这两种特殊情况 你想到了吗

刘家良

解题须先读题，读题应做到“咬文嚼字”、仔细审题，这样才会避免邻近概念的混淆，防止丢失问题中的特殊情况. 且看一例：

例（2020·四川·绵阳）若不等式[x+52>-x-72]的解都能使不等式（m - 6）x<2m + 1成立，则实数m的取值范围是 .

错解：解不等式[x+52>-x-72]得x>-4，由于x>-4都能使不等式（m - 6）x<2m + 1成立，所以m - 6 < 0，且-4 > [2m+1m-6]，解得[236] < m < 6.

设问：（1）两个不等式的解集相同，这种特殊情况符合题意吗？（2）不等式（m - 6）x<2m + 1一定就是一元一次不等式吗？

导思：两个不等式的解集相同，说明其中一个不等式的解都能使另一个不等式成立;若（m - 6）x中的系数m - 6 = 0，即m = 6，则0 < 13，这仍是一个符合题意的不等式，所以不等式（m - 6）x<2m + 1不一定是一元一次不等式，这种特殊情况容易被忽视，这是因为同学们平时习惯了一元一次不等式的求解问题.

正解：解[x+52>-x-72]，得x>-4.

∵x>-4都能使不等式（m - 6）x<2m + 1成立，

①当m - 6=0，即m=6时，则x>-4都能使0·x<13恒成立;

②当m - 6 ≠ 0时，不等式（m - 6）x<2m + 1的解集要改变该不等式的方向，∴m - 6<0即m<6，

∴不等式（m - 6）x<2m + 1的解集为x>[2m+1m-6].

∵x>-4都能使x>[2m+1m-6]成立，∴-4 ≥ [2m+1m-6]，∴-4m + 24 ≤ 2m + 1，解得m ≥ [236].

综上，得m的取值范围是[236] ≤ m ≤ 6.

感悟：解题中需要注意如下两点.一是读题时须注意对关键字、词、句的理解. 不等式（m - 6）x<2m + 1中的未知项系数是一个含字母的式子，这个式子能否等于0，就要看该不等式是否为一元一次不等式，而题中没有說明它是一元一次不等式，所以它有可能等于0，若忽视了这点，就会丢掉m = 6的情况. 二是“滴水不漏”的审题，能使思维少出纰漏，使解题结果趋于完美. 另外，两个不等式的解集也有可能相同的情况，即m = [236]，这种特殊情况是符合题意的，也是同学们易忽视的.