基于AKIMA插值法的整体式U形渠道温度场数值模拟

汪菲，唐少容,2,3*，王红雨,2,3

▪灌溉技术与装备▪

基于AKIMA插值法的整体式U形渠道温度场数值模拟

汪菲1，唐少容1,2,3*，王红雨1,2,3

（1.宁夏大学 土木与水利工程学院，银川 750021；2.宁夏节水灌溉与水资源调控工程技术研究中心，银川 750021；3.旱区现代农业水资源高效利用教育部工程研究中心，银川 750021）

揭示整体式U形混凝土渠道渠基土温度场的分布和变化特征，为整体式U形混凝土渠道的抗冻胀工程提供理论依据。依据宁夏青铜峡市邵岗镇沙湖村进行的整体式U形混凝土衬砌渠道的原型观测试验结果，采用AKIMA插值法对各部位渠基土的温度梯度进行了计算，再利用有限元软件ANSYS对渠基土的温度场及温度梯度进行了数值模拟。渠道阴坡温度低于阳坡温度，其产生冻胀时间更早、冻结深度更大。在2月初气温回暖时，地温开始逐步升高。不同位置衬砌板下土体的温度梯度变化规律基本相同，均随土体深度的增加而减小。阴坡的平均温度梯度高于阳坡，距离土表越远温度梯度越小。衬砌板以下20 cm范围内的温度梯度波动较大，50～100 cm范围内的温度梯度相对来说较为平缓。采用AKIMA插值法计算出的渠基土温度梯度与通过有限元软件ANSYS进行的温度梯度模拟结果基本一致，ANSYS对温度场的模拟所得结果与实测渠基土地温结果一致。整体式U形混凝土渠道在不同位置衬砌板下的渠基土温度变化趋势一致，均随深度的增加而升高；不同深度土体温度梯度变化规律基本相同，均随深度增大而减小。

U形渠道；温度梯度；AKIMA插值法；数值模拟

0 引言

【研究意义】宁夏地处季节性冻土地区，渠基土会随四季的交替变化发生冻融循环，使渠道衬砌产生严重的冻胀破坏、造成渗漏，影响渠道功能的发挥。渠基土的冻结是具有相变的水热迁移过程[1]，除地形、地质、水文等因素外，土中的热流和温度梯度也是影响渠基土水热迁移过程的重要因素。因此，研究渠基土温度场的分布和温度梯度变化特征对渠道抗冻胀破坏意义重大。【研究进展】以往渠道温度场的研究已非常广泛且取得了一定的成果，但U形混凝土渠道温度场的分析目前仍以观测试验及有限元计算为主，而由于试验测点有限、数值模拟依赖参数选取等因素，使得对渠道温度场的研究可能存在误差，因此使用AKIMA插值法计算渠道渠基土温度梯度。AKIMA插值法是AKIMA[2]于1970年首次提出的一种基于局部插值的光滑曲线拟合的新方法，是在给定点的连续区间建立一阶导数连续的分段三次多项式曲线。这种插值法数学推理严密，计算过程简便，不考虑全部数值点对某区间的影响，只需求某一区间附近的几个数值点就可确定该区间任一点的值，且所得曲线比其他插值曲线更光滑自然。AKIMA插值法由于其充足的优点已在各领域有了广泛的应用，张尚根等[3]利用AKIMA插值法来计算土的孔隙比，克服了手算孔隙比对准确度的影响以及压缩深度试算困难的问题。王云宏等[4]通过AKIMA插值法校正了GPS授时地震仪的晶振走时误差。文献[5-7]研究了AKIMA插值法在测量、测绘方面的应用。文献[8-9]利用AKIMA插值法处理海域温度垂直剖面数据，并基于此分析了温盐跃层特征。RUI等[10]通过AKIMA插值法计算了冻土的温度梯度。【切入点】针对上述问题，通过AKIMA插值法计算渠基土温度梯度，利用有限的测点温度值即可计算出该区间内的所有温度梯度值，能够弥补试验测点和条件不足的缺陷，更为准确地掌握渠道基土的冻结状况。【拟解决的关键问题】本文通过分析2015年12月—2016年4月在宁夏青铜峡市邵岗镇沙湖村进行的为期4个月的整体式U形混凝土衬砌渠道原型观测试验结果，采用数值分析法对不同气温条件下、不同深度处、渠道同一断面阳坡、渠底、阴坡处的地温变化规律进行研究。重点探讨基于AKIMA插值法的渠基土温度梯度计算，并与利用有限元软件ANSYS进行渠基土温度场的模拟结果进行了对比，以期揭示出整体式U形混凝土渠道渠基土温度场的分布和变化特征，为整体式U形混凝土渠道的抗冻胀工程提供理论依据。

