者值均为0。

(2)N/2为偶数时，正弦函数与余弦函数有相同的相角量化误差分布。

此时N是4的倍数(如N=24，见图2(a))，N/4是存在的某个数据点的序号。根据周期性，有Csin(nH+α)=Csin(nH+NH/4+α)，其中NH/4=π /2，根据三角函数本身的性质，有Csin(nH+ π /2+α)=Ccos(nH+α)，因此Csin(nH+α)=Ccos(nH+α)，即正弦与余弦信号有相同的相角量化误差分布。

(3)N/2为奇数时，正弦与余弦信号相隔半个H周期有相同的相角量化误差分布。

当N/2是奇数时(如N=22，见图2c)，(N/2+1)/2是存在的某个数据点的序号，根据周期性有Csin(nH+α)=Csin[nH+(N/2+1)H/2+α]。其中(N/2+1)H/2=π /2+H/2。这样，

Csin(nH+α)=Csin(nH+ π /2+H/2+α)

=-Ccos(nH+H/2+α)

上述两个数据列，对于确定的序号n，相应的两个数据绝对值相等符号相反，它们的数据本身量化误差的绝对值是一样的[式(5)的适用性同前]；进而从整个数据列看，绝对值相等符号相反数据的排列次序是一样的，因此从式(7)、式(8)和式(10)可知，数据列Csin(nH+α)和数据列-Ccos(nH+H/2+α)产生的阶梯波的基波具有相同的相角量化误差，即仅仅符号相反对于相角量化误差没有影响。

这样，Csin(nH+α)与Ccos(nH+H/2+α)有相同的相角量化误差，即当N/2是奇数时，正弦与余弦信号相隔半个H周期有相同的量化误差分布。

余弦函数信号证明相似。

(4)N为奇数时，存在次周期现象，周期H的前一半和后一半有相同的分布。即[0H,0.5H]与[0.5H,1H]中有相同的相角量化误差分布。

N为奇数时(如N=23、21，见图2(b)、2(d))，信号周期(为NH=2 π )的中点(即 π )上不存在数据点，该信号中点位于两个数据点的中间，这两个数据点的序号是(N-1)/2和 (N+1)/2。由H周期性，知Csin(nH+α)与Csin[nH+(N-1)H/2+α]有相同的相角量化误差。

再根据三角函数本身的固有性质，有Csin(x+α)=-Csin(x+ π +α)。已知仅仅符号相反对于相角量化误差没有影响，因此两个信号Csin(x+α)和-Csin(x+ π +α)对应数据列产生的阶梯波的基波具有相同的相角量化误差。或者说，数据列Csin(nH+α)和Csin(nH+NH/2+α)具有相同的相角量化误差。后者又可写为Csin[nH+(N-1)H/2+H/2+α)。继续利用H周期性，知此数据列与Csin(nH+H/2+α)有相同的相角量化误差。综合以上，知Csin(nH+α)与Csin(nH+H/2+α)有相同的相角量化误差。这就是周期H中前后两个半区间存在周期性的证明。

余弦函数信号的证明相类似。

(5)N为奇数时，半个H周期内具有对称性，即[0H,0,25H]与[0.25H,0,5H]中相角量化误差绝对值相等符号相反。

与H主周期内的对称性证明方法类似，将H/2次周期区间[0H,0.5H]中，后半个区间[0.25H,0.5H]等效到整个信号周期的最后，即[ (N-0.25)H,NH]，使问题转化为初相角为零这一点两侧区间[-0.25H,0H]与[0H,0.25H]之间的关系。具体过程略。

(6)N为奇数时，初相角α=0.25H和α=0.75H时，相角量化误差与α=0H的相等，且为零。

与本节(1)的证明相似，由对称性和该点相角量化误差的存在性作出证明。具体过程略。

5 相角量化误差的其他性质

5.1 零点分布

从以上的实验与分析可以看到，正弦信号Csin(x+α)或余弦信号Ccos(x+α)，当设置初相角α=0H时，由其产生的阶梯波，其基波的相角量化误差为零。称α=0H是相角量化误差的零点(以下简称零点)。

进一步，由于相角量化误差的周期性，α=1H,2H,…,(N-1)H也是零点。

由于相角量化误差的对称性，零点还可以是α=0.5H,1.5H,…,(N-0.5)H。

如果N是奇数，与周期性相关的零点还增加有α=0.5H,1.5H,…,(N-0.5)H。

如果N是奇数，与对称性相关的零点增加有α=0.25H,0.75H,1.25H,1.75H,…,(N-0.25)H。

图3是实验5结果之一，取N=19,DAC分辨率为18bit，显示了3个H周期内的零点分布。可以清晰地看到，从α/H=0.00开始，每隔0.25出现一个零点，同时可见所述的周期性及对称性。

图3 实验5结果，相角量化误差零点在3个H周期内的分布，N=19，18 bit/DAC，C=1Fig.3 Results in experiment 5,zero-point distribution of quantization error of phase angle in tree H-period,with 18 bit of DAC,N=19 and C=1

