多粒子GHZ纠缠实验中Fisher信息的保真度方法获取

李 岩

(太原师范学院物理系，晋中 030619)

1 引言

随着多粒子体系量子纠缠的快速发展[1-5]和激光冷却操控技术的日益进步[6，7]，以量子态纠缠或压缩为基础，实现高精度的物理参数估计成为了量子计量学的核心研究内容[8，9]，与此同时也促进了相关领域的快速发展，如原子干涉仪[10，11]，量子磁力计[12]，量子传感[13]，量子模拟[4，5，14]等.在量子计量学中，Fisher信息充当着非常重要的角色，不仅对待测参数的误差精度进行了限定[8，9]，如标准量子极限、海森堡极限，也对实现该精度的量子态纠缠进行了判定[15，16].基于参数估计理论中的无偏差估计和克拉美罗下界定理[17]，待估参数(如相位)的精度极限可表示为，F(θ)为体系的Fisher信息，表示对待测相位信息的认知程度，Fisher信息值越大表明对其掌握越准确、测量精度也越高.2009年，意大利科学家A.Smerzi研究员和L.Pezzè博士在探究Fisher信息的纠缠判定功能时发现，当分离量子态的Fisher信息大于体系所包含的粒子数目N时，可以判定体系含有量子纠缠，以该量子态作为试探态开展量子精密测量，其测量精度会超越标准量子极限，甚至逼近于海森堡极限[15].因此，开展Fisher信息在理论和实验上的有效获取成为了量子精密测量中不可或缺的研究内容.

Fisher信息是关于条件概率分布的函数，对概率分布的依赖性较强.一般地，条件概率分布的获取较难，特别是在统计模型未知的情况下，条件概率的解析表达式很难得到，导致Fisher信息的获取变得困难[18]，但从实验的角度出发，条件概率的获取并非难事，Fisher信息也可以从中得到.2014年，德国科学家在利用扭曲和转动(Twist and turn)哈密顿量实现Rb87原子非高斯态的纠缠实验中，首次采用了海林格距离(Hellinger distance)方法进行了Fisher信息的获取，通过二阶曲线拟合成功地抽取了系统的Fisher信息[19].与海林格距离方法类似，保真度也是用来反映概率分布之间差异的[20]，在量子力学中，量子态的保真度用来刻画量子态之间的相似程度[21]，如衡量量子态在传输过程中的成功率[22]，刻画量子态的相变[23]等，甚至可以用来进行量子态的纠缠判定[24]，它可以用来获取系统的Fisher信息吗?最近有学者提出可以利用动态保真度方法(洛施密特回波，Loschmidt echo)来获取