1 观测试验及数据处理

1.1 试验现场

原型观测试验区位于宁夏青铜峡市邵刚镇沙湖村的河西灌区双龙渠，地属西北干旱带，年平均气温为8.4℃，极端最高和最低气温分别为40.0 ℃和-24.0 ℃，昼夜温差约为13 ℃左右。年平均降水量为180~200 mm，年平均蒸发量为1 100~1 600 mm，降水量和蒸发量相差悬殊，春季和冬季尤为突出，且该区域在4—6月春耕时期的降雨量仅为全年降雨量的25 %左右，因此农渠灌溉是该区域的主要灌溉方式。试验区在12月上旬开始结冻，次年2月下旬开始解冻，冻结时间为80~100 d，渠基土基本物理性质如表1所示，其中l表示渠基土的液限，p表示渠基土的塑限，p表示渠基土的塑性指数。

表1 渠基土基本物理性质

1.2 观测方法

原型渠道断面尺寸如图1所示，渠道为东西走向，渠顶开口为0.782 m，渠深0.55 m，每块板的纵向长度为0.4 m，纵比降为1/4 000。

图1 双龙渠断面(单位：mm)

试验监测期包括了渠基土的一个完整冻融期，通过热敏电阻观测法对整体式U形渠道渠基土的地温进行观测。试验段的地温通过搭配负温热敏电阻与数字万用表进行观测，采用型号为MGD18-103F3950的负温热敏电阻（NTC），其精度可达0.1 ℃，感温时间可少至10 s以下，典型特点为温度越高时电阻值越低。通过热敏电阻可以将温度及其变化量转换成电阻及电阻变化量。试验分别在设计水位处衬砌板下、渠道直线段与弧线段交接处衬砌板下以及渠底垂直衬砌板下埋设负温热敏电阻布置测点。热敏电阻的具体布设情况如图2所示，阴阳坡均匀对称布置热敏电阻，观测均在当日早上10:00点进行。

图2 热敏电阻布设

1.3 试验结果处理

试验数据的处理是依据NTC的实测电阻值，对照电阻温度特性表计算地温。为探究不同深度、渠道不同位置、不同时间的温度变化规律，本文选取监测期内连续的16次观测数据，对监测试验中的实测电阻值进行地温计算。图3为渠道横断面不同衬砌板位置渠基土的地温变化曲线，横坐标为观测日期，如151206表示2015年12月6日。纵坐标为土体温度，不同颜色曲线代表不同深度处的温度。由图3可知，渠道不同位置衬砌板下的渠基土温度变化趋势一致，均随深度的增加而升高。而同一时刻同一深度的渠基土温度大小为：渠底＞阳坡＞阴坡，因此阴坡的平均温度低于阳坡，其产生冻胀时间更早、冻结深度更大。在2月初气温回暖时，地温也开始逐步升高。

