基于投影平移的一般位置直线实长和倾角作图方法

贺雨田

（西安石油大学机械工程学院，陕西 西安 710065）

0 引言

“画法几何”是实践性较强的一门专业基础课，也是进一步学习制图课程（“建筑制图”“工程制图”“机械制图”等）的基础[1]。掌握“画法几何”理论与制图基本规定，对认识所学专业的行业通用“工程语言”至关重要。该课程通常在大学一年级开设，这一阶段，学生尚未充分建立本专业工程设计的基本概念，对于设计的理解，往往以本专业的某一具体有形几何特征为宏观指导。因此，学生对制图中所要表达的对象理解并不深刻[2]。如何让一个没有任何工程背景的学生建立起对有形几何特征的直观认识，进行几何结构、空间位置和理解思维的简化是有效可行的办法[3]。

一般线的实长是一个空间概念，在投影中求解时，需要与一般线的空间位置相联系，从而在平面投影中通过几何关系绘制出线的实长[4]。而倾角的本质就是实长与投影的夹角，因此，可以通过构造投影为直角边、实长为斜边的直角三角形求得[5]。

笔者针对一般线空间位置的特点，对一般线或其投影进行平移，并结合平移后一般线展开投影图的几何特点，对一般位置线段进一步分类，建立了基于投影平移的一般线实长和倾角求解方法，为提高学生对一般线的空间理解提供一种新思维，从而丰富“画法几何”教学中一般线实长和倾角的求解理论。

1 一般线

1.1 一般线投影

一般线的投影为直线，一般线的实长和倾角可以通过作图求解，其中倾角为一般线与各投影面上的投影在投影线平面上的夹角，一般线与H面、V面和W面的夹角分别用α、β和γ表示，如图1所示。

图1 一般线投影

将图1所示位置的一般线投影展开后，得到如图2所示的投影图。图中三个投影面上的投影都倾斜于投影轴，投影不反映一般线的实长，各投影与相对投影轴的夹角也不反映一般线对投影面倾角的大小。

图2 一般线投影展开图

通过线段在图1中的空间位置认识图2的三面投影，比较容易理解，但通过图2的三面投影还原线段在图1中的空间位置时，需要一定的空间想象能力[6]。为了简化对这一还原线段空间位置的理解，对图1中的线段位置进行平移。假设图1中所示一般线的端点B距离H面的距离为d，另一个端点A距离V面和W面的距离分别为l和w。将该一般线向下平移d，向后平移l，再向左平移w，则该线段的端点A平移到了Z轴上，端点B平移到了H投影面上，如图3所示。

图3 一般线位置平移

此时，展开一般线位置平移后的投影，端点A在H面上的投影a和端点B在V面上的投影b′同在OX轴上，端点A在V面上的投影a′和在H面上的投影a″同在Z轴上，如图4所示。这使得一般线相对于投影坐标系的空间位置以及投影展开图均得到简化。而在实际投影时，任意一般线均可以通过平移，使其位置具有上述特点。

图4 一般线平移后投影的展开图

需要指出的是，一般线在空间中平移后可以得到特殊的展开图；相应地，一般线的投影图展开后，通过对投影进行平移，即对图2进行平移，也可以得到与空间中平移后一样的投影展开图，即图4展开图。

1.2 一般线分类

在第一分角内，任意一般线通过平移后可以产生以下4种位置情况：1）一般线与H面和Z轴相交；2）一般线与V面和Y轴相交；3）一般线与W面和X轴相交；4）一般线通过原点O。对这4种位置进一步分类，可以将一般线分为两类：一类是线段与一个投影面和垂直于该投影面的轴线的相交，也可视为一般线不通过原点O，这是上述4种位置的前3种情况；另一类是一般线通过原点O。

2 一般线实长和倾角求解

2.1 一般线与投影面和轴相交

一般线AB与H面和Z轴相交的空间位置及其投影如图5所示。此时，一般线AB、一般线在Z轴的截距OA、一般线在H面上的投影OB构成一个直角三角形（图中的阴影三角形），其中一般线AB为斜边，OA和OB为直角边，在该三角形中，AB为一般线的实长，∠ABO为一般线AB与H面的夹角α。

