浅谈条件的充分性与必要性

王晔平

【摘要】充分性和必要性是一个很重要的数学概念，给数学解题提供了一个很好的手段和方法，也在中学数学中的代数、三角、几何以及高等数学中经常出现.如何判断是充分条件还是必要条件，要着重抓住充要条件.充要条件实际上是等价条件，但很多学生做题时，只讲究充分性或必要性，容易造成错解或漏解.下面通过几个例子来说明条件的充分性和必要性的判断技巧，使学生有效掌握这一内容.

【关键词】中学数学;条件问题;充分与必要

条件的充分性与必要性是数学中的重要概念之一，它在中学数学中的代数、三角、几何以及高等数学中经常出现.但学生对条件是充分的、必要的还是充要的不知如何加以判断，为什么会出现这种情况？原因是学生对概念没有掌握.在现行中学教材中对有关条件的充分性与必要性的认识不够系统，有关理论掌握得不够完整，再加上教材中没有具体的判断方法与步骤.本文对充要条件以及和充要条件有关的命题、命题的四种形式、条件的充分性与必要性的判断方法等内容进行粗浅的讨论.

一、命 题

定义：具有判断形式的句子叫作命题.

所谓判断形式的句子就是要有肯定或否定形式的语气.如，我们常说的“若两个角是对顶角，则这两个角相等”，这就是用肯定的语气叙述的一个命题，它包含了两部分，“若……，则……”.这里若是条件，则是结论.也就是说命题是由具有条件和结论的条件句所组成，可表示为“若A，则B”的形式，这里A是条件，B是结论.上例叙述的语气是肯定形式的语气，还可以用否定形式的语气来叙述就得到另一个命题.如“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，这便是一个用否定形式的语气叙述的命题，可记为“若A，则B”的形式，它对前一命题来说是否命题，再将它们的条件和结论交换位置又可得到两个命题.因此命题有四种形式，如下图.

命题的基本性质是它要么是真，要么是假，不能同时是真又是假.由命题的基本性质知道命题又有真假之分.如“若两个角是对顶角，则这两个角相等”，这一命题是正确的.但“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，这一命题显然不正确.“若两角相等，则这两个是对顶角”也不正确.但“若两个角不相等，则这两角不是对顶角”是正确的.又如，若天下雨，则地下濕;若地下湿，则天下雨;若天不下雨，则地下不湿;若地下不湿，则天不下雨.原命题是真的，但是逆命题不真.因为不下雨，地也可能湿，比如，水库放水灌溉土地.否命题也不真，因为不下雨，地也可能湿.但逆否命题是真的，因为如果地不湿，那么是不会下过雨的.从上面的例子看出原命题的正确不能保证逆命题与否命题也正确，也就是对于它们的正确性还需要证明.但可从上例看出：若原命题是正确的，逆否命题也正确.下面我们证明互为逆否关系的两个命题同真或同假的结论.

已知：若A，则B.

求证：若B，则A.

证明：对于任何对象具有某条件或不具有某条件二者必居其一，即有A或不A必居其一（在逻辑学上称为排中律）.

若有A，则根据已知条件“若A，则B”，则有B，与题设若B矛盾.因而必然有A，即若B，则A.

同样可以证明，逆否命题成立时，原命题也成立.因为原命题是逆否命题的逆否命题.于是我们得出结论：原命题和逆否命题同真或同假.称它们为等价命题.同样也可证明逆命题和否命题也为等价命题.

二、条件的充分性与必要性

定义1：若A，则B成立，那么A是B的充分条件.

定义2：若A，则B成立（或若B，则A成立），那么A是B的必要条件.

定义3：若A，则B成立，同时若A，则B也成立，那么A是B的充分必要条件（简称充要条件）.

例如，“若两个角是对顶角，则这两个角相等”.这里两个角是对顶角，是两个角相等的充分条件，即条件具备时结论一定成立.也就是对顶角的条件是以保证两个角相等.另外，“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”，这里把两个角相等的条件去掉，则这两个角不可能是对顶角.也就是两个角相等是两个角是对顶角的必要条件，即条件不具备时结论一定不成立.

又如，“若b2-4ac=0，则实系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根相等”，这里b2-4ac=0的条件保证了方程ax2+bx+c=0的根相等这一事件的成立.所以b2-4ac=0是这一事件的充分条件;若没有这个条件，显然方程的两个根也不可能相等.所以，这个条件又是这一事件的必要条件，因此，这个条件便是充要条件.

三、条件的充分性与必要性的判断

我们所谓的充分条件指的是条件是充分的但非必要的这样的条件，换句话说，对于结论来说是有了它一定行，没有它不一定不行，也就是说“有则必然，无则不必然”，或者“有它行，没它也行”这样的条件.其具体判断方法是先把所要判断的事件写成“若A，则B”的命题形式后要考虑“若A，则B”真，但“若B，则A”不真，则可得出A是B的充分条件.当然也可考虑其他的等价命题.如，“若两个角是对顶角，则这两个角相等”真，但“若两个角相等，则这两个角是对顶角”不真，便可得出“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分条件.

我们所谓的必要条件指条件是必要但非充分这样的条件，换句话说，对于结论来说有了它不一定成立，而没有它却一定不成立，也就是说“有则不必然，无则必不然”，或者说“有它不够，没它不行”这样的条件.其具体判断方法是先把所要判断的事件写成“若A，则B”的命题形式后要考虑“若A，则B”不真，但“若B，则A”真，则可得出A是B的必要条件.同样，也可考虑其他的等价命题.如，“若两个角相等，则这两个角是对顶角”不真，但“若两个角是对顶角，则这两个角相等”是正确的.便可得出“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件.两个角相等不一定是对顶角，但两个角不相等却一定不是对顶角.

我们所谓的充要条件指的条件是既充分又必要这样的条件，对于结论来说有了它一定成立，而没有它一定不成立，也就是“有则必然，无则必不然”或者“有它就行，没它就不行”这样的条件.其具体判断方法也是先把要判断的事件写成“若A，则B”的命题形式后考虑原命题和逆命题都真，便可得出A是B的充要条件，同样B也是A的充要条件.如，b2-4ac=0是实系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）有相等根的充要条件.