2 基于AKIMA插值法的温度梯度计算

温度梯度为负代表本次监测温度小于上次监测温度。渠道渠基土温度梯度的计算采用AKIMA插值法，即在2个实测点之间进行内插，还需得知与这两点相邻的4个实测点的数值[12-13]。同时约定在任意两相邻的数据点之间，用三次多项式来逼近进而得到一条光滑的曲线，可得到该区间内任意深度的温度值，从而求得不同深度温度梯度。设已知数据点（dt），现在要找到1条光滑曲线=（），使其满足t=（d），如图4所示，所谓光滑是指（）具有连续的一阶导数。

图4 AKIMA插值

设三次多项式为：

=0+1(-3)+2(-3)2+3(-3)3, （1）

式中：为土体的不同深度；为不同深度处的温度；0、1、2、3为待定系数，计算式为：

0=3， （2）

1=3，（3）

2=[3(4-3)/(4-3)-23-4]/(43)， （4）

3=[-2(43)/(4-3)+3+4]/(4-3)2，（5）

式中：3、4分别为3号、4号实测点的斜率，计算式为：

3=(|4-3|2+|2-1|3)/(|4-3|+|2-1|)， （6）

4=(|5-4|3+|3-2|4)/(|5-4|+|3-2|)。（7）

其中，m表达式为：

m=(t +1-t)/(d +1-d)。 （8）

在AKIMA曲线的开始与结束处，端点上的斜率需要根据已知点的斜率来估计。而补充的点需要在抛物线曲线=0+1(-d)+2(-d)2上，且设5-3=4-2=3-1，由此可得4个端点表达式为：

-1=20-1，（9）

-2=2-1-0，（10）

m=2m-1-m-2，（11）

m+1=2m-m-1。（12）

结合上式与处理后的地温数据，利用AKIMA插值法计算所得区间内的三次多项式，并由此获得区间内任意深度的温度值，从而求得不同深度的温度梯度。

为探明气温、深度及衬砌位置对渠基土温度梯度的影响，选取一个冻融期内渠道不同位置衬砌板下的渠基土，对其温度梯度进行计算与分析，图5为渠道不同位置渠基土的温度梯度变化曲线。由图5可知，不同位置衬砌板下土体温度梯度的变化规律基本相同，均随深度的增大而减小。衬砌板以下20 cm范围内的温度梯度波动范围较大，50~100 cm范围内的温度梯度相对来说较为平缓，趋近于0。融解期土体从上到下依次融化，温度梯度波动幅度也依次减小。

3 渠道温度场的有限元模拟

有限元数值模拟是工程原型监测之外的一种有效研究手段。通过数值模拟一方面可以预测或再现渠道冻胀破坏效应，另一方面可以验证原型监测试验的可靠与准确性，能为揭示季冻区渠道冻害问题提供依据。本节以整体式U形混凝土衬砌结构为对象，采用通用有限元软件ANSYS对衬砌结构的温度场进行数值模拟，探讨整体式U形混凝土衬砌结构的温度场及温度梯度分布情况，以期能为季冻区渠道冻胀破坏问题提供理论依据。

3.1 原型渠道参数的选取

文献[11]对渠道进行原位观测，所得观测基本资料如表2所示。忽略渠道与渠基土间的相互作用，及衬砌结构沿纵向的差异，利用有限元软件ANSYS对U形混凝土衬砌渠道进行温度场分析。该渠道为C20混凝土衬砌，取其弹性模量=260 GPa，导热系数=2.3 W/(m∙℃)，泊松比=0.167。

表2 双龙渠原位观测基本情况

3.2 有限元模型及单元划分

根据原位观测基本情况，本文按照双龙渠准确尺寸进行有限元模型的建立，选取温度单元plane55，利用有限元软件ANSYS对混凝土渠道渠基土的温度场进行数值模拟。为使模拟结果更加精确，本研究在渠道衬砌结构部分进行网格加密，有限元计算模型及单元划分结果如图6所示。

图6 有限元单元模型及网格划分

3.3 有限元基本假定及热传导方程

3.3.1 基本假定

由于温度、土质、水分状况、衬砌体刚度等因素决定了渠基土冻胀是比较复杂的过程，很难完全准确模拟，因此必须事先做出适当的假定与简化，以便更准确地探寻渠道冻胀受力和变形规律。基本假定如下：