图5 一般线与H面和Z轴相交的空间位置及其投影

图5所示投影展开后如图6所示，图中Oa′（Oa″）和Ob的长度就是图5所示阴影三角形中OA和OB两个直角边的长度。因此，只要构造一个以Oa′（Oa″）和Ob为直角边的三角形，则其斜边就是一般线的实长，斜边与Ob的夹角为一般线AB与H面的夹角α。求得实长后，再分别构造出以实长为斜边、以V面上的投影a′b′和W面上的投影a″b″为直角边的两个直角三角形，就可分别求解得到一般线AB与V面和W面的倾角。

图6 一般线与H面和Z轴相交时的投影展开图

在投影展开图中的具体作图方法如图7所示。

图7 一般线与H面和Z轴相交时实长与倾角的作图方法

1）过O作Ob的垂线；

2）以O为圆心，以Oa′（Oa″）为半径画圆，与Ob的垂线交于点c；

3）将该交点c与b相连，则bc就是一般线的实长，∠Obc就是一般线AB与H面的夹角α；

4）分别过b′和b″作a′b′和a″b″的垂线；

5）以a′（a″）为圆心，以所求的实长为半径画圆弧，与两条射线分别交于点d和点e，则∠b′a′d为线段与V面的夹角β，∠b″a″e为线段与W面的夹角γ。

通过这样的作图，就可以在三投影面体系中求解一般线的实长以及一般线与三个投影面的倾角。

另外两种一般线位置（一般线与V面和Y轴相交，一般线与W面和X轴相交）的实长和倾角作图方法与上述位置一般线实长和倾角的作图思路一致，这里给出另外两种一般线的投影图和在相应投影展开图上求解实长和倾角的作图过程。一般线AB与V面和Y轴相交的空间位置及其投影如图8所示，该一般线实长和倾角的作图过程如图9所示。一般线AB与W面和X轴相交的空间位置及其投影如图10所示，该一般线实长和倾角的作图过程如图11所示。

图8 一般线与V面和Y轴相交的空间位置及其投影

图9 一般线与V面和Y轴相交时实长与倾角的作图方法

图10 一般线与W面和X轴相交的空间位置及其投影

图11 一般线与W面和X轴相交时实长与倾角的作图方法

2.2 一般线通过原点

一般线OA通过原点O的空间位置及其投影如图12所示。此时，一般线OA与三个投影面的投影和相应的投影线构成三个直角三角形，其中一般线OA为斜边，OA和三个投影的夹角就是线段与投影面的倾角。

图12 线段通过原点O的空间位置及其投影

投影图展开后，可以以任意一个投影为直角边构造直角三角形。为了表述作图过程，选择以Oa″为直角边构造直角三角形，具体作图过程如图13所示。

1）过O作Oa″的垂线；

2）连接a和a′交OX轴与ax；

3）以O为圆心，以Oax为半径画圆，交垂直Oa″的垂线于点c；

4）连接点a″与点c，则a″c为一般线的实长，∠Oa″c为一般线与W面的夹角γ，

5）过a和a′分别作Oa和Oa′的垂线；

6）以O为圆心，以实长a″c为半径画圆，交垂直Oa的垂线于点d，交垂直Oa′的垂线于点e，得∠aOd为线段与H面的夹角α，∠a′Oe为线段与V面的夹角β。以其余两个投影为直角边构造直角三角形与上述方法相似，这里不再赘述。

图13 线段通过原点O时实长与倾角的作图方法

3 结论

1）对一般线进行了平移，平移后简化了一般线与投影面和投影轴的空间位置关系，得到了位置特殊的投影展开图，相应地，通过投影平移也可以得到相同的结果。

2）根据平移后一般线与投影面和投影轴的位置关系，将一般线分为两类：一类是与一根轴和与轴垂直的投影面相交的一般线，即不通过原点O的一般线；而另一类是通过原点O的一般线。

3）一般线的实长和倾角通过构造直角三角形进行求解：当一般线与一根轴和与轴垂直的投影面相交时，求解实长时，选择投影通过原点O的线段和一般线与轴的截距为直角边构造直角三角形，该三角形的构造可同时求解出一般线与通过原点O的投影所在投影面的倾角；当一般线通过原点O时，可以以任意一个投影为直角边构造直角三角形。