基于拓扑降耦的3T1R并联机构设计与运动学特性分析

沈惠平 顾晓阳 李 菊 邓嘉鸣

(常州大学现代机构学研究中心， 常州 213016)

0 引言

并联机构(Parallel mechanism，PM)一般为多回路空间机构，回路间存在耦合性，这种耦合性给运动学、动力学分析和运动控制带来不便。因此，当机构具有符号式位置正解/具有运动解耦性时，其运动学、动力学分析求解简单，且可简化控制和轨迹规划问题。

具有三平移一转动(3T1R)的并联机器人具有工作空间大、成本低等特点，在制造业中应用比较广泛。但其结构复杂、运动耦合性强，为此国内外学者对3T1R并联机构进行了新机型的设计、评估与优化。文献[1-3]设计了一类由定平台、4条支链和双动平台组成的SCARA运动并联机构；文献[4-6]设计了H4、Heli4、Par4等系列四自由度3T1R并联操作手；文献[7-8]提出了2种具有Schoenflies运动的四自由度解耦并联机构；文献[9-11]对四自由度并联机构进行了运动学分析；杨桂林等[12]提出一种4PPa-2PaR并联机构，并对其进行了优化；YANG等[13]基于有限螺旋理论提出一种3T1R变轴运动的并联翼型结构的递阶综合方法；杭鲁滨等[14]设计了一种新型三平移一转动解耦并联机构；莫徽君等[15]基于螺旋理论构建了一种新型四自由度完全解耦并联机构；赵铁石等[16]提出一种空间4-URU并联机构；黄田等[17]将移动副代替螺旋副设计了新型无装配间隙的并联机构；贾凯凯等[18]提出一种具有空间SCARA运动的四自由度并联机构；赵铁石等[19]基于螺旋理论提出一种混合型空间并联平台机构。

本文设计一种低耦合度(k=1)的3T1R并联机构，在拓扑分析的基础上，根据机构降耦原理[20-21]对该机构进行拓扑优化，得到耦合度为零、但基本功能(DOF、POC)及部分运动解耦性不变的优化机构，通过对该优化机构进行运动学分析(符号式位置正逆解求解、奇异位置、工作空间)，以期得到该优化机构的运动特性。

1 机构设计与拓扑分析

1.1 机构设计

根据基于方位特征(Position and orientation characteristic，POC)方程的并联机构拓扑设计方法[22-23]，设计的三平移一转动(3T1R)并联机构如图1所示。该机构由静平台0、动平台1和3条支链(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)组成。

其中，支链Ⅰ为混合支链(Hybrid single-open-chain，HSOC)，包含由移动副P1和4个转动副的平行四边形(Ra1-Rb1-Rc1-Rd1)串联组成的运动平面分支，记作P1-Pa；该分支的平动输出杆2，又与移动副P2及2个平行轴线的转动副R1、转动副R2串联组成的分支，即P2‖R1‖R2，构成一个平面机构；显然，该平面机构的输出杆2的输出运动为两维平移；进一步，在输出杆2上又串联2个平行轴线的转动副R3、R4，这样构成了混合支链Ⅰ，转动副R4再与动平台1相连。

易知，混合支链Ⅰ末端构件(即动平台1的一部分)的POC集为三平移以及绕R4轴线的一维转动。

但由于机构自由度为4，因此，再设计2条无约束支链，即取支链Ⅱ、Ⅲ分别为无约束支链P3-S1-S3、P4-S2-S4，且移动副P3、P4共线，平行于P1、P2。

1.2 机构拓扑分析

1.2.1方位特征(POC)计算

串、并联机构的POC方程为[23-24]

(1)

(2)

式中MJi——第i个运动副的POC集

Mbi——第i条支链末端的POC集

MPa——机构动平台的POC集

支链的拓扑结构为：混合支链Ⅰ(HSOC1)由1条等效支链{P1-Pa}与支链{P2‖R1‖R2}形成子并联机构后，再串联{R3‖R4}组成。支链Ⅱ、Ⅲ 的拓扑结构为：SOCⅡ：{P3-S1-S3}、SOCⅢ：{P4-S2-S4}。

