运用求导法对一道物理预赛试题的分析研究与解法拓展

沈 卫 陈拥华

(湖州市菱湖中学 浙江 湖州 313018)

连接体问题在高中物理问题中历来是属于难解问题，在物理竞赛中也多有体现.对这类问题的解决常常需要用到相对运动关系、动量守恒，当涉及到对体系受力关系的定量解析时，还可能考虑到由于参考系的变换而需要建立物体在非惯性系下牛顿第二定律的方程，例如第36届全国物理预赛(江苏赛区)第15题.该题描述了轻绳的两端连接小环和小球，并使小球在竖直平面内向下摆动时带动小环沿光滑水平固定横杆滑动，并求解小球的速度与轻绳的拉力.现将原题及答案原解呈现如下.

【例题】一质量为m的小环A与一质量为2m的小球B通过一长为l的轻绳相连.先将小环套在一水平放置的光滑固定杆上，将绳拉直到水平方向，并使小环和小球都处于静止状态，如图1所示.然后同时释放小环和小球.

图1 题图

(1)试求：小球B运动到最低点时，小环与小球的速度大小，并求此时绳中的拉力；

原解:第(1)问是第(2)问的特解，因此主要给出第(2)问的解答过程.设绳子与水平方向的夹角是θ时，小环A的速度为vA，小球B相对于小环A的速度为vBA，则小球B的速度为vB=vBA+vA，由系统水平方向动量守恒可知

mvA-2m(vBAsinθ-vA)=0

(1)

由系统机械能守恒可知

(2)

由式(1)、(2)可得

(3)

(4)

由式(3)、(4)可得小球B的速度满足

设绳子中的拉力为F，小环的加速度为a，则小环的动力学方程为Fcosθ=ma.以小环为参考系(非惯性系)，小球B做圆周运动，其所受的惯性力F′=2ma.在非惯性系中，小球B的受力情况如图2所示.

图2 小球受力情况

小球沿绳方向的动力学方程满足

(5)

将式(4)代入式(5)中可得绳子拉力为

点评：除去数学计算上略显复杂，该题在求解环A与球B的速度上涉及的物理建模思想与方法还是较为简单直观的，充分渗透了高中物理处理动力学问题所需要的两种守恒——动量守恒与机械能守恒.若说比较抽象的就是建立环A与球B在速度上存在的牵连关系，但是根据动量守恒与运动合成分解还是容易为学生所理解的.但是在求解细绳拉力的时候，多数学生甚至部分教师忽略掉了以环A为参考系而产生的对球B所作用的惯性力.也有学生提出疑问：能否在避开惯性力运用的前提下实现对细绳拉力的求解？例如知道环A沿横杆运动的加速度a，再结合Fcosθ=ma就能够得到细绳的拉力.但是要实现这样的求解，前提是需要得到环A沿杆运动的加速度表达式，那么能否在学生已有知识框架下实现对拉力F的另解呢？

1 运用求导法实现对环A加速度的求解

高中阶段学生已经学习过导数并掌握了大多数函数的求导法则及其运用，基于这样的一个前提，学生也知道对位移求时间的导数可以得到速度，而对速度求时间的导数可以获得物体运动的加速度.依据这样的原则，本文提供两种通过求导法获取环A加速度进而得到细绳拉力大小的方法.

1.1 对环A的速度表达式求时间的导数

根据式(3)可知环A沿水平横杆运动的速度，显然对该式求关于时间的导数必然能够得到环A沿杆运动的加速度，故有

(6)

(7)

将式(7)代入式(6)中整理之后可得环A沿杆运动的加速度为

将该式代入到表达式Fcosθ=ma中便能够得到细绳拉力的大小.

1.2 运用导数构建方程求解

力学问题中对物体的位置坐标求二阶导数可以得到物体的加速度，在这里不妨构建沿杆水平向右与垂直于杆竖直向下的二维直角坐标系，如图3所示.

图3 构建二维直角坐标系

因此可得到当细绳与水平横杆成θ角时，环A与球B的位置坐标分别为

xA=xyA=0

xB=x+lcosθ

yB=lsinθ

对环A、球B的位置坐标求时间的二阶导数可得

(8)

(9)

(10)

根据系统水平方向动量守恒及竖直方向球B的受力可构建方程有

将式(8)～(10)代入可得

(11)

(12)

将

代入该式之后亦可得到细绳拉力F的大小.

