飞行器质心偏差极限值计算方法研究

张艳玲 洪 蓓 刘佳佳

(北京宇航系统工程研究所，北京 100076)

1 引 言

飞行器质量特性主要包括质量、质心、转动惯量(必要时也包括惯性矩)，是飞行器气动、弹道、制导、姿控、载荷等专业设计的重要依据。由于材料、制造、测量等不确定因素的存在，飞行器质量特性真实值与测量值、理论值之间不可避免的存在差异，此外，在飞行器设计的初始阶段，由于设计尚未完全完成，设计状态不能固化，最终实现的质量特性与初始预估的质量特性之间也会存在差异。因此，飞行器的设计必须采用偏差包络设计，即飞行器设计需要对质量特性偏差存在一定的容忍程度。

为了评估质量特性偏差对相关专业设计的影响，采用适当的方法确定质量特性的标准值、极限值及其偏差分布是飞行器设计中重点需要关注的问题，也是飞行器总体设计中的重要内容。

在质量质心偏差分析(包括偏差的分布)研究中，传统上采用理论分析方法较多，近年来也较多的采用了数值方法，但相关文献对偏差的极限值研究相对较少，特别是对于质心偏差极限值，由于其与相关参数的非线性关系，不存在通常意义上的理论解析解，计算存在一定难度，相关文献给出的计算方法未能较为有效的对其进行分析。实际上，质量质心偏差的分析问题属于飞行设计中不确定性设计的一部分，采用优化设计方法对其研究具有广阔的前景。

2 质量质心及其偏差计算模型

对飞行器建立质心计算坐标系，如图1所示，坐标系原点O为飞行器顶点，OX轴沿飞行器纵轴指向尾部为正，OY轴位于飞行器纵向对称面与OX轴垂直，指向上为正，OZ轴与OX、OY轴构成左手坐标系。

图1 质心计算坐标系

不失一般性，按舱段进行分析，设飞行器由N个舱段组成，第i个舱段的质心为

M

,轴向质心位置为

X

，总质量为

M

，总质心为

X

，则

(1)

(2)

对式(1)两边取微分，可得质量偏差分布：

(3)

对式(2)，将

M

移到等号左边，两边取微分得到：

(4)

对式(4)移项并将式(3)代入整理得到：

(5)

2.1 质量偏差极限值理论近似分析方法

由于式(3)为线性非耦合方程，可以直接计算

M

的极限值，为：

(6)

同时，按概率论，若认为

M

之间是独立不相关的，且服从正态分布，可取其均方根作为偏差极限值的估计值，为：

(7)

2.2 质心偏差极限值理论近似分析方法

不同于质量计算公式，因为质心计算公式，即式(2)和式(5)为非线性耦合方程，无法直接计算质心

X

的极限值。一种偏理论分析方法可采用将按

δX

按质量

M

进行加权平均，并取其线性叠加作为偏差极限值的估计值，即：

((

δM

)|(

X

-

X

)|+

M

(

δX

))

(8)

若认为

M

、

X

是不相关的且服从正态分布，可取其均方根作为偏差极限值的估计值，为：(

δX

)=

(9)

文献[2]给出的一种直接由各舱段质心偏差取均方根计算全弹质心偏差的估计值，如式(10)所示，由于其没有考虑质量的权重，使用不多。

(10)

式(8)、(9)只是一种近似解，若采用数值方法，可以直接获得高精度的数值解。

2.3 质心偏差极限值数值分析方法

设各舱段质量

M

的下限值、中间值、上限值分别为

M

、

M

、

M

，各舱段质心

X

的下限值、中间值、上限值分别为

X

、

X

、

X

，质心的极限值问题转换为求解在各舱段所有质量、质心组合情况下的合成总质量及质心。

主要方法有：

(1)穷举法：

穷举法用于求出各舱段质量、质心取要求值的所有情况，计算所有组合情况下的值再比较得到极限值。针对中值、下限、上限共3种情况，总组合数量

N

为：

N

=3^(2

N

)

(11)

可见总组合数量为指数级别增长，计算量较大，但好处在于思路简单，穷举所有情况后一定可以获得边界值(即极限值)。

(2)蒙特卡洛方法：

蒙特卡洛方法针对不确定性参数取值按一定分布规律进行抽样，计算各个样本点对应的系统响应值，由此依据不确定性变量信息来分析系统响应的概率分布特征以及其他统计量。

对本文讨论的质量质心偏差问题，可先假设质量质心的概率分布，抽样后计算合成的总质量和质心。根据大量的统计结果，舱段的质量、质心可认为服从正态(高斯)分布，质量质心统计意义上的偏差极限值可取为3

σ

值。

从理论上讲，当取样数量足够大时，不但可获得偏差极限值的近似值，还可以获得偏差的概率分布值，这是蒙特卡洛方法的主要优点之一。但是由于概率的存在，取到边界极限值的概率较小，获得质心边界值(即真实极限值，接近100%概率)的计算效率不高。

