既有建筑砌体抗压强度的贝叶斯推断

倪玉双，蒋耀华，杨春侠

(1.长沙理工大学 土木工程学院，长沙 410114； 2.中机国际工程设计研究院有限责任公司，长沙 410007)

“可持续发展”越来越成为各类工程结构发展的主题，根据《工程结构可靠性设计统一标准》(GB 50153—2008)，《建筑结构可靠性设计统一标准》(GB 50068—2018)修订中增加了“使结构符合可持续发展的要求”。对于建筑结构而言，可持续发展在社会方面的内容就是要保证使用者的健康和舒适，保护建筑工程的文化价值[1]。

砌体结构是一种重要的建筑结构形式，在中国有大量的既有砌体结构，包括大量的砌体古建筑，古建筑作为凝固的艺术，承载着大量而丰富的历史信息，保护这些既有砌体结构具有重要的意义。而这些既有砌体结构在不同程度上需要定期的维修和加固，维修加固通常需要通过调查检测、结构试验获得相关强度数据来进行分析，砌体的抗压强度就是一个非常重要的强度指标。对于既有建筑砌体的抗压强度，目前主要有两种方法进行检测：直接法和间接法。直接法是在现场直接检测砌体的抗压强度，原位轴压法属于直接法；间接法是通过检测砌筑块材和砂浆的强度来计算砌体的强度[2]。由于样本离散性、量测误差等不确定因素的影响，这两种方法推定的强度值在某些情况下存在差异。同时，对于既有砌体结构而言，不管是哪种方法，都受到现场条件的限制，可获得的砌体抗压强度实测样本有限，特别是对于具有历史保护价值的砌体结构，一砖一瓦都弥足珍贵，应该尽可能地利用已有信息，对强度进行合理推断。

贝叶斯方法正是一种可以充分利用各种信息的有效方法，利用贝叶斯理论可赋予先验信息和似然函数中的样本信息合理的权重，使得推断结果更为全面合理。更为重要的是基于贝叶斯理论的强度推断结果具有可持续性，已有的后验分布可以作为下一次强度推断的先验信息，作为下一次进行贝叶斯推断的基础和出发点，对于需要保护的砌体古建筑而言，可实现动态的长期观测，具有非常重要的工程价值和社会意义。目前，贝叶斯统计理论在英美等西方发达国家已经称为当前两大统计学派之一，并在实践中获得了广泛应用。近年来，贝叶斯理论也被学者们应用到岩土工程[3-5]和结构工程[6-10]等领域进行相关参数的不确定性分析，但在砌体结构中进行强度推断方面的研究不多，彭斌，汪澜涯[11-12]等基于贝叶斯方法对砌体抗压强度进行过推定，但是实现过程较为复杂。笔者用简单可行且力学概念清晰的方法实现既有建筑砌体抗压强度的贝叶斯推断。

1 贝叶斯定理

贝叶斯学派的最基本的观点是：任一个未知量θ都可以看作一个随机变量，应该用一个概率分布去描述θ的未知状况。这个概率分布是在抽样前就有的有关θ的先验信息的概率陈述，被称为先验分布。

贝叶斯方法就是将关于未知参数的先验信息与样本信息进行综合，再根据贝叶斯定理，得出后验信息去推断未知参数。连续型随机变量的贝叶斯公式可用式(1)表示[13]。

(1)

式中：π(θ|x)为后验密度函数，对应的分布称为后验分布，它综合了有关参数θ的先验信息和抽样信息。π(θ)是参数θ的先验密度函数，对应的分布为先验分布。L(x|θ)为似然函数，一般来说，先验分布反映了人们在抽样前对参数θ的认识，后验分布反映了人们在抽样后对参数θ的认识，它实际上是通过抽样信息对参数θ的先验信息进行调整，因此，基于后验分布对参数θ进行统计推断更加有效，也更加合理。也可以把式(1)写成式(2)。

