高考微专题“绳物模型”的延伸

蔡育惠

[摘   要]绳物模型是高考中非常重要的一个物理模型，这个物理模型的知识点覆盖面非常广，可以涵盖曲线运动、机械能守恒等知识，可以涉及碰撞问题、临界值问题，可以和诸多知识点组合命题。因此，分析研究绳物模型并适当延伸是培养学生物理思维能力的好方法。

[关键词]绳物模型;向心力;机械能守恒

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]     A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0056-02

如图1所示，轻绳一端固定于O点，另一端系着一个小球，在竖直面运动，此过程中小球只受重力和绳子的拉力，满足机械能守恒。绳物模型覆盖面很广，从很简单的题目一直到很难的题目都有，掌握好绳物模型，对功能关系、曲线运动的理解和应用有很大的帮助。本文对高三一轮复习中可能出现的各种绳物模型进行归纳、总结。

【题1】如图1所示，小球由θ角位置静止释放，求小球运动到最低点时的速度大小及绳子拉力。

分析：由功能原理可知：

[mgl（1-cosθ）=12mv2→v=2gl（1-cosθ）]

[mv2l=T-mg→T=（3-2cosθ）mg]

【题2】如图2所示，小球运动至θ角位置时，速度大小为[v]，求此时的绳子拉力大小及加速度大小。

分析：按照力的作用效果可知，沿半径方向的外力不做功提供了向心力，用来改变速度的方向;而沿切线方向的外力会做功，改变的是速度的大小，所以加速度分为向心加速度和切向加速度，然后再合成出结果。（如图3所示）

图2                                    图3

[T-mgcosθ=mv2l ，T=mv2l+mgcosθ]

向心加速度：[an=v2l]

切向加速度：[aτ=mgsinθm=gsinθ]

所以加速度：[a=a2n+a2τ=v2l2+gsinθ2]

【题3】如图4所示，当小球运动至夹角[θ=30°]的时候，加速度恰好水平，求小球的最大摆角[θmax]。

图4                                图5

分析：此时由绳子的拉力和重力的合力产生加速度，根据受力分析（如图5所示），依据曲线运动规律求解最大摆角，只要能求出[θ=30]°时的速度大小，就可以运用动能定理求解。而速度的求解又可以由向心力的大小来求解。故有：

[12mv2=mgl（cosθ-cosθmax）]

[T-mgcosθ=mv2l]

[T=mgcosθ]

所以[θmax=43.95°]

【题4】轻绳吊着小球在竖直面内做完整的圆周运动（如图6），试分析相关临界值问题及关系。

分析：这个问题是教材中的内容，关键在于掌握绳物模型中，物在最高点时，绳子只能提供拉力，当小球位于最高点且绳子的拉力为零时，即为临界值。

最高点：[T2+mg=mv22l]，当[T2=0]时，[v2=gl]

所以过最高点的速度应满足：[v2≥gl]

最低点：[T1-mg=mv21l]且[12mv21-12mv22=mg·2l]

所以有：[v1≥5gl]且[T1-T2=6 mg]

【題5】如图7所示，轻绳吊着小球，在最低点时，给小球一个速度[v1=4gl]，求小球脱离圆周轨道时与竖直方向的夹角θ是多少？

分析：有了题4的基础，球在最低点时必须满足[v1≥5gl]才能做完整的圆周运动，所以本题小球无法过最高点。同时应注意另一个临界值[v0=2gl]，当[12mv20=mgl]，即速度为[v0]时，刚好由最低点运动到与圆心等高的点。本题中[2gl<4gl<5gl]，所以小球应该是运动至圆心以上部分脱离轨道。并且刚脱离轨道瞬间绳子拉力为0。此时受力分析如图8所示。

刚刚脱离轨道时：[mgcosθ=mv22l]

[12mv22-12mv21=-mgl（1+cosθ）]

所以有：[cos θ=23]

【题6】如图9所示，长为[l]的轻绳拉直时与水平夹角[α=30°]，此时绳子刚好没有拉力，由静止释放，求小球摆到最低点时绳子的拉力T是多少？

分析：第一阶段绳子没有拉力，小球自由下落;第二阶段，绳子绷直瞬间，沿着绳子方向速度突变为零，只保留沿切线速度，之后是圆周运动。

小球刚释放的第一阶段，做自由落体运动，故有：

[v21=2gl]

当绳子被拉直的瞬间，沿着绳子方向的速度突变为零，只有切线方向速度保留，接着做曲线运动，故有：

[v1x=v1cos30°]

[12mv22-12mv21=mgl（1-cosα）， ∴v2=104gl]

【题7】如图10所示，长为l不可伸长的轻绳，一端固定于O点，另一端系着一质量为m的小球（可视为质点），将小球提至O点正上方的P点，此时绳刚好伸直且无张力，在P点将小球以[v1=gl5]水平抛出，小球经过最低时的动能是多少？

分析：因为[v1=gl5

平抛运动的运动轨迹如图11。

水平方向：[x=vxt]，[vx=v1]

竖直方向：[y=12gt2]，[vy=gt]

由几何关系得：[l2=y-l2+x2]，[tan θ=xy-l]

解得：[vy=455gl] ，[tan θ=43]

绳子绷直瞬间， 小球速度只保留沿切线方向分速度，其大小为：[v2=vysin θ-vxcos θ=13255gl]

之后小球机械能守恒， 设经最低点时动能为[Ek]，则有：[mg2l-y=Ek-12mv22]

解得： [Ek=269250mgl]

【題8】如图12所示，一个质量为m的小球拴在长为[l=1.0] m的细线上做成一个单摆，当细线与竖直方向成[θ=37°]角时小球轻轻释放，不计一切阻力，悬点[O′]的正下方有一颗钉子[P]，钉子位置离悬点[O′]点的距离为[h]，求 [h]满足什么条件可使小球绕钉做圆周运动？

分析：小球下落，第一阶段是圆周运动的一部分，当小球碰到钉子后，立刻绕着钉子做圆周运动，整个过程都只有重力做功，全程满足机械能守恒。

先求临界值，小球刚好过最高点：[mg=mv22R]

[mgl（1-cosθ）=12mv22+mg·2R]

解得：[R=25l（1-cosθ）=0.08 m]

P离悬点[O′]的距离[h=l-R=0.92（m）]

所以，[h]应满足条件是：[0.92 m≤h<1.0（m）]

以上八个题型，主要集中在力学方面，绳球模型一旦结合电场，可以考查重力与电场力等效为一个力来处理，俗称“等效重力法”;结合磁场考查，主要体现洛伦兹力的方向性，使得向心力的大小在往复过程中发生变化。综上所述，掌握好绳物模型，对高考解题能力的提升是非常有用的。本文主要做了一些归纳总结，题型分析主要结合历年高考模拟题或高考真题进行。

[   参   考   文   献   ]

[1]  赵云.浅谈高中物理一轮复习中“绳模型”的教学盲区[J].宿州教育学院学报.2017， 20（4）：164-165.

[2]  王汉权， 常琳.仿真环境下竖直平面内小球（绳杆模型）圆周运动规律探究[J].中学物理（高中版），2020（9）：47-51.

（责任编辑 易志毅）