因此，在分析质量质心偏差极限值时，考虑到正态分布边界情况概率密度较低，可以假设质量质心分布为均匀分布，人为提高极限值的出现概率。

(3)数值优化方法：

按照最优化理论，可将极限值问题求解转换为求在舱段质量、质心分布约束下的总质量、总质心的最优化问题。

总质量是各舱段质量的线性组合，直接取舱段边界极值即可获得边界值。

总质心由于是各舱段质量的非线性组合，需要进行数值求解，数学模型为：

(12)

式(12)是一个标准的单目标多约束最优化问题，其中约束仅仅是区间约束，是一类较为简单的最优化问题，优化求解方法较多，收敛也较快。

3 典型飞行器极限值分析

3.1 典型飞行器长度及质量参数

采用文献给出的一种具有4个舱段的空空导弹各舱段长度、质量数据作为计算输入数据，并按工程经验给出质心、质心偏差及质量偏差的假设值，如表1所示。表中偏差均可取正负。

表1 舱段及全弹长度及质量参数Tab.1 MissileLength,Cabin sLengthandMassParameters舱段舱段长度/m舱段质量/kg舱段质心/m舱段质心偏差/m舱段质量偏差/kg舱段10.4076.10.20350.010.3舱段20.33619.70.5750.011.0舱段30.3556.50.92050.010.3舱段42.552127.72.3740.025.0全弹3.650160.02.0107——

采用第2章所述方法，对偏差极限值(只考虑最小值，考虑最大值时方法类似)进行计算分析如下。

3.2 穷举法计算值

采用穷举法对所有可能情况进行穷举，总可能数目为6561种，计算的得到的“质心-质量”联合分布如图2所示。由图2可得质量、质心的极限值。

图2 质心-质量穷举对应情况

3.3 蒙特卡洛法计算

假设舱段质量偏差和质心偏差分别为正态和均匀分布两种情况，采用蒙特卡洛法对全弹质心的最小值进行仿真，统计结果如表2所示，分布如图3和图4所示。对质量、质心直接进行统计，可以得到对应要求概率(例如工程常用的3σ极限)的质量、质心数据。

图3 全弹质量和质心分布柱状图(正态分布假设)

图4 全弹质量和质心分布柱状图(均匀分布假设)

3.4 最优化方法

采用Matlab中求最小值寻优函数fmincon计算质心极限值。其中约束为围绕中值的正负偏差范围。

3.5 计算结果汇总及比对分析

采用不同方法计算的全弹质量、质心极限值综合对比如表3所示。

由表3可见：

(1)最优化方法、穷举法求解质心极限值效果最好，基于均匀分布的蒙特卡洛方法也能较为接近的求解得到质心极限值。

(2)采用式(9)均方合成理论近似方法求出的极限值，与采用蒙特卡洛方法取正态分布(3σ极限)求出的极限值是一致的，均为概率值，但与最优化方法、穷举法求解的质心真实极限值不一致。在采用概率设计方法时可采用3σ极限值，在进行包络设计时可采用最优化方法、穷举法求解的质心真实极限值。

表2 全弹质心最小值蒙特卡洛仿真结果Tab.2 MonteCarloSimulationResultsoftheMinimumValueoftheMissileCentroid正态分布均匀分布仿真次数全弹质心最小值/m对应质心最小值的全弹质量/kg全弹质心最小值/m对应质心最小值的全弹质量/kg10^41.9834159.84471.9737156.579310^51.9779155.19791.9713156.435310^61.9763158.56631.9698156.3973

(3)从计算结果也可见，真实极限值出现概率很低，设计较为保守，工程上取3σ极限就足够精确。

表3 全弹质心极限值Tab.3 UltimateValueofMissileCentroid序号方法全弹质心最小值/m对应质心最小值的质心偏差/m对应质心最小值的全弹质量/kg1理论近似-线性组合1.96700.0437—2理论近似-均方合成1.98880.0219—3理论近似-直接均方合成—0.0265—4穷举法1.96650.0442156.65蒙特卡洛方法-正态分布1.97630.0328158.56636蒙特卡洛方法-正态分布(3σ对应值)1.98870.0220—7蒙特卡洛方法-均匀分布1.96980.0409156.39738最优化方法1.96650.0442156.6

3 结束语

本文针对飞行器的质量质心偏差分析问题，首先经推导给出了质心偏差的理论计算公式，通过对理论公式的分析指出了其不足，随后分析了质心偏差分析的蒙特卡洛方法、穷举法和最优化方法，最后针对一种典型飞行器，对各种方法进行了实例分析。

通过对计算结果的讨论，说明蒙特卡洛方法对偏差的分布较为有效，而最优化方法和穷举法对偏差极限分析效果最好。