周期分数阶傅里叶变换域多分量LFMCW 信号间的分辨研究*

张玉灵，李 坤，钱志升，朱健东

（1.郑州升达经贸管理学院，河南 郑州 451191；2.复杂电磁环境效应国家重点实验室，河南 洛阳 471003）

0 引言

分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）作为傅里叶变换的一种广义形式，可以理解为线性调频（Linear Frequency Modulation，LFM）基分解，对LFM 信号具有良好的能量聚集性[1]，非常适合于对其进行检测与参数估计。文献[2]基于Newton 法减少了FRFT 对LFM 信号检测和参数估计的计算量；文献[3]提出了一种基于分数阶功率谱的LFM 信号检测新因子；文献[4]对FRFT 域多分量LFM 信号的分辨问题进行了研究；文献[5]提出了一种分数阶域的交叠LFM 信号的分离方法；文献[6]讨论了分数阶域的滤波问题。FRFT 虽然对LFM 信号可以实现最佳的匹配检测，但是对针对线性调频连续波（Linear Frequency Modulated Continuous Wave，LFMCW）信号的检测却存在很多不足。在实际中接收机往往能够接收到多个周期的LFMCW 信号，但FRFT 对其处理增益仅局限在一个周期内，并且多个周期对应多个峰值也不利于信号的检测。为了解决上述问题，Geroleo 等人[7-8]在2010 年提出了周期Wigner-Hough 变换（Wigner-Hough Transform，WHT）算法，实现了WHT 对LFMCW 信号的最大似然检测，但由于是二次处理，计算复杂度高，不利于实时应用。借鉴其相关积累思想，朱健东[9]和黄宇[10]等人从FRFT 出发，于2013 年分别独立提出了周期分数阶傅里叶变换（Periodic Fractional Fourier Transform，PFRFT）的概念。该方法在保持与周期WHT 相当的检测性能的同时，利用FRFT 线性特性和快速算法大大降低了检测估计时的运算量。文献[11]进一步提出了一种基于PFRFT 的LFMCW 信号的自适应门限检测与参数估计方法。但是，针对PFRFT 域多分量LFMCW 信号的分辨和分离问题，现有文献没有开展进一步深入研究。当LFMCW 信号在PFRFT 域的尖峰相距较近无法分辨时，会导致目标信号被漏检。

本文首先从LFMCW 信号在PFRFT 域的频谱分布特征出发，对离散PFRFT 计算时单个LFMCW 信号的能量谱近似表达式进行了数学推导；其次根据多分量LFMCW 信号在离散PFRFT 域检测估计时的幅度叠加特性，研究它们在参数平面的分辨问题；最后研究了通过的量纲归一化因子的合理调整，提高在PFRFT 域分辨多分量信号的能力。

1 PFRFT 的定义

信号x(t)的PFRFT 定义式为[9]：

式中，mod(·)为取模算子，=pπ/2 为PFRFT 的旋转角度，p为PFRFT 的阶数，为任意实数。、分别表示时间偏移和调制周期搜索参数。PFRFT 核函数的参数集为，比传统的FRFT 参数和多了2 维和。

2 LFMCW 信号离散PFRFT 频谱

2.1 LFMCW 信号的PFRFT

单分量LFMCW 信号s(t)可表示为：

假设信号的初始频率和初始相位均为0，则信号形式如下所示：

则信号的时频分布线与频率轴交于原点0。将信号表达式（1）代入PFRFT 变换表达式（4），可推导出信号的PFRFT 为：

式中：n为LFMCW 信号的周期数；T为周期。当T→+∞时，，说 明LFMCW 信号在一个周期内等效为LFM 信号，其最佳PFRFT 域的频谱服从sinc 函数分布。

2.2 LFMCW 信号周期分数阶谱的量纲归一化分析

Ozaktas 等人提出的快速离散FRFT 算法[12]精度高且计算复杂度低，因此得到广泛应用；而PFRFT 离散算法一般基于离散FRFT 算法来构造，从本质上讲，它们的量纲归一化相同。离散FRFT算法的量纲归一化基本原理如下：设s(t)在时间轴和频率轴上都是紧支撑的，时域区间和频域区间分别为[-Δt/2,Δt/2]和[-Δf/2,Δf/2]，量纲归一化因子定义为s=(Δt/Δf)1/2，量纲归一化后新的坐标系为(x,v)，量纲归一化后的坐标记为x=t/s，v=fs。

离散尺度化法和数据补零/截取法是两种实用化的量纲归一化方法[13]。本文采用前一种方法，过程为：令信号的时宽Δt=Td，信号的带宽Δf=fs，则s=(Td/fs)1/2。信号的时域和频域区间变为[-Δx/2,Δx/2]，其中Δx=(Td fs)1/2，新的坐标系实现了量纲归一化，此时采样间隔变为1/Δx。

离散尺度化法量纲归一化会改变原有的LFMCW 信号的数字域参数值。LFMCW 信号s(t)经量纲归一化后的调频率、初始频率、最佳旋转角度和最大值的坐标分别为，则它们之间的量化关系式可以表示为：