1）渠基土是均质连续的各向同性线弹性材料。

2）土质及水分等条件确定时，渠基土冻胀的主要取决于温度。

3）忽略对流影响，以热传导为主。

4）渠基土在冻结过程中为封闭系统，不考虑水分迁移、蒸发的过程。

5）忽略沿渠道纵向的温度差异，只考虑渠道横断面上的冻胀，把衬砌渠道冻胀作为二维平面应变问题处理。

3.3.2 热传导方程

可根据3.3.1中的基本假定建立一个二维温度场。由热力学理论可知，适用于整体式U形混凝土渠道冻胀的二维热传导方程为：

式中：为渠基土温度；λ为渠基土沿轴方向的导热系数；λ为渠基土沿轴方向的导热系数，单位均为W/(m∙℃)；为渠基土的计算区域。

3.4 有限元模拟结果分析

温度场随时间发生变化的传热过程为非稳态传热过程[14]，因此对渠基土温度场采用瞬态计算。热边界取原型渠道衬砌结构表面观测所得16次温度数据，分别以数组形式施加于渠道衬砌的阴坡、阳坡及渠底。取最后1次监测数据所对应的渠基土温度场如图7所示。从图7可以看到，阳坡温度高于阴坡温度，阴坡、阳坡及渠底温度分布规律基本相同，均随深度的增加而增大，与实测规律基本一致。

图7 渠基土温度场分布

温度梯度分布如图8所示。由图8可知，不同衬砌板下土体温度梯度的变化规律基本相同，距离土表越远温度梯度越小。且阴坡的平均温度梯度高于阴坡，以上结论与通过AKIMA插值法计算温度梯度所得规律基本一致。

图8 渠基土温度梯度分布

4 讨论

本文利用AKIMA插值法计算渠基土温度梯度，利用有限的测点温度值计算出了该区间内的温度梯度值，弥补了试验测点不足和试验条件不易保证的缺陷，发现AKIMA插值法计算所得温度梯度与数值模拟结果一致。竺明星等[15]也通过理论计算验证了该方法的可靠性和实用性。

研究表明，渠道不同位置衬砌板下的渠基土温度变化趋势一致，均随深度的增加而升高。这一结论与He等[16]研究结论一致；而同一时刻同一深度的渠底渠基土温度最大，阳坡次之，阴坡最小，导致这一现象的原因是太阳辐射渠底、阳坡时间长，而辐射阴坡时间最短[17-18]。这一结论与吕步锦[19]和李存云等[20]研究结论一致；渠基土的温度梯度在距土体表面越远处越小，这是因为距离土体表面越远，渠基土温度变化越平缓。这与徐峰等[21]和刘玉柱[22]研究结果一致。

由于渠道与渠基土间不发生动态变化，刘旭东等[23]、王英浩等[24]在对渠道进行数值模拟时都将渠道与渠基土视为一个整体，本研究在对渠道温度场进行数值模拟时也将渠道与渠基土视为一个整体。但与实际情况相比，这一方法忽略了渠基土水分迁移对渠道冻胀效应的影响。因此，针对考虑渠道与渠基土之间相互影响的数值模拟计算，还有待进一步研究。

5 结论

1）渠道不同位置衬砌板下的渠基土温度变化趋势一致，均随深度的增加而升高。而同一时刻同一深度的渠基土温度大小为：渠底＞阳坡＞阴坡，因此阴坡的平均温度低于阳坡，其产生冻胀时间更早、冻结深度更大。

2）不同深度土体温度梯度变化规律基本相同，均随深度的增大而减小。相同温差情况下，距离土表越远温度梯度越小。随着深度的增大，温度梯度波动范围逐渐减小。融解期土体从上到下依次融化，温度梯度波动幅度也依次减小。