π(θ|x)∝L(x|θ)π(θ)

(2)

其中：∝表示“正比于”，两边只差一个不依赖于θ的常数因子，式(2)右端虽不是正常的密度函数，但它是后验分布π(θ|x)的核，在某些时候可以用来简化后验分布的计算。

2 砌体抗压强度的贝叶斯推断

2.1 似然函数

《建筑结构可靠性设计统一标准》(GB 50068—2018)明确规定材料强度的概率分布宜采用正态分布或对数正态分布，因此，砌体抗压强度、块体强度和砂浆强度概率模型均用对数正态分布表示。因为砌体抗压强度与块体强度和砂浆强度有关，若有块体强度和砂浆强度的观测值，可利用砌体抗压强度与二者的关系建立砌体抗压强度的似然函数。

《砌体结构设计规范》(GB 50003—2011)[14]采用式(3)来计算砌体抗压强度平均值。

(3)

式中：fm为砌体抗压强度平均值；f1为块体的强度等级值或平均值；f2为砂浆抗压强度平均值；α为与块体高度有关的参数；k1为反映块体种类的参数；k2为采用低强度等级砂浆时的修正系数。α、k1和k2的取值规定见《砌体结构设计规范》(GB 50003—2011)。为构造砌体抗压强度平均值fm的似然函数，对式(3)两边取对数[12]，得到式(4)。

ln(fm)=lnk1+αlnf1+ln(1+0.07f2)+lnk2

(4)

令fm=ln(fm)、K1=lnk1、F1=lnf1、F2=ln(1+0.07f2)、K2=lnk2，则式(4)可写成(5)。

Fm=K1+αF1+F2+K2

(5)

θFm=K1+α×θF1+θF2+K2

(6)

(7)

由此可知，若有一组块体和砂浆的强度观测值，则可以通过间接法推定出砌体抗压强度的一组样本观察值Fm,1，Fm,2,…，Fm,n，可建立式(8)的砌体抗压强度样本的似然函数。

L(Fm|θ)=

(8)

2.2 后验分布

以上砌体抗压强度样本的似然函数为正态分布，为了便于推导强度均值的后验分布，利用对数正态分布与正态分布的关系进行简单的变换，用另一正态分布N(μ,τ2)作为均值θ的先验分布，利用先验信息可确定μ和τ2的取值。

先验分布和似然函数都确定后，即可由式(2)得出砌体抗压强度均值的后验分布，如式(9)所示。

π(θ|Fm)∝L(Fm|θ)π(θ)∝

(9)

从μ1的计算公式可以看出，后验均值是在先验均值与似然函数中的样本均值间采取折中方案，有了砌体抗压强度均值的后验分布后，即可综合先验信息和样本信息对强度均值进行更好的推断，由上式可知，要定量计算出后验分布，还需要对块体和砂浆的概率密度模型进行推定。

3 块体和砂浆强度概率密度模型推定

3.1 块体强度f1的概率密度模型

(10)

对于某一样本F1,1,F1,2,……，F1,n其对应的似然函数为

(11)

于是，可以得到其对数似然函数为

(12)

将对数似然函数分别对于均值和方差求导以求得其对应的极大似然估计值，得到式(13)。

(13)

(14)

3.1.2 参数估计值的偏差分析 求得参数的估计值以后，利用无偏性准则来评价估计量的好坏。估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，则称此估计量为被估计参数的无偏估计，即具有无偏性。下面即对块体强度分布的均值和方差的极大似然估计值的偏差进行分析。

(15)

(16)

(17)

(18)

只要有一组块体强度的观测值，就可以按式(18)的均值和方差的估计值确定其分布。

3.2 砂浆强度f2的概率密度模型

(19)

块体和砂浆强度的概率模型确定以后，按式(8)可确定抗压强度的似然函数，按现场原位轴压法测试的砌体抗压强度确定先验分布，则对应的后验分布即可按式(9)确定。后验分布确定后既可以得到砌体抗压强度的贝叶斯推断值，下面用一具体算例说明整个实现过程。