根据文献[13]，LFMCW 信号的实际参数值与归一化后的参数关系为：

联立上述两式可得峰值坐标与信号参数的关系式为：

从量纲归一化后的调频率、初始频率、最佳旋转角度和最大值坐标的关系式（7）可以看出，通过量纲归一化可以改变信号尖峰的坐标位置。归一化后，变换域中支撑区的宽度与中点坐标如下：

式中，n表示调频周期数。

2.3 信号离散PFRFT 的近似表示能量谱

对于连续信号s(t)如（4）式所示，从信号的PFRFT 推导值式（6）出发，取u～=0 时，可以得到s(t)的PFRFT 频谱最大值为：

量纲归一化后，s(t)的PFRFT 频谱最大值[13]变为：

由式（12）和峰值坐标与信号参数的关系式（9）可知，量纲归一化还会改变信号频谱的最大值，其最大值为：

3 多分量LFMCW 信号的分辨能力

多分量LFMCW 信号模型为：

式中：Am为信号幅度；φm为随机初相；fm为初始频率；gm为调频率；Tm为调制周期；τm为时延；M为信号数目；Td表示观测时间。在PFRFT 域内，分辨多个能量相近、参数相近的LFMCW 信号，由于能量谱的叠加，会导致多个信号尖峰重叠无法分辨。

4 量纲归一化因子的选取

由量纲归一化后的调频率、初始频率、最佳旋转角度和最大值坐标的关系式（7）可知，在离散PFRFT 计算条件下，sr的尖峰与sl的尖峰在p轴上的距离为：

在轴上的距离为：

由式（16）、式（17）可知，两个尖峰的距离受归一化因子s影响。下面仿真分析两个信号尖峰之间的距离随s的变化关系。当fr=20 Hz、fl=22 Hz、gr=20 Hz/s 与gl=24 Hz/s 时，ΔRp与ΔRu随s=(Td/fs)1/2的变化曲线如图1 所示。

图1 两个信号尖峰在轴和p 轴上的距离随s 的变化

由图1 可知：

何东出的这档子事儿，让本来就心不甘情不愿去相亲的何西更有理了，他去找老爸商量，希望能找个理由把明天的相亲给推了，没想到老爸不买这帐。何西只好试着以理服爸：“爸，咱能与时俱进吗，二十一世纪都过去十年了，咱能不包办吗？”

（1）两个LFMCW 信号在轴和p轴上的尖峰距离与s取值有关，并且能在某个s处取得极大值；

（2）两个信号的尖峰在轴上的距离随s变化的动态范围比在p轴上的动态范围要大得多；

（3）两个信号尖峰在轴和p轴上的距离随着s的变化不能同时取得最大值。

在实际操作中，只要满足采样定理，就可以通过量纲归一化因子的合理选择，增大两个信号在参数(p,)平面上的距离ΔR，进而达到分辨两个信号的目的。当ΔR最大时，分辨能力达到最佳，即为：

因此当两个信号无法分辨时，可以选择一个合理的量纲归一化因子s=(Td/fs)1/2，尽可能地扩大ΔR，实现信号分辨。

仍以上述仿真数据为例，对信号幅度为的sr与sl，验证选择量纲归一化因子s=(Td/fs)1/2对信号的分辨效果。对前面的仿真数据：取Td=4 s，fs=1 000 Hz，调制周期数n=4 时，s=(Td/fs)1/2=0.063 2，两个信号在(T=1,τ=0)处的三维分布切片如图2 所示。当Td=4 s，fs=200 Hz，n=4 时，s=(Td/fs)1/2=0.141 4，两个信号在(T=1,τ=0)处的三维分布切片如图3 所示。

图2 s=0.063 2 时，信号的PFRFT 三维切片

比较图2 和图3 可以看出，在图2 中两个信号混杂在一起无法分辨，图3 中通过增大量纲归一化因子s使两个信号尖峰的距离增大，从而使两个信号得以分辨，也证明了图1 中距离变化曲线的合理性。由此可知，两个LFMCW 信号的临界分辨距离与信号的调频率、初始频率、观测时间、采样频率和调频周期数有关，同时受到量纲归一化因子的影响。由于接收信号的调频率、初始频率和调频周期数不受控制，而本文采取量纲归一化因子为s=(Td/fs)1/2，因此在不破坏信号采样定理的情况下，可以通过合理选择采样时间和采样频率，增大信号尖峰距离，提高PFRFT 对多个LFMCW 信号的分辨效果。

图3 s=0.141 4 信号的PFRFT 三维切片

5 结语

本文立足于LFMCW 信号在PFRFT 域的频谱分布特的分析，推导了LFMCW 信号在离散PFRFT 计算条件下的近似能量谱，研究了多分量LFMCW 信号在PFRFT 域的分辨问题。通过研究发现临界分辨距离与信号的调频率、初始频率、观测时间、采样频率和调频周期数以及量纲归一化因子有关。研究成果丰富了多分量LFMCW 检测估计分离理论。