3）衬砌板以下20 cm范围内的温度梯度波动范围较大，50～100 cm范围内的温度梯度相对来说较为平缓，渠基土的温度梯度随深度的增加趋近于零，与实测规律基本一致。

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Simulating Temperature Distribution in Soil around the U-shaped Channels in the Yellow River Irrigation Areas in Ningxia of China

WANG Fei1, TANG Shaorong1,2,3*, WANG Hongyu1,2,3

(1. College of Civil and Hydraulic Engineering, Ningxia University, Yinchuan 750021, China;2. Ningxia Research Center of Technology on Water-saving Irrigation and Water Resources Regulation, Yinchuan 750021, China; 3. Engineering Research Center for Efficient Utilization of Water Resources in Modern Agriculture on Arid Regions, Yinchuan 750021, China)

【】The Yellow River Irrigation Area built in Ningxia of China comprises a number of irrigation canals that could be damaged by heaves induced by frosts in winter, destabilizing canal slopes and resulting in water leakage. Developing anti-frost technologies to mitigate the heave damage is hence critical to safeguarding the operation of the canals. Soil freezing in the canals is a hydrothermal process involving phase change; it is impacted by topographic, geological and hydrological factors. Understanding temperature distribution in the peripheral soil of the canal can help mitigate heave formation induced by freezing-thawing cycles.【】The objective of this paper is to numerically simulate temperature distribution in the soil surrounding the U-shaped concrete canals under different conditions in attempts to provide guidance to help anti-heave design in constructing canals in semi-permafrost regions like Ningxia.【】The study was based on data measured from U-shaped concrete canals in Shahu Village, Shaogang Town, Qingtongxia City. We first used the AKIMA interpolation to calculate the temperature distribution in the soil around the canals, and then numerically simulated thermal flow and temperature distribution in the soils using the ANSYS software.【】Since the temperature in the shady slope is much lower than that in the sunny side, frost heave occurred early in the former and the frozen soil in it also developed much deeper. The temperature gradient underneath the lining a different locations around the canal was roughly the same, and in general, the temperature gradient was the highest in regions proximal to the soil surface and decreased with the soil depth. The average temperature gradient in the shady slope was higher than that on the sunny side, and the temperature gradient in the canal base tends to zero as the soil depth increased. The temperature varies more dramatically in the 20 cm of soil underneath the lining, and in soils 50~100 cm from the lining, the temperature gradient was almost zero. Comparison with observed data showed that the AKIMA interpolation combined with the ANSYS software can accurately simulated the temperature distribution.【】Results obtained from AKIMA and ANSYS were consistent with the measured data and they can be used to help anti-frost design in building U-shaped concrete canals in areas with freezing-thawing cycles in Ningxia and beyond.

U-shaped canal; temperature gradient; AKIMA interpolation; numerical simulation

TV16

A

10.13522/j.cnki.ggps.2020675

1672 – 3317（2021）08 - 0081 - 07

汪菲, 唐少容, 王红雨. 基于AKIMA插值法的整体式U形渠道温度场数值模拟[J]. 灌溉排水学报, 2021, 40(8): 81-87.

WANG Fei, TANG Shaorong, WANG Hongyu. Simulating Temperature Distribution in Soil Around the U-shaped Channels in the Yellow River Irrigation Areas in Ningxia of China[J]. Journal of Irrigation and Drainage, 2021, 40(8): 81-87.

2020-12-04

宁夏重点研发项目（引才专项）资助项目（2018BEB04035）；宁夏高等学校一流学科建设项目（NXYLXK2017A03）；宁夏自然科学基金项目（2021AAC03021）

汪菲（1997-），女。硕士研究生，主要从事冻土地区水工结构方面的研究。E-mail: 568154326@qq.com

唐少容（1982-），女。副教授，博士，主要从事冻土地区结构设计及理论方面的教学和研究工作。E-mail: tangsrong@126.com

责任编辑：陆红飞