基于陀螺效应的异轴二轮自平衡车控制研究

谢韵清 韦永恒 田杰

摘 要：根据陀螺仪的工作原理，应用欧拉方程对异轴二轮自平衡车建立了动力学方程，设计了模糊PID（Proportion Integration Differentiation）控制策略，并搭建MATLAB仿真模型研究了自平衡车直行受到外力作用时的稳定性。本文对当今二轮自平衡车的控制研究具有一定的指导意义，也可为其他车辆的控制研究提供理论依据和指导。

关键词：陀螺仪; 异轴二轮自平衡车; 模糊PID控制; MATLAB仿真模型

中图分类号：TP2        文献标识码：A         文章编号：1006-3315（2021）10-211-002

二轮自平衡车因其节能、环保、结构简单、操作灵活等优点而被广泛使用。二轮自平衡车可以分为两种类型：同轴式和异轴式自平衡车。不同于同轴式自平衡车，异轴二轮自平衡车的两个车轮前后放置且旋转轴不同。相比于同轴式自平衡车，异轴自平衡车的异轴双轮设计拥有更强的可操作性，陀螺仪系统保持车体自身平衡，全封闭的车体也保证了车辆的安全性能[1]。

基于陀螺效应的异轴二轮自平衡车是一种采用陀螺仪稳定技术使车辆本身具有自动平衡能力的二轮前后置全封闭式电动汽车。该车搭载了两个自转方向相反的陀螺仪，当车辆直行过程中受到外力矩作用而发生侧倾时，自平衡车上的传感器将信息传送到汽车的电控单元，电控单元经过计算将控制信号传送到陀螺系统，使陀螺仪的倾角发生相应变化。也就是说，车辆需要控制[2-3]才能使得陀螺仪产生一定的扭矩作用于车身，并使之恢复直立行驶。

1.陀螺仪工作原理

陀螺仪一般是指绕对称轴高速旋转的轴对称刚体，其旋转轴在空间中的方位可以自由改变的机械装置。其中，高速旋转的刚体称为转子。它相对旋转轴上某个固定点具有3个转动自由度，此转动自由度由支承装置保证，因此陀螺仪为包括高速旋转的转子和支承装置在内的机械系统。本文研究的陀螺仪支承装置是由外环和内环组成的万向支架。

陀螺仪具有进动性和定轴性，是异轴二轮自平衡车保持平衡的基础。进动性是指当陀螺转子以高速旋转时，如果施加的外力矩是沿着除自转轴以外的其它轴向，陀螺并不顺着外力矩的方向运动，其转动角速度方向与外力矩作用方向互相垂直。定轴性是指当高速旋转的陀螺遇到外力时，它的极轴方向不会随着外力方向而发生改变，而是围绕一个定点进动[4]。自由陀螺在受到冲击后，极轴在平衡位置附近作一定频率的椭圆锥运动，这种借助惯性维持的运动称为陀螺的章动。当正在行驶的异轴二轮自平衡车突然受到某一外力的作用而发生车身侧倾时，车身会先发生一定频率的晃动，经过一段时间后才实现回正，继而稳定行驶，这就是由于陀螺仪的章动现象而产生的车身倾角的变化。

2.异轴二轮自平衡车动力学方程

异轴二轮自平衡车工作原理是：当给陀螺仪一个垂直于其旋转轴的扭矩时，会产生一个垂直于旋转轴且垂直于扭转轴的进动力矩，这个进动力矩足够大时可使自平衡车恢复直立。该车所搭载的两个陀螺仪自转方向相反，以消除旋转质量对二轮自平衡车偏航动力学的不利影响。当正在直行的异轴二轮自平衡车突然受到外力作用而发生车身倾斜时，陀螺仪能够让使车辆产生适当的回正力矩，并使回正力矩沿同一个方向[5]，使异轴二轮自平衡车在直线行驶过程中保持平衡不倒。

2.1参考坐标系

莱查坐标系是一种特殊的极轴坐标系，它仅指示极轴的方位却不参与转子的高速旋转，用作轴对称刚体的参考坐标系时可使计算简化。将陀螺仪内质点的角速度及位矢向动坐标系上投影，可以计算出刚体的主惯性矩和动量矩在动坐标系上的投影表达式。当动坐标系各轴与刚体的惯性主轴重合时，陀螺仪对各坐标系的惯性积均为零，此时可以得到适用于陀螺仪的定点转动刚体动量矩表达式。

