中考探究题解读

陆小燕

通过探究得到发现，在验证发现正确性的基础上进行拓展应用，是近年来中考的热点题型.现通过典型中考题说明这类问题的特点与解法.

例1（2020·贵州·黔东南）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形.

（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明;若不全等，请说明理由.

（2）若[B]，[C]，[E]三点不在一条直线上，[∠ADC=30°]，[AD=3]，[CD=2]，求[BD]的长.

（3）若[B]，[C]，[E]三点在一条直线上（如图2），且[△ABC]和[△DCE]的边长分别为1和2，求[△ACD]的面积及[AD]的长.

分析：（1）用“SAS”证明即可;（2）由（1）可得[BD=AE]，用勾股定理得[AE]的长，即得[BD]的长;（3）如图2，作[AF⊥CD]于[F]，易得[∠ACD=60°]，由含30°角直角三角形性质得[AF]和CF的长，进而得[△ACD]的面积和[AD]的长.

解：（1）全等. ∵[△ABC]和[△DCE]都是等边三角形，∴[AC=BC]，[DC=EC]，[∠ACB=∠DCE=60°]，∴∠ACE =∠BCD， ∴[△ACE≌△BCD]（[SAS]）.

（2）由（1）可得BD = AE.∵[△DCE]是等边三角形，∴[∠CDE=60°]，[DE=CD=2].∵[∠ADC=30°]，∴∠ADE = 90°. 又∵[AD=3]，由勾股定理可得AE = [13]， [∴BD=13].

（3）如图2，过[A]作[AF⊥CD]于[F]，[∵B]，[C]，[E]三点在一条直线上，[△ABC]和[△DCE]都是等边三角形，∴[∠BCA] = [∠DCE=60°]，∴[∠ACD=60°]，∠CAF = 30°.∵AC = 1，∴CF = [12]，AF = [32]，∴S△ACD= [12]CD × AF = [32]. 由勾股定理得AD =[ 3].

点评：本题是与三角形相关的综合题，解题关键是通过探究发现[△BCD]与[△ACE]全等得到AE =BD，并灵活运用它来解决拓展问题.

例2（2020·山东·德州）问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图3，△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围. 她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED ≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：（1）小红证明△BED ≌△CAD的判定定理是： .

（2）AD的取值范围是 .

方法运用：

（3）如图4，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC.

（4）如图5，在矩形ABCD中，[ABBC]=[12]，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且[EFBE] = [12]，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG =CG.

分析：（1）用“SAS”可判定△BED ≌△CAD;（2）利用（1）中的探究，发现有BE=AC=4，则问题即可转换为改求2AD即AE的取值范围，在△ABE中，用三角形三边关系定理即可得解;（3）如图6，运用前面得到的“倍长中线”的方法，延长AD至H，使AD=DH，连接BH，则△ADC ≌△HDB，得到AC=BH，再证BF=BH即可;（4）从另一个角度看，图3又是以BD为中线构造△ABE，运用这种方法，在图5中延长CG至N，使NG=CG，连接EN，CE，NF（如图7），即可找到解决问题的途径.

[A][C][D][B][E] [A][E][C][D][B][F] [A][G][D][F][E][B][C]

图3                                              图4                                           图5

解：（1）SAS.（2）1

（3）如图6，延长AD至H，使AD=DH，连接BH.

易证△ADC ≌△HDB（SAS），∴AC=BH，∠CAD=∠H. ∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE，∴∠H=∠BFH，∴BF=BH，∴AC=BF.

（4）如图7，延长CG至N，使NG=CG，连接EN，CE，NF. ∵点G是DF的中点，∴DG=GF.又∵∠NGF=∠DGC，CG=NG，∴△NGF ≌△CGD（SAS），∴NF=CD，∠NFG=∠CDB.∵[ABAD=ABBC=12]，[EFBE=12]，∴tan∠ADB= [12]，tan∠EBF= [12]，∴∠ADB=∠EBF.∵AD[?]BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠EBF=∠DBC，∴∠EBC=2∠DBC.∵∠EBF + ∠EFB=90°，∠DBC+∠BDC=90°，∴∠EFB=∠BDC=∠NFG，∵∠EBF + ∠EFB + ∠DBC + ∠BDC=180°，∴2∠DBC + ∠EFB + ∠NFG=180°. 又∵∠NFG + ∠BFE + ∠EFN=180°，∴∠EFN=2∠DBC，∴∠EBC=∠EFN.∵[ABBC=CDBC=12=EFBE]，且CD=NF，∴[BEBC=EFNF]，∴△BEC ∽△FEN，∴∠BEC=∠FEN，∴∠NEC=∠BEF=90°，又∵CG=NG，∴EG=[12]NC，∴EG=GC.

点评：本题在问题探究中，发现了两种添加辅助线的方法：一是倍长中线，二是构造以某条线段为中线的三角形. 然后应用这两种方法解决了拓展问题.

（作者单位：江苏省兴化市板桥初级中学）