广东3+1+2新高考模式与数学核心素养视域下数学课堂的“同课异构”

朱伯举

【摘要】广东试行的“3+1+2”新高考模式后，选考物理与选考历史的学生在高中数学的学习中要面临相同的内容.从高中数学核心素养的视角来看，两类学生的培养目标也是基本一致的.本文主要通过课堂教学片段，探讨广东“3+1+2”新高考模式下物理类与历史类学生数学课堂教学设计的异同.

【关键词】新高考;数学核心素养;同课异构

本文讨论的“同课异构”与传统意义上的“同课异构”不太一样，本文的“同课异构”是指在广东“3+1+2”新高考模式下，在面对相同的数学学习内容的情况下，在相同的高中数学核心素养培养目標下，教师针对选考物理与选考历史的两类学生的特点对课堂教学进行“同课异构”，使教学达到殊途同归的效果.笔者认为，在当前新高考模式下，这是值得我们思考的一个问题.下面笔者以高中数学必修5第二章第3.3节“等比数列的前n项和”中的两个教学片段为例，浅谈一些想法.

【片段一】

根据课本中“国际象棋”问题进行情境创设，我们得到：

1+2+22+…+263.（1）

师：这是一个等比数列求和问题，解决等比数列求和问题时能不能利用公式来解决呢？公式如何推导？

师：推导公式前，我们先看如下问题.棋盘的64个方格上，第1格放2粒小麦，第2格放4粒，第3格放8粒，往后每一格放小麦的数量都是前一格的2倍，直到第64格，现在要多少粒小麦？

很多同学不约而同地写出：2+22+23+…+264.（2）

师：现在请同学一起观察式子（1）与（2），它们有什么特点与联系？

师：这两个式子都是项数为64项而且公比为2的等比数列的和，而且（2）式是（1）式的2倍.我们

记：S=1+2+22+…+263，（3）

则2S=2+22+23+…+264.（4）

现在相当于利用上面两个方程求S，你有什么好的办法吗？

不难想到，（4）-（3），得S=264-1.

师：（4）式中的第1项到第63项分别是（3）式中的第2项到第64项，两式相减，这些项都抵消了，这里体现了方程思想.

师：再看如下问题，棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放q粒，第三格放q2粒，往后每一格放小麦的数量都是前一格的q倍，直至第64格，这回需要多少粒小麦？

有了前面的铺垫，不少学生都会得到下面的过程和结果：

S=1+q+q2+…+q63，（5）

qS=q+q2+…+q63+q64，（6）

由（5）-（6），得（1-q）S=1-q64，即S=1-q641-q.

类比前面的方法，我们很容易求出了（5）式的值，其思想也是构造出一个（6）式，然后错位相减.但是要注意一点：q=1这一特殊情况对于S=1-q641-q是否也适用？该如何解决该问题？

学生通过讨论得出：当q≠1时，S=1-q641-q;当q=1时，该数列为常数列，S=64.

上面求等比数列的和的方法其实就是“错位相减法”.笔者在渗透类比思想时提出以下问题：

设Sn为等比数列{an}的前n项和，则Sn=a1+a2+a3+…+an，那么Sn的公式怎么推导？上面所用的“错位相减法”对你是否有所启发？

在上面的引导下，不少学生完成了以下推导：

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，（7）

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，（8）

（7）-（8），得（1-q）Sn=a1-a1qn.

再讨论q是否等于1：当q≠1时，Sn=a1-a1qn1-q;当q=1时，该数列为常数列，S=na1.至此基本完成了等比数列前n项和公式的推导.

片段一通过问题的改编，给了学生一个解决问题的阶梯，或者说向学生渗透了一种解决问题的方法——类比法.

【片段二】

采用与片段一相同的情境创设，得到

1+2+22+…+263.（9）

师：这是一个等比数列求和问题.设Sn为等比数列{an}的前n项和，则Sn=a1+a2+a3+…+an，请探究Sn怎么求.

该片段直接从解决问题的本质出发：如何解决一般的等比数列求和问题？为了引导学生思考，笔者设置了如下思考问题.

（1）回顾等差数列前n项和公式的推导方法（倒序相加求和），它能用来推导等比数列前n项和公式吗？

（2）已知Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1），求Sn.

这是“等差数列求和”一课的课后练习题目，采用的方法是“裂项相消法”.

通过上面两个问题，可以看出，求和的本质就是利用数列的结构特征或者利用数列的性质减少项数，从而达到化简的目的，这是思考等比数列求和公式的一个方向.故教师可以引领学生从解决数列求和问题的本质出发：消除差异，减少项数，而要做到这一点，就要充分利用数列项的结构特征或者数列本身的性质.学生领悟到这一点后，教师从旁给予适当引导，可能出现以下的解法.

解法一：“错位相减法”

根据等比数列的通项公式an=a1qn-1，得

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，（10）

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，（11）

（10）-（11），得（1-q）Sn=a1-a1qn.

再引导学生，讨论q是否等于1，可得：当q≠1时，Sn=a1-a1qn1-q;当q=1时，该数列为常数列，S=na1.