子并联机构POC集由P1-Pa分支、P2‖R1‖R2分支的POC作“交”运算而得，即由式(1)得

再串联{R3‖R4}后，由式(2)得HSOC的POC集为

由式(2)得支链Ⅱ、Ⅲ的POC集

由式(1)得

因此，动平台1具有3个移动和1个转动(绕转动副R4轴线)的运动输出特性。

1.2.2自由度(DOF)计算

并联机构的通用DOF公式[23-24]为

(3)

(4)

v=m+n-1

式中F——机构自由度

fi——第i个运动副的自由度

m——运动副数

v——独立回路数n——构件数

ξLj——第j个独立回路的独立位移方程数

Mb(j+1)——前j+1条支链末端构件的POC集

由等效支链{P1-Pa}和支链{P2‖R1‖R2}组成第1个平面回路(子并联机构)，显然，其独立位移方程数ξL1=3。

由式(3)得由第1个回路构成的子并联机构的自由度

第2回路由上述子并联机构和支链Ⅱ或Ⅲ组成，如第2回路取为{R3‖R4-S3-S1-P3}，则第3个回路由支链{P4-S2-S4}组成，显然，ξL2=ξL3=6。

由式(3)得该机构自由度为

因此，当取静平台0上的4个移动副P1、P2、P3、P4为主动副时，动平台1可实现3个移动和1个转动(绕转动副R4轴线)的运动输出。

1.2.3耦合度κ计算

由基于序单开链SOC单元的机构组成原理可知，任一机构可分解为一系列有序单开链，第j个SOCj的约束度为

(5)

式中mj——第j个SOCj的运动副数

fi——第i个运动副的自由度(不含局部自由度)

Ij——第j个SOCj的 驱动副数

一组有序的v个SOC可分解为若干个最小的子运动链(Sub-kinematics chain，SKC)，而SKC仅含1个零自由度的独立回路数为v的基本运动链(Basic kinematics chain，BKC)。

而SKC的耦合度为

(6)

显然，由第1个回路构成第1个SKC，即SKC1，由式(6)得其耦合度κ1=0，其位置可独立求解。

由第2、3个回路构成第2个SKC，即SKC2，由式(6)得其耦合度κ2为

这样，该机构包含2个SKC，即SKC1、SKC2，机构耦合度为κ=1。

因驱动副P1、P2位于SKC1，而驱动副P3、P4位于SKC2，因此，该机构具有部分运动解耦性。

同时表明，SKC2的位置须由第2、3回路联立求解，即须在第2回路上设定1个虚拟变量，在第3回路上建立1个位置约束方程，可通过一维搜索法求出数值解。

但数值型位置正解，不利于该机构后续的尺度优化、误差分析及动力学分析，为此，对其进行拓扑降耦优化设计，即在基本功能(DOF、POC)以及部分运动解耦性不变的情况下，使其耦合度κ=0并具有符号式位置正解。

1.3 机构拓扑降耦设计和分析

根据并联机构拓扑降耦原理中的“动平台上转动副/球副的重合法”[25]，将动平台1上支链Ⅱ、Ⅲ中的球副S3、S4合并，这样，原Ⅱ、Ⅲ支链合并成为1条混合支链Ⅱ，它由3个球副和2个移动副(3S-2P)组成一个空间五杆机构，再串联一个球副S4组成，即混合支链Ⅱ通过S4与动平台1相连，得到拓扑优化机构如图2所示。

拓扑降耦后，动平台1一端R4处的连接方式可采用两铰链同转动轴线的结构，如图3所示。动平台1仍具有以R41、R42、S4为3点的平面连接方式，机构仍具有较好的稳定性；同时，拓扑降耦后，该类机构的刚度会有提高[21]。

因该机构的4个驱动副均为移动副，当导轨长度扩大时，操作工作空间也会随之扩大，即基于该机构的机器人操作手不仅适用于小范围内的三平移一转动(如抓取、喷涂)等精密操作(当4个移动副取不同的速度时)，也能用于沿导轨方向的大范围内的一维移动(如工件搬运、传输等)运动输出(当4个移动副取相同速度时)，因此，具有潜在的应用前景。