令莱查坐标系作为参考坐标系，并固结于陀螺仪本身。刚体在平动坐标系对任意点的动量矩变化率等于外力和惯性力对该点的合力矩，将此方程在外环坐标系内向各个方向投影，得出刚体定点运动的动力学方程，即欧拉方程。

2.2整车动力学方程

由万向支架支承的陀螺仪是由转子、内環、外环等三个刚体以轴和轴承相联系组成的系统。它的力学模型是由这3个刚体组成的多刚体系统。我们将内环与转子的组合称为内环组合体，外环、内环与转子的组合体称为外环组合体。整个小车系统便被简化成三个部分，即转子、内环组合体与外环组合体，这样再对三个部分分别建立动力学方程。

在莱查坐标系中，由于莱查坐标系并不固结于转子，它不参与陀螺转子的自转，因此莱查坐标系上的角速度与转子角速度有相同的x、y轴分量，但有不同的极轴分量。将内环的角速度向莱查坐标系投影，即可得出转子的角速度。由定轴转动刚体的动量矩表达式可分别得出陀螺转子、内环组合体、外环组合体的动量矩。其中，内环组合体的动量矩为内环的动量矩与陀螺转子的动量矩之和;外环、内环、转子的组合体为外环组合体，因此外环组合体的动量矩为这三个部分的动量矩之和。将三者角速度和动量矩分别带入欧拉方程组后，可以得到陀螺转子、内环组合体、外环组合体沿x、y、z方向上的运动学方程。

在理想的情况下，万向支架遵循以下基本假定：内环、外环的轴承约束均为理想约束。且约束力垂直于转动轴，仅能传递垂直于转动轴的力矩矢量;内环、外环的转动轴与刚体的惯性主轴重合，转子的旋转轴与极轴重合;内环、外环的转轴之间，内环与转子的转轴之间相互正交，三根转轴交汇于陀螺的支点。在此理想假设下，根据动力学分析，取陀螺转子沿z方向的动力学方程、内环组合体沿y方向的动力学方程以及外环组合体沿x方向的动力学方程，构成系统整体沿x、y、z方向的动力学方程组。由此，我们得到了异轴二轮自平衡车整车的动力学方程。

3.模糊PID控制器设计

异轴二轮自平衡车是一种要求具有快速响应性并能够在短时间内实现动态调节的非线性系统。传统的PID控制器本质为线性调节器，而对于具有强非线性特性的被控对象，其对调整时间的改善能力有限，而模糊控制技术具有适用范围广、对时变负载具有一定的鲁棒性的特点。所以本文选用模糊PID的控制方法来改善系统的动态性能，并通过建模仿真研究模糊PID控制器对异轴二轮平衡车直行受到外力作用时的车身倾斜的回正情况。

模糊PID控制本质上仍然是PID控制，它是在传统PID控制过程中设置模糊控制器实现的，我们需要先明确传统PID的控制策略，再进行模糊PID控制器的设计。

3.1传统PID控制策略

传统PID控制器的运算是由比例、积分、微分三个环节组成。其中，比例环节是对偏差的直接调整。通过比例的调节来减少偏差，比例系数会快速的起到控制作用，使得作用结果向我们的预期目标快速变化;积分环节能在比例的基础上消除余差，它能对稳定后有积累误差的系统进行误差修整，减小稳态误差;微分具有超前作用，对于具有容量滞后的控制通道，引入微分参与控制，对于提高系统的动态性能指标，有着显著效果，它可以使系统的超调量减小，稳定性增加，动态误差减小。通过对比例、积分、微分系数的调节得到使得异轴二轮自平衡车倾角达到预设定值的电机控制量。

3.2模糊PID控制器

模糊PID控制是在传统PID算法的基础上，以误差和误差变化率作为输入，利用确定的模糊规则进行参数调整，将得出的修正量分别输入到PID调节器中，对比例、积分、微分系数进行实时在线修正，从而满足不同时刻的误差和误差变化率PID参数自整定的要求[6]。本文设计的模糊PID控制器，以外力矩作用产生的车身倾角的偏差和车身倾角的偏差变化率作为模糊控制器的输入变量，以的依据模糊规则整定的修正量作为输出变量，构成了二维模糊控制器，然后输入到传统PID调节器中，对车辆进行动态控制。模糊PID控制器能够更快响应、更为准确地对异轴二轮自平衡车进行动态控制。