4 算例

以国网湖南省电力有限公司东塘二办公楼结构现场检测结果对砌体抗压强度进行贝叶斯推断。根据《砌体工程现场检测技术标准》(GB/T 50315—2011)[15]的规定采用回弹法检测砖与砂浆抗压强度，现场检测如图1所示，采用现场原位轴压法检测砌体抗压强度，现场检测如图2所示。

图2 砌体原位轴压强度检测Fig.2 Axial compression in situ of

4.1 砌体抗压强度平均值

将整幢建筑的承重墙体划分为1个检测单元，从1层到6层的墙体共选择10个测区，每个测区中选择10个测位进行砖的回弹测试，将回弹测试值按《砌体结构工程现场检测技术标准》(GB/T 50315—2011)中的数据分析要求换算为砖抗压强度平均值，见表1中f1，在砖块回弹测试的相同测区内同样选择10个测位进行砂浆的回弹测试，并根据回弹值和碳化深度值按《砌体结构工程现场检测技术标准》(GB/T 50315—2011)中的数据分析要求换算为砂浆抗压强度平均值，见表1中f2，在砖和砂浆强度的10个测区中选择3个部位将承重墙体开槽后进行原位轴压法测试，并将槽间砌体抗压强度换算为标准砌体抗压强度，见表1中fm。

表1 抗压强度检测值Table 1 Compressive strength of inspection value

图3 砌体抗压强度的分布Fig.3 Distribution of compressive strength of

利用对数正态分布与正态分布的转换关系可知，通过抗压强度均值的后验分布可得砌体抗压强度平均值的贝叶斯推断值为2.58 MPa，而由检测结果可知，现场原位测试的砌体抗压强度平均值为2.64 MPa，将表1中的块体强度平均值f1和砂浆强度平均值f2代入式(3)可计算出砌体抗压强度平均值为2.42 MPa。可见，利用贝叶斯理论推断的砌体抗压强度平均值介于现场原位测试结果和利用块体和砂浆强度检测值计算的结果之间，能够将两种方法的信息按照一定的权重比进行综合。

4.2 砌体抗压强度推定值

原位轴压法测得的砌体抗压强度平均值为2.64 MPa，但原位轴压法的测区为3个，小于6，故按式(15.0.8-3)确定砌体抗压强度标准值的推定值，即取测区砌体抗压强度的最小值2.61 MPa。

由此可知，对于砌体抗压强度标准值的推定值，原位轴压法测试值推定的为2.61 MPa，利用块体和砂浆的回弹检测值推定得到的为2.01 MPa，贝叶斯方法计算得到的为2.51 MPa，仍然介于两者之间，进一步说明利用贝叶斯方法可以将直接法和间接法获得的砌体强度信息相结合，从而降低推定结果的不确定性。

5 结论

1)既有建筑砌体抗压强度的贝叶斯推断可以将现场原位测试的砌体抗压强度值和通过块体和砂浆强度推定的计算值以一定的权重相结合，若似然函数中样本均值的方差偏小，则其在后验均值中的权重就大，反之，所占的权重就小，即贝叶斯推断的后验分布是在先验分布与似然函数间采取的折中方案，使得最后的结果充分考虑各种信息，更为全面合理。

2)既有砌体结构抗压强度的贝叶斯推断结果具有可持续性，已有的后验分布可以作为下一次强度推断的先验信息，在实际工程中可实现强度的动态长期观测。

3)既有砌体结构抗压强度的贝叶斯推断中的思路和方法可推广到其他强度指标，对检测、结构试验获得的相关强度数据进行分析，作为砌体结构定期维修和加固的依据，降低推定结果的不确定性，有利于客观分析和决策，为最大程度地实现砌体结构的可持续发展提供基础。