数值法研究光的圆孔衍射实验现象
2021-08-19曹冬梅曾祥梅
曹冬梅，曾祥梅
(1. 延安大学 物电学院，陕西 延安 716000；2. 西安邮电大学 电子工程学院，陕西 西安 710121)
光既是粒子又是波，表征光波动属性的现象有光的干涉、衍射和偏振. 相对于光的干涉理论，光的衍射理论更为复杂，在理论教学的过程中，大部分学生感觉比较抽象而难以理解，采用MATLAB数值仿真光的圆孔衍射现象可以指导教学. 由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，因而讨论圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义. 而目前关于光的圆孔衍射问题的教学研究大多局限于圆孔衍射的横向光场讨论[1-3]，对平行平面光经圆孔衍射的纵向光强、远场光束的定量研究相对较少. 本文从菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式[4]出发，在单色平面波近似下，对该公式进行了数值求解，讨论了光波通过圆孔衍射后的横向、纵向光强和远场光束分布特点. 将光的衍射现象直观化，可以加深学生对光的衍射理论和现象的全面理解.
1 光的圆孔衍射理论
图1所示为平行平面光波通过圆孔衍射的示意图.圆孔所在平面处z=0，接收屏置于z处，光沿着z轴正方向入射，假设l为光源到小孔中Q点的距离，r表示圆孔中的源点Q到场点P的距离.当圆孔的线度∑满足λ<Σ (1) 式中θ为点Q到点P的连线与z轴的夹角.在菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式的适用范围内，讨论光在真空中传播时的光强分布. 图1 光的圆孔衍射示意图 平行平面光垂直入射，取波长λ=632.8 nm，分析z轴上点的光强分布.首先保持圆孔半径不变，计算轴上点的光强分布. 图2中，0.1 m 图2 轴上点光强分布 图3 轴上点光强随圆孔半径大小的变化 图4 轴上点光强随菲涅耳数的变化 在菲涅耳衍射区，取不同的菲涅耳数N，利用MATLAB计算平面光波通过圆孔衍射的横向光强分布，见图5. (a)菲涅耳数N取偶数 (b)菲涅耳数N取奇数 (c)菲涅耳数N<1图5 圆孔衍射的横向光强分布 图6 远场衍射区横向光强分布 当菲涅耳数N<1时，随着N值的减小，平行平面光经圆孔衍射后，横向光强分布图不再变化，即演化成中心光强为最大值、两边光强逐渐减小的光束.如图5(c)所示的夫琅禾费衍射图样，中央部分为艾里斑，随着菲涅耳数的减小，艾里斑半径在逐渐增大.仔细分析中央艾里斑内的光强度分布和高斯线型非常类似，图6中给出了两种线型的对比，图中实线为光强的横向分布图，虚线为模拟的高斯型分布，在远场夫琅禾费衍射区横向光强的实际分布与高斯型的分布非常接近. 图7为艾里斑半径随z变化的关系曲线，图中实线部分为衍射远场区域内仿真所得的光斑半径值，虚线部分为对光斑半径线性拟合的结果.从图中可以看出：在仿真区域内的光斑半径ω(z)近似为线性的，而高斯光束中定义光斑半径： (2) 其中ω0为高斯光束的束腰半径，在远场z>>z0时，ω(z)≈zλ/ω0，此时光斑半径与距离z成正比，与图7结论完全吻合.进一步分析发现，线性拟合曲线在z=0时近似为0，即在远场形成“高斯光束”的束腰在z=0处，即衍射圆孔处. 图7 光斑半径随传输距离z的变化 选择当传输距离z=15 m时的光强分布为基准，通过仿真计算此时光束的光斑半径为3.838 mm，对应的发散角为 (3) 则远场形成的高斯光束所对应的束腰半径ω0≈0.8 mm左右.