等价无穷小代换中含加减因式求极限的思考

徐清华 王瑞星 赵清波 吴克坚 刘烁

【摘要】本文用泰勒公式讨论了加减因式不可以直接使用等价无穷小替换的原因，并给出加减因式使用等价无穷小替换应满足的条件.

【关键词】等价无穷小;函数极限;泰勒公式

在高等数学00型不定式求极限的众多方法中，等价无穷小代换无疑是个很好的工具，它在很大程度上简化了极限的运算，再结合洛必达法则，往往能达到事半功倍的效果.但对于初学者来说，在使用等价无穷小代换求极限时很容易出错.在目前使用的教材[1][2]中，都是直接给出乘除因式用等价无穷小代换的定理（本文中以引理叙述），并用例子指出加减因式不可以直接使用等价无穷小代换.但是为什么加减因式不可以用无穷小代换，在什么情况下可以使用却没有进一步解释.这让很多爱思考的学生特别困惑.文献[3][4][5]中都提出了加减因式在满足条件：加减项不是等价无穷小时，可以使用等价无穷小代换.但对为什么不可以直接用无穷小代换都没有给出解释.本文从泰勒公式的角度分析了原因，并且重新证明了加减因式使用等价无穷小代换的定理.

引理[1] 设在自变量的同一变化过程中，f1（x）～g1（x），f2（x）～g2（x），且limg1（x）g2（x）存在，则有limf1（x）f2（x）=limg1（x）g2（x）.

例1 求极限limx→0tan x-sin xsin 32x.

错解 当x→0时，tan x～x，sin x～x，所以

limx→0tan x-sin xsin 32x=limx→0x-xsin 32x=0.

上述的错误解法对于初学者来说经常会遇到.错误原因在于，当x→0时，错误使用了上述引理，认为tan x-sin x～x-x，事实上，tan x-sin x～12x3.例1的正确解法是：

解 当x→0时，tan x～x，sin 2x～2x，1-cos x～12x2，

tan x-sin x=tan x（1-cos x）～12x3，所以limx→0tan x-sin xsin 32x=limx→012x3（2x）3=116.

从上面例子中可以看出，求00型函数极限时，乘除因式可以直接应用等价无穷小代换来计算，但是加减因式不可以直接使用无穷小代换，要先转换为乘积形式才可以使用，也就是分子、分母要整体代换.下面利用泰勒公式分析其原因.

定理1[2] （泰勒中值定理）如果函数f（x）在x0处具有n阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任意x，有

f（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+o（x-x0）n.

上面展开式称为n阶泰勒公式.当x0=0时，也称为n阶麦克劳林公式：f（x）=f（0）+f ′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn）.

按照上述公式，函数sin x，tan x在x0=0时的泰勒展开式为

sin x=x-x33！+x55！+o（x5），tan x=x+x33+2x515+o（x5）.

当x→0时，函数的泰勒展开式中起决定作用的是第一项，即x的一次幂，其余都看作x的高阶无穷小.于是就有当x→0时，sin x～x，tan x～x.因此，等价无穷小其实是泰勒展开式在x→0时的简化情形，只取了泰勒展开式的第一项，后面都被当作高阶无穷小忽略了.但是，当两个函数进行加减运算后，会导致这两个函数泰勒展开式中第一项的抵消，例如，tan x-sin x=x+x33+2x515+o（x5）-x-x33！+x55！+o（x5）=x32+o（x3）.

从上式可以看出，函数sin x和tan x的泰勒展开式相减后，原来起决定作用的第一项被抵消了，这时候如果依然把后面的展开项当作高阶无穷小忽略，就会产生原则性错误，如上述例1中tan x-sin x～x-x就是这样的原因产生的错误.事实上，当sin x和tan x泰勒展开式的第一项被抵消后，后一项x3开始起决定作用.因此，当x→0时，tan x-sin x～12x3.

那么什么时候加减因式可以使用等价无穷小代换呢？我们有下面的定理.