现证明这种拓扑优化可使机构的基本功能(POC、DOF)不变，但耦合度从1降为0，从而具有符号式位置正解，且仍具有部分运动解耦性。

1.3.1方位特征计算

可见，拓扑降耦设计后，混合支链Ⅰ保持不变，因此，以下仅对混合支链Ⅱ作POC分析。

显然，空间五杆机构(3S-2P)末端的POC为两平移一转动(绕S1S2连线)，而该转动产生一个沿平行于变边长S1S2的三角形平面S1S2S3法线的移动，因此，混合支链Ⅱ(HSOC2)的拓扑结构，可等效表示为HSOC2{(R-P-P)-S4}。显然，由式(2)可得POC集为

于是，动平台1的POC集，由式(1)得

可见，动平台1仍具有3个移动和1个转动(绕转动副R4轴线)的运动输出特性。

1.3.2自由度计算

第1个回路同前，仍为2-DOF两平移并联机构，其独立位移方程数ξL1=3。

如图4所示的3S-2P空间五杆机构中，S1S2之间的距离在运动过程中会发生变化，相当于存在1个虚拟的移动副Po作用，此外，还存在1个绕这2个球副连线S1S2的转动自由度R′(S1S2)，因此，可把球副S1、S2、S3视为1个变边长S1S2的整体三角形平面构件，而3-DOF球副S3的作用相当于转动轴线绕整体三角形S1S2S3平面法线的1-DOF转动副，而这个整体三角形平面构件的姿态要由第3回路(而不是第2回路)确定。

整体三角形平面构件转动R′(S1S2)的连线S1S2与动平台上的R4副轴线平行时，即使给定驱动副输入P3与P4，动平台1的运动也不能完全确定。因此，P3与P4所在的导轨应与P1与P2所在的导轨不平行；反之，应使P3S1与P4S2的长度取不同值。

显然，实际上，第2回路应为平面机构{P3-S1-Po-S2-P4}，其中，3-DOF球副S3可用1-DOF转动副替代(S3的其余2个DOF均为消极自由度)；而3-DOF球副S1、S2各相当于2-DOF的虎克铰，即一个是绕三角形S1S2S3平面法线的转动；另一个是绕连线S1S2的转动，但它仅对第3回路有作用，对第2回路来说，它是局部自由度，不应计入(其余的1个DOF为消极自由度)。

第2回路的独立位移方程数为ξL2=6，由式(3)可得其自由度为

FL2=8-6=2

第3回路由R3‖R4-S4-R′(S1S2)组成，记为{R3‖R4-S4-R′(S1S2)}，显然，ξL3=6。

由式(3)可得，该机构自由度为

可见，机构的自由度仍为4。因此，当静平台0上的4个移动副P1、P2、P3、P4为主动副时，动平台1仍可实现3个移动和1个转动的运动输出。

1.3.3耦合度计算

1.3.2节已计算出了3个回路的独立位移方程数，分别为ξL1=3，ξL2=ξL3=6，由式(5)得，它们的约束度分别为

因此，上述3个回路分别构成该机构的3个SKC，即SKC1、SKC2、SKC3，它们耦合度分别为k1=k2=k3=0，因此，该机构的符号式位置正解，可依次通过3个SKC位置的独立求解而求出。

同时，因驱动副P1、P2位于SKC1，而驱动副P3、P4位于SKC2，因此，机构具有的部分运动解耦性不变。

2 拓扑优化机构位置分析

2.1 基于拓扑特征的机构位置正解求解原理

由基于有序单开链的机构组成原理可知，机构可分解为若干个SKC，而每个SKC又可分解出约束度为正值、零、负值3种形式的单开链，因此，机构位置正解的求解，可转换为3种单开链回路的位置求解。对于本机构而言，3个SKC的耦合度均为零，即所有单开链的约束度为零，其运动具有确定性，即其位置正解能独立求出，因此，可直接求出其符号式解，从而求出整个机构的符号式位置正解。

2.2 机构坐标系建立和参数标注

建立机构的运动学模型如图5a所示，在静平台0上建立静坐标系OXYZ，且点O位于移动副P1、P2所在导轨的中点，X轴与导轨所在直线重合，Y轴与导轨所在直线垂直，Z轴由右手法则确定。