点评：上述两种方法均运用到了求导法，同时也避开了对惯性力的运用.唯一不同的是1.1的解法直接对A环的速度求导，得到加速度a，因此在物理方法的运用上简单直观，但运算量较大.1.2的解法则是对位置坐标求解二阶导数并结合系统水平动量守恒及球B竖直方向的动力学方程推导出拉力F的表达式.该方法数学上的运算较为简便，且避免了根号项的求导过程，同时也在求导的过程中充分渗透了物理思想与方法的运用，而不至于使求导的过程沦为纯粹的数学运算而丧失了对问题物理本质的探讨.那么上述两种求导方法是否具备较强的普适性呢？与原题答案的方法相比，是否具有突出的优势呢？显然仅仅通过这一个例子无法进行比较.因此下面就该题做一个简单变式，将系统运动模型的构建提升一个维度，由二维平面提升至三维空间，探讨一下系统在三维非固定悬点摆动下的细绳拉力大小.

2 提升运动空间的维度 再谈细绳拉力的求解

根据原题条件，如果在释放球B时将球B垂直纸面向里拉开一个角度再释放，某时刻细绳与水平面方向成角度θ，与竖直平面成角度α，建立三维直角坐标系如图4所示，并探讨此时细绳所产生拉力的大小.其中u为球B相对于环A向下摆动做圆周运动的线速度，根据几何关系作如图5所示的球B沿xOz平面的运动示意图.

图4 建立三维直角坐标系

图5 球B沿xOz平面运动示意图

可知

mvA-2mvBx=0

vBx+vA=usinθcosα

联立两式可得到环A沿杆滑动的速度满足

为了简化运算，得到球B相对环A做圆周运动的线速度大小，这里采用柯尼希定理求解.由图4及图5可知环A与球B系统质心C的速度满足

(13)

由系统机械能守恒可知

(14)

将式(13)代入到式(14)中即可得到

故环A沿杆滑动的速度满足

2.1 在非惯性系下建立体系的动力学方程

下面先通过原题解法中非惯性系下的动力学方程解决变式中拉力大小的计算.与原题中的物理模型相似，球B以环A为参考系(非惯性系)做圆周运动，如图4所示，细绳拉力F提供环A沿杆方向的加速度满足Fcosθcosα=ma，因此球B受到沿x轴负方向的惯性力满足F′=2ma=2Fcosθcosα.在非惯性系下，球B做圆周运动的动力学方程满足

(15)

将式(15)整理之后代入速度u即可得到细绳的拉力满足

尽管在原有模型构建的背景下拓展了问题中系统运动的维度，将平面运动模型拓展为三维空间的运动模型，但是运用非惯性系下的动力学方程还是较为方便地解决了细绳拉力的求解.虽然在描述运动时需要一定的空间想象能力，但只要根据系统的运动与受力合理地构建平面图并注意几何运算中兼顾角度α的运算即可.上述解法可知问题原解的方法还是具备一定的优势的，虽然需要引入惯性力的运用，但是从模型的构建与运算的角度来说，该方法还是比较简单而方便的.

2.2 运用求导法对求解细绳拉力的分析探讨

根据前述分析已经得到A环沿杆滑动的速度表达式，因此对该表达式求时间的一阶导数即可得到A环沿杆运动的加速度aA.显然对于A环而言，必然有

Fcosθcosα=maA

由此便可得出细绳拉力的大小.但是正如前面所述，对vA的表达式直接求时间的导数其计算量过大，特别是表达式根号项内存在两个角度变量的情况下，对于问题运算而言无疑增加了很大的困难.虽然该方法原理上不存在任何问题，但是在实际问题的解决过程中要根据问题本身的性质合理地运用.

同理，由于增加了一个维度，将平面运动转化为三维空间运动，描述系统运动的变量增加了一个角度α，因此运用1.2中构建方程并对描述位置坐标的变量求时间二阶导数的方法也在一定程度上增加了运算上的难度.根据图4、图5可得到A环与B球在空间直角坐标系下的位置坐标分别为

xA=x

xB=x+lcosθcosα

yB=lsinθ

zB=lcosθsinα

根据沿x轴方向系统动量守恒，沿y轴方向与沿z轴方向的力学关系可建立方程如下

虽然上述方程联立之后通过运算并结合

亦可以得到细绳拉力F的大小，但是其运算量过大，不符合拓展解法中简便、直观的原则.可见求导法虽然对原题中细绳拉力的解答颇具新意，但是一旦将问题背景由二维平面拓展到三维空间，在增加描述运动变量的情形下，利用导数求解无形中使问题的解析过程过于繁琐，显然不是十分适用.由此可见，拓展问题的解法不仅要追求创新，同时也要兼顾解决问题方法的有效与直观，过大的计算量的引入不是追求创新解法的目标.当然，求导法解析动力学问题在高中物理中还有多方面的体现，教师和学生可以在日常的教学实践中加以关注、积累与总结，从而使数学方法能够更好、更有效地用于解决物理问题.