定理2 设在自变量的同一变化过程中，f1（x）～g1（x），f2（x）～g2（x），且limg1（x）g2（x）存在，limh（x）=0.

若 limf1（x）f2（x）存在且不为1，并且limg1（x）-g2（x）h（x）存在，则

limf1（x）-f2（x）h（x）=limg1（x）-g2（x）h（x）.

若 limf1（x）f2（x）极限存在且不为-1，并且limg1（x）+g2（x）h（x）存在，则

limf1（x）+f2（x）h（x）=limg1（x）+g2（x）h（x）.

证明 当limf1（x）f2（x）极限存在且不为1时，

limf1（x）-f2（x）h（x）=limf1（x）-f2（x）g1（x）-g2（x）·g1（x）-g2（x）h（x）

=limx→x0f2（x）f1（x）f2（x）-1g2（x）g1（x）g2（x）-1·g1（x）-g2（x）h（x）

=limf2（x）g2（x）·limf1（x）f2（x）-1g1（x）g2（x）-1·limg1（x）-g2（x）h（x）.

由引理有limf1（x）f2（x）=limg1（x）g2（x），于是有

limf1（x）-f2（x）h（x）=limg1（x）-g2（x）h（x）.

類似地，可证明limf1（x）f2（x）极限存在且不为-1的情形.

定理2表明，加减因式可以使用等价无穷小代换，但是要满足一定的条件.这也可以从泰勒展开式的角度来进一步解释，当limf1（x）f2（x）≠1时，函数f1（x）与f2（x）的泰勒展开式的第一项不相同，两个函数相减没有消掉泰勒展开式的第一项，所以有f1（x）-f2（x）～g1（x）-g2（x）.同样，当limx→x0f1（x）f2（x）≠-1时，函数f1（x）与f2（x）的泰勒展开式的第一项不互为相反数，两个函数相加没有消掉泰勒展开式的第一项，因此，f1（x）+f2（x）～g1（x）+g2（x）.

上述例1中，由于limx→0tan xsin x=1，不满足定理2的条件，所以不能直接使用等价无穷小代换.

例2 求极限limx→0tan 2x-sin xx.

解 当x→0时，tan 2x～2x，sin x～x，且limx→0tan 2xsin x=limx→02xx=2≠1，所以由定理2有，limx→0tan 2x-sin xx=limx→02x-xx=1.

例3 求极限limx→0arcsin 3x2-2x23x2+sin 2x2.

解 当x→0时，arcsin 3x2～3x2，sin 2x2～2x2，且limx→0arcsin 3x22x2=limx→03x22x2≠1，

limx→0sin 2x23x2=limx→02x23x2≠1，所以由定理2，

limx→0arcsin 3x2-2x23x2+sin 2x2=limx→03x2-2x23x2+2x2=15.

在现行的教材中，为了避免使用错误，直接规定：使用等价无穷小代换计算00型极限时，必须是分子或者分母整体代换，加减因式必须转换为乘积形式才可以代换.这样的规定让学生感到困惑，如果有了定理2，学生的困惑就会迎刃而解.另外，像上述例3，分子或者分母都很难转换为乘积形式，如果使用洛必达法则，计算则很烦琐.但是，如果使用定理2的结论，类似例3这样的极限问题的计算就会简便很多.因此，在实际教学中，可以把定理2的结论引入课堂，给学有余力的同学更多思考的空间，让不定式的极限计算更加简便.

【参考文献】

[1]赵清波.医用高等数学：第3版[M].西安：第四军医大学出版社，2014.

[2]同济大学数学系.高等数学：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]赵琼.用等价无穷小代换求极限的两个误区[J].高等数学研究，2009（05）：17-18，21.

[4]郭欣红.等价无穷小代换在含有和差运算式中的应用[J].北京工业职业技术学院学报，2018（03）：26-29.

[5]冉金花.用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨[J].科技资讯，2019（27）：222-223.