若将ω0≈0.8 mm代入ω(z)的表达式可得ω(z=15 m)=3.86 mm，与仿真结果非常接近.即平行平面光束经半径为1 mm的圆孔衍射后，在远场演化成束腰在圆孔、束腰半径约为0.8 mm、远场发散角约为0.51 mrad的高斯型光束.这个过程与平行平面光在具有轴对称特点的对称共焦腔中演化为高斯光束的过程完全类似，此时的圆孔作用类似于共焦腔中的小镜子，在空气中自由演化的过程类似于共焦腔内自由行进的过程. 如图8所示为一组圆孔衍射图样[7]，圆孔直径从最上端左侧开始向右连续增大，一直增大到最后一行的最右端，对应圆孔直径从1 mm增大为4 mm，衍射图样是在距衍射屏1 m的位置处拍摄的结果. 首先分析径向光强分布.除最高一行衍射图样外，第二行开始从左向右随着圆孔半径的增大，衍射图样中心位置时而为亮点，时而为暗点，呈现出一定的周期性变化现象.与仿真结果图3类似，在保持接收屏位置保持不变时，轴上点光强分布随圆孔半径的增加呈现出一定的周期性变化现象，当菲涅耳数为奇数时中心点为亮点，当菲涅耳数为偶数时中心点为暗点.类似的结论在文献[8]的实验中也得到了验证.对最高一行衍射图样，中心一直为亮点，此时圆孔孔径相对较小，接收屏处于1 m位置时孔面只露出中心带的一小部分，所以随着圆孔增大，露出的中心带面积也相应增加，亮度逐渐增强.其次，分析横向光强分布.从上到下，衍射图样“可见”分布范围随着菲涅尔数的增大而增大，当菲涅尔数较大时，光强的空间调制越显著，与仿真结果图5(a)与图5(b)结论相吻合. 图8 随孔径增大的圆孔衍射图样 对远场衍射光斑分析时，采用如图9所示实验光路，首先对激光束进行扩束，扩束后的平行光垂直入射到半径为0.65 mm的圆孔进行衍射，接受屏置于远场的不同位置z，最后用SunTime300C型号的CCD对接受屏上的衍射光斑进行拍摄，前面加装了同品牌镜头SunTimeST0612H，相机有效像素为2048 H*1536 V. 图9 远场拍摄实验装置示意图 图10 远场衍射图样 利用MATLAB 对菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式进行仿真，实现了平行平面光波通过圆孔后衍射光场的可视化，可以非常直观的看出衍射的模拟结果. 通过在不同条件下的衍射光强的模拟发现，模拟结果与实验观察和理论结果非常吻合. 当菲涅耳数小于1时，平行平面光波通过圆孔衍射，在远场就会形成高斯型的光强分布，与平行平面光在具有轴对称特点的对称共焦腔中演化为高斯型的分布具有类似的过程. 将计算机仿真技术运用到物理光学的教学和实验中，可帮助学生加深对物理现象的理解，拓宽学生的视野，实现了大学物理系列课程教学和实验手段的现代化.
2 数值仿真结果及理论分析
2.1 轴上点光强分布与菲涅耳数
图2为圆孔半径ρ=1 mm时，z轴上点的光强分布随距离z的变化关系，纵坐标光强度单位为W/cm2，下文同.当0.1 m
2.2 横向光强分布
图5(a)为菲涅耳数N取偶数时的横向光强分布图，从图中可以看出，中心点的光强为零；图5(b)为菲涅耳数N取奇数时的横向光强分布图，中心点的光强达到最大值.且随着菲涅耳数的增大，外围明纹的亮度在增强，光强的空间调制越显著，衍射效应越来越明显.
2.3 远场光束的演化
3 圆孔衍射实验分析
图10显示的是在远场条件下接受屏上的光斑分布规律，从图可见中心光强分布基本符合高斯型分布，且随着传输距离的增大，光斑的尺寸也逐渐增大，与图7所得结论一致. 受拍摄技术的限制外侧圆环几乎没有呈现出来.
4 结束语