模糊PID控制需要确定隶属度函数，隶属度函数是模糊控制的应用基础，是否正确地构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。隶属度函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属度函数的确定又带有主观性。

模糊控制规则是模糊控制器中知识库的一部分，模糊控制规则是建立在语言变量的基础上。模糊控制规则是模糊控制器的核心，它的正确与否直接影响到控制器的性能，其数目的多寡也是衡量控制器性能的一个重要因素。建立模糊控制规则，需要将基本论域上的精确值依据隶属函数归并到各模糊子集中，从而用语言变量值（大、中、小等）代替精确值。将模糊PID控制器的输入、输出变量均划分为7个模糊等级，分别是NB、NM、NS、Z、PS、PM、PB，即负大、负中、负小、零、正小、正中、正大。其中，输入变量和输出变量的变化范围均为[-6，+6]，各变量都取三角形隶属度函数。根据PID参数模糊自整定原理，建立模糊控制规则。

4.仿真分析

本文重点研究直行过程中的异轴二轮自平衡车在在受到外力矩作用后车身倾斜的回正情况，分别采用传统PID和模糊PID对自平衡车进行直立控制，并对这两种控制方法的仿真结果进行对比，以保证车辆能够自动回正的同时具有良好的鲁棒性。

根据整车运动学方程，在MATLAB中搭建出系统仿真模型。在该仿真模型中，外力矩为输入信号，在外力矩作用下，自平衡车的车身倾角和其搭载的陀螺仪的进动角为该模型的仿真结果[7]，输出仿真图像。通过对仿真图象分析，可以较为直观的观察出车身倾角和陀螺仪进动角随时间的变化。

4.1模型验证

实际情况中，当行驶中的异轴二轮自平衡车突然受到一个外力的作用时，倘若不加控制，车辆只能依靠陀螺仪自转与进动产生的强大扭矩来维持自身平衡，此时陀螺仪会因为这个外力矩先产生章动现象，并伴随着进动，一段时间后进动停止。与此同时，车身由于陀螺仪的章动会产生一定频率的晃动，并在一個角度下保持稳定。

我们将一个力矩信号输入MATLAB模型中进行仿真，结果发现车体的倾角和陀螺仪的进动角在力矩信号处发生震荡，且振荡的幅度随时间变得越来越小，最后趋于稳定值。这与实际情况相同，说明所搭建的MATLAB模型较为准确。

4.2稳定性仿真分析

将一个力矩信号输入MATLAB模型中，加入传统PID控制器进行仿真。在传统PID控制下，相比于无PID控制器，车体倾角和陀螺仪进动角产生的震荡幅度相对减小，且震荡能够更快得趋于一个稳定值。说明传统PID控制器具有一定的控制效果，使倾斜的自平衡车更快回正。

将一个相同的力矩信号输入模型中，加入模糊PID控制器进行仿真，并与传统PID控制下的自平衡车仿真结果进行对比。相比传统PID控制，模糊PID大大降低了自平衡车车身倾角震荡幅度，并使其在更快恢复直立状态，同时陀螺仪进动角也相对小于传统PID控制之下的进动角度。由此可见，模糊PID控制对异轴二轮自平衡车的直立控制比传统PID控制更有效。

4.3鲁棒性仿真分析

为了进一步研究模糊PID控制器的鲁棒性，本文还分别通过改变车身质量、车身质心高度并进行仿真。首先，改变车身的质量，输入一个力矩信号进入模型中，在有模糊PID控制器下进行仿真，观察仿真图象。经过模糊PID控制，异轴二轮自平衡车能在短时间内快速回正。这表明当车身质量发生变化时，模糊PID也能较好地控制自平衡车达到理想的稳态。在同样的初始条件下，改变车身质心高度进行上述仿真，结果表明：无论是改变车身质量还是质心高度，经过模糊PID控制异轴二轮自平衡车能够在极短时间内实现快速回正并且维持直立稳定的状态。

综上所述，模糊PID控制相比于传统PID控制能够使自平衡车更快速响应，并且在恢复直立状态后能够维持车身稳定，且具有良好的鲁棒性能。

基金项目：南京林业大学2021年大学生创新训练计划项目（2021NFUSPITP0744）1

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