差分序列空间lp上Wigner’s定理的证明

赵顺心

【摘要】Wigners 定理：任何对称变换都可以由复Hilbert空间上的线性和酉或反线性和反酉的算子来表示.关于赋范空间上该定理的证明已经相对完善.如果满映射f满足函数方程

{‖f（x）+f（y）‖，‖f（x）-f（y）‖}={‖x+y‖，‖x-y‖}（x，y∈X），（1）

我们称其是满足相位等距的.本文是将X限定为lp差分序列空间，证明存在这样的相位函数使得满足相位等距的条件可以相位等价于一个线性映射.

【关键词】Wigners定理，相位等价，线性等距

一、引 言

在物理量子力学的研究中，Wigners定理的运用起着基础性作用.事实上，关于Wigners定理的严格性详细证明并不是由Wigner自己给出的，第一次关于该定理的证明是1960年Lemout在文献[2]中给出的;1990年，Sharma和Almeida在文献[3]中关于定义在内积空间上的双射给出了基本的Wigners定理的证明.最近，关于非双射的Wigners定理的简短证明在文献[5]中给出.

X，Y作为赋范空间，如果映射f满足下面等式

‖f（x）-f（y）‖=‖x-y‖（x，y∈X），

那么映射f是等距的.在文献[6]中MazurUlam定理推导证明在X，Y空间中每一个满等距都是一个仿射.如果存在一个函數λ：X→{-1，1}，使得λf是线性等距的，我们称映射f：X→Y是相位等价于一个线性等距的，在内积空间中证得上述命题是成立的.2012年，Maksa和Páles在文献[4]中证明了映射f在实内积空间中满足下面条件

{‖f（x）+f（y）‖，‖f（x）-f（y）‖}={‖x+y‖，‖x-y‖}（x，y∈X）

的解，但是，如果X和Y是其他的赋范空间或者赋准范空间呢？谭和黄在文献[1]中关于lp空间给出了肯定回答.在这篇文章中，我们主要是在lp差分序列空间上研究该结果，最后证得在该空间上能够使得满映射相位等价于一个线性等距映射，这也可以看作 lp空间上Wigners定理的推广形式.

【参考文献】

[1]D.N.Tan.Wigners theorem in atomic Lpspaces （p>0）[M].2017.

[2]J.S.Lomont，P.Mendelson，The Wigner unitrayantiunitary theorem，Ann[M].Math，1963（78）：548-559.

[3]C.S.Sharma，D.F.Almeida，A direct proof of Wigners theorem on maps which preserve transition probabilities between pure states of quantum systems[M].Annals of Physics，1990（02）：300-309.

[4]G.Maksa，Z.Páles.Wigners theorem revisited[M].Publ.Math.Debrecen，2012，81（1-2）：243-249.

[5]M.Gyory.A new proof of Wigners theorem[M].Rep.Math.Phys，2004（54）：159-167.

[6]S.Mazur，S.Ulam.Surles transformations isometriques despaces vectoriels normes[M].C.R.Math.Acad.Sci.Paris，1932.

[7]R.E.Powell，S.M.Shah.Summability Theory and Its Applications[M].Van Nostrand Reinhold Company，London，1972.