在动平台1上建立动坐标系O′X′Y′Z′。O′位于直线D2C4的中点，X′与直线D2C4垂直，Y′沿着直线D2C4方向，Z′由右手法则确定；动平台1的姿态角γ如图5b所示，即为Z轴正向和Z′轴正向之间的夹角。

该机构参数为：静平台0上两导轨之间的距离为a1，动平台D2C4的长度为a2，主动杆长A1B1=A2B2=A4B4=l1，A3B3=l7；平行四边形Pa副短边长度为2l2，长边长度为l3，C1D1长度为2l2，C2D1长度为l2，D1D2长度为l4，B4C3长度为l5，C3C4长度为l6，B3C3长度为l8。

设4个移动副与原点O在X轴方向上的距离分别为h1、h2、h3、h4，并且为方便计算，将B4C3与C4C3的夹角设为180°，即点B3、C3、C4在一条直线上。

2.3 机构正解求解

机构位置正解求解为：已知h1、h2、h3、h4，求动平台O′位置(x,y,z)及姿态角γ。

2.3.1SKC1的位置求解

图5的回路{A1-B1-C1-D1-C2-B2-A2}(即第1回路{P1-Pa-R2-R1-P2})中，易知A1=(h1,0,0)、A2=(h2,0,0)、B1=(h1,0,l1)、B2=(h2,0,l1)。

由机构拓扑结构可知：在X轴方向上，有XD2=XD1=XC4=x。

由1.2节可知，第1回路的运动为XOZ平面内的两维平移，则C1与C2的坐标分别为C1(XD1-2l2,0,ZD1)、C2(XD1+l2,0,ZD1)。

由几何约束条件B1C1=B2C2=l3，并求得：当h2-h1≠3l2时，点D1的坐标为

(7)

其中，ZD1舍去一值，因为会发生干涉。当h2-h1=3l2时，子并联机构发生奇异，失去Z轴方向的自由度，如图6所示。

2.3.2SKC2、SKC3的位置求解

对BKC2而言，即在第2回路{P3-S1-Po-S2-P4}(在A3-B3-B4-A4)中，易知，A3=(h3,a1,0)；A4=(h4,a1,0)；B3=(h3,a1,l7)；B4=(h4,a1,l1)。

由2个杆长约束条件B3C3=l8，B4C3=l5，解得

(8)

其中N=2(ZB3-ZB4)

由B4、C3、C4在同一直线，求得点C4坐标为

(9)

对SKC3而言，即在第3回路由R3‖R4-S4-R′(S1S2)(D1-D2-C4)中，由2个杆长条件D2C4=a2，D2D1=l4，可得点D2坐标为

其中

因此，动平台上O′的坐标为

(10)

此时，转角γ为

(11)

因此，该机构具有输入-输出部分解耦性。

2.4 位置逆解求解

已知动平台O′的坐标(x，y，z)以及姿态角γ，求解驱动副的行程h1、h2、h3、h4。

由杆长约束D2D1=l4可得

因此，点C1、C2的坐标分别为C1(x-2l2, 0,ZD1)、C2(x+l2, 0,ZD1)。

在SKC1中，由2个杆长约束B1C1=B2C2=l3，可求得移动副P1、P2的行程为

(12)

在BKC2中，易由点C4的坐标、式(9)求得点C3的坐标。

进一步，由2个杆长约束B3C3=l8，B4C3=l5，可求得P3、P4的行程h3、h4分别为

(13)

2.5 正逆解验证

设并联机构结构参数为l1=10 mm，l2=10 mm，l3=60 mm，l4=30 mm，l5=70 mm，l6=20 mm，l7=15 mm，l8=80 mm，a1=80 mm，a2=50 mm；取4个移动副的输入值分别为h1=-55.42 mm、h2=35.42 mm、h3=-49.46 mm、h4=19.01 mm

将上述参数代入式(7)～(11)，求得机构正解数值如表1所示。

表1 机构正解数值

将表1序号1数据代入式(12)、(13)，可得4组逆解，如表2所示。

表2 机构逆解数值

易知，表2中的第1组数据与机构设定的4个输入值一致，故验证了机构正逆解公式的正确性。

3 奇异位置分析

3.1 奇异性分析原理

Jpv=Jqw

(14)

