“微元法”求解物理习题

龙礼波

摘   要：微元法是解决物理问题的基本方法，它贯穿于高中阶段的物理知识体系，渗透于一些物理概念、公式中，应用于物理难题或高考压轴题中。现分别以“质量元Δm”“电荷元Δq”“时间元Δt”“速度变化元Δv”四类典型例题逐一分析，旨在拓宽解决物理问题的方法，提升学生学习物理的水平，提高物理学科核心素养。

关键词：微元法;质量元;电荷元;时间元;速度变化元

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）6-0026-2

微元法是一种“化整为零”的解题方法，可以分析复杂的研究对象或物理过程，解答用常规方法无法解决的物理难题。使用微元法处理问题时，需要将其分解为多个微小的“元对象”或是“元过程”，因为“微元”所遵循的规律是相同的，就可以通过重点分析其中一个“微元”，将所有“微元”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而迅速解决问题。

1    质量元Δm

例1 在一辆加速启动的汽车中，放置了一桶水，测量发现水面与车所行驶的水平路面夹角为θ，如图1所示，求汽车启动的加速度？

解析 研究整桶水无法求解，用“微元法”可以将问题简化。

在水面上选取水的质量元Δm，对Δm进行受力分析。

由力的合成图得：

由牛顿第二定律得：

所以a=gtanθ，方向与汽车启动方向一致。

2    电荷元Δq

例2 如图2所示，电量为Q的正电荷均匀分布在半径为R的圆环上，求在圆环轴上距圆心O点为x处的P点的电场强度。

解析 带电圆环不能看成点电荷，因此不能直接用E=求P点的场强，可用微元法求解。

在环上取极小电量Δq，由点电荷的场强公式可得：

电荷元在P点的场强：ΔE=k

将ΔE分解：ΔEx=ΔEcosα

根据对称性，P点的场强：

方向沿x轴的正方向。

讨论：①当x=0即圆心处E=0;②当x→∞，E= ，这时带电圆环可视为点电荷。

3    时间元Δt

例3 如图3所示水力采煤时，用水枪在高压下喷出强力的水柱冲击煤层。设水枪喷口横截面积S=5 cm2，水速v=50 m/s，假设水柱垂直射在煤层的表面上，冲击煤层后水的速度变为零。求：水柱对煤层的平均冲力。（ρ=1.0×103 kg/m3）

解析 选取在极短时间Δt内的一小段水柱为研究对象，质量为Δm=ρ SvΔt。这段水柱是在煤层的反作用力下发生动量的变化。

由动量定理得：FΔt=Δmv-0

由牛顿第三定律可得，水对煤层的平均作用力为1.25×103 N。

拓展  如图4所示，一艘帆船在静水中由于风力的推动做匀速直线运动，帆面的面积为S，风速为v1，船速为v2（v2

解析 风吹帆面是一个连续的过程，无法研究全过程，只能用微元法求解。

由于船做匀速运动，选帆面为参考系。选取吹到帆面的空气微元为研究对象。经时间Δt后，微元速度由（v1-v2）变为零，空气微元的质量Δm=ρS（v1-v2）Δt，空气微元在帆面的反作用力下发生动量的变化。

由动量定理得：FΔt=Δm（v1-v2）-0

由牛顿第三定律可得，帆面受到的平均作用力为ρS（v1-v2）2

4    速度变化元Δv

例4 如图5所示，一水平放置的光滑平行导轨上有一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接阻值为R的电阻（其他电阻不计）。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面。现给金属杆一个水平向右的初速度v0，设导轨足够长，试求金属杆在导轨上运动的最大距离？

解析  杆在安培力作用下，做变减速运动直至停止。由于安培力是變力，对全过程无法用牛顿定律求解。设杆在某时刻速度为vi，取一极短时间Δt，速度变化了Δvi，发生了一小段位移Δxi，可认为安培力Fi是恒力：

杆在安培力的作用下发生动量的变化：

然后对微元求和，∑ viΔt=∑mΔvi

其中，∑viΔt=x（总位移），∑Δvi=v0

解得：x=

如图6所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于光滑水平面，虚线为磁场的边界，质量为m、电阻为R、边长为L的正方形金属框，在光滑绝缘的桌面上以速度v0垂直边界线进入磁场，求线框进入磁场后的速度？

解析 线框在安培力作用下，变减速通过边界线，当线框完全进入磁场后以速度v匀速运动。设线框某时刻速度为vi，取时间元Δt，速度变化元Δvi，对微元：viΔt=mΔvi

对微元求和：∑viΔt=∑mΔvi

其中∑viΔt=L，∑Δvi=v0-v

解得：v=v0-

学生掌握了微元法不仅有助于对物理概念、规律的理解，也拓宽了解决物理问题的新途径，进而提高学生的物理综合素质。

（栏目编辑    邓   磊）