需要指出的是，这里的零点是阶梯波的固有性质。在表2报告的实验2结果中，N=24是偶数，设置初相角为0.5H，该初相角属于具有对称性质的零点，即该处相角量化误差应为0 rad，可是实验结果显示，量化前后之差为-278.7803 nrad。两者不一致的原因是，量化前后之差中不仅有相角量化误差，还有DAC的转换误差，特别是还有ADC的采样误差。表2结果分析中指出了每个平台值的测量标准偏差小于(3～5)×10-6，所以相角存在3×10-7rad的误差是合理的。这个解释给文献[17]中式(5)补偿不彻底的问题找到了原因。需要进一步指出的是，由于不同误差因素之间可能的抵消作用，在实际使用ADC和DAC时，不排除在非零点上出现误差为零的情况，但不能认为这个位置就是零点。

5.2 零点对幅值的独立性

以上论述显示，零点与原始信号幅值的大小没有关系，即信号C1sin(x+α)与信号C2sin(x+α)有相同的零点，这里C1≠C2。证明如下。在4.1节关于α=0H时相角量化误差为0的证明中，在绝对值相等的数据量化后仍然相等的假设下，幅值可为任意值；该证明所涉及的对称性、周期性及其基础的证明中，没有对幅值有特别的限制。

图4是实验5之一，取N=17,DAC分辨率为18 bit，显示了幅值不相同时零点的分布。可以看到，对于不同的幅值设置，无论是正弦还是余弦，当N为奇数时，一个H周期内的零点仍然保持在α/H=0.25、0.50、0.75和1.00处。

图4 实验5结果，幅值为不同值时相角量化误差零点分布， 18 bit/DAC，N=17，正弦C=0.1,余弦C=0.01Fig.4 Results in experiment 5,zero-point distribution of quantization error of phase angle for different amplitudes,with 18 bit of DAC and N=17，sine wave with C=0.1,cosine wave with C=0.01

6 应用讨论

相角量化误差的零点可以用来设置原始信号的相角差，由此消除量化因素带来的误差影响。

设置两个原始信号为C1sinx和C2sin(x+α)，两者的相角差(应满足α=pH=2 π p/N，这里p是整数集{1,2,…,…,(N-1)}中的任一个，还可以在这个整数(含0)上加上0.5；当N为奇数时，这个整数(含0)上还允许加上0.25或0.75。

注意到p/N是有理数，对于任意指定的相角差α，总是能够找到这样的数p和整数N，满足上述相角差要求，使相角的量化误差小于指定的不确定度。至于如何从一个任意的相角差α，使其与2 π 之比成为有理数p/N，同时满足指定的不确定度要求，这是一个已知的数学问题。

对应某一个指定的相角差要求α，可以有多个解决方案，例如当相角差α=π /3时，数据对(p，N)可以有(6，36)，(5，30)，(4，24)，(2.5，15)等选择，这个自由度为其他要求的满足提供了机会。

本文讨论阶梯波基波相角固有性质，在实际应用中，还会出现其他因素的影响，如实验2所示的DAC转换和ADC采样产生的误差。它们中的固定部分，即系统误差，可以归结为第5.2节中幅值的变化，对设置相角差的实现没有影响；但它们中的随机部分将产生误差。为了估计随机误差带来影响的规模，模拟实验表明，在量化后的数据列上，以相对误差形式加某个量级的随机数(如±5×10-6)之后，实际相角差与设定值将有偏离，偏离的程度大部分为随机数规模的1/10(如±5×10-7rad)，少部分接近1/5(如±1×10-6rad)。这些其他因素原则上不在本文研究范围之内，拟另文研究。

7 结 论

采用一般DAC由数据列产生模拟的正弦信号，实质上是阶梯波的基波。DAC的量化过程将使此基波相角与其设置值产生偏差。定义量化前后数据列对应的阶梯波基波相角之差为相角量化误差。设置相角在0至2 π 之间变化时，相角量化误差呈现周期性重复现象，周期为离散间隔H，H=2 π /N。在一个H周期内，相角量化误差的分布是对称的。这些分布中存在若干零点；零点分布是量化的，量化宽度为0.5H；当N为奇数时，量化宽度缩小为0.25H。当设定相角选择为该量化宽度的整数倍p时，可克服相角量化误差。注意到p/N是有理数，可以在规定的不确定度下逼近任意数α/(2 π )，因此原则上任何预先要求的相角差α都能够得到实现。

至于非零点上的相角量化误差，对其规模的估计具有重要意义。按照本文叙述的周期性和对称性，只需在一个零点量化宽度范围内扫描即可。本文实验设置了不同参数，结果可供参考。综合实验2之外的所有实验结果(特别是实验5)，在所选择的参数情况下，在非零点上的相角量化误差的最大值(以rad为单位)约为数据量化误差限相对值[为(LSB/2)/C，其中C为按DAC内置电压标准归一的信号幅值]的0.1～0.5。