其中

3.2 奇异性分析

当机构发生输入奇异时，机构的执行构件将失去某一方向的运动能力，一般发生此种情况是因为某个运动链达到了工作空间的边界。

此时，det(Jq)=0，从而得到矩阵Jq的行列式解的集合为

w={w1∪w2∪w3∪w4}

其中，wi={XCi=XBi}(i=1,2,3,4)，即点Ci与点Bi的X轴坐标相等；满足条件w1的三维CAD构型如图7所示。

当det(Jp)=0时，机构发生输出奇异，此时，当所有的主动件锁住时，机构仍可以产生局部运动，从而使输出产生不确定性。设

Jp=[e1e2e3e4]

为使det(Jp=0)，则有以下3种情况：

(1)存在2个向量线性相关

设ke1=e2(即e1、e2线性相关)，即满足k[f11f12f13f14]=[f21f22f23f24]，则能求出

即当B1C1‖B2C2时，表示2个向量线性相关，其中一位形如图8所示。

(2)存在3个向量线性相关

设e3=k1e1+k2e2，此时有

[f31f32f33f34]=k1[f11f12f13f14]+k2[f21f22f23f24]

通过Matlab计算表明，该种情况下，k1、k2无法算出，因此，此种情况不存在。

(3)综合奇异

此时，det(Jq)=det(Jp)=0，即输入奇异和输出奇异同时发生。这种奇异位形只有当上述第一、二类奇异同时发生时才会产生，此时，机构将失去原有的运动特性。

上述奇异性的分析，有利于样机调试时易于避开奇异位置，并进行轨迹规划与运动控制。

4 机构工作空间分析

并联机构的可达工作空间是指在考虑运动副转角范围、杆长不干涉情况下末端执行器的工作区域，它是衡量并联机器人性能的一个重要指标。目前，绝大多数学者基于位置逆解进行工作空间分析，该方法计算编程复杂、计算量大。本文提出基于符号式位置正解的工作空间分析方法，该方法计算简易、计算量小。

4.1 基于位置逆解的工作空间

基于极限边界搜索法的机构工作空间分析方法是：首先，根据杆长及大致的运动范围，估计设定包含工作空间在内的一个搜索范围(略大于杆件的活动范围即可)。

本文取-50 mm≤x≤50 mm、-50 mm≤y≤50 mm、30 mm≤z≤130 mm；然后，对逆解式(12)、(13)，用Matlab软件编程，得到该机构的三维工作空间，如图9所示。

其在xoy、yoz、xoz平面上的投影，如图10所示。

4.2 基于符号式位置正解的工作空间

因该优化机构具有符号式位置正解，可直接采用位置正解来计算工作空间，计算量更少、计算更准确。因此，对正解式(7)～(11)，用Matlab软件编程，直接求得该机构的工作空间，如图11所示。

取相同参数，其在xoy、yoz、xoz平面上的投影，如图12所示。

4.3 工作空间分析

由图9、11可知，用2种方法求得的工作空间一致；同一参量的(z，x，y)下，所对应的工作空间截面(xoy、yoz、xoz)大小基本相同。

用位置正解公式计算工作空间，较简单，计算量减少大约50%。

随着x轴向变化，工作空间变得越来越小，工作空间对于y轴的对称性较好。

5 结论

(1)3T1R并联机构仅由移动副和转动副组成，有利于制造和安装；该机构耦合度k=0，具有正向位置符号解，有利于误差分析、尺度综合、刚度分析及动力学研究等；该机构具有部分输入-输出运动解耦性，有利于机构的轨迹规划及运动控制；该机构操作工作空间大。

(2)利用基于拓扑特征的运动学建模原理，建立了该优化机构位置正解的求解模型，求解出其符号式的位置正解。

(3)基于导出的雅可比矩阵分析了该机构的奇异性，同时采用基于位置逆解、位置正解两种方法进行工作空间分析，研究表明，该机构的工作空间对称性好，且工作空间较大。

(4)对具有符号式位置正解的并联机构宜直接采用位置正解计算工作空间，这样计算量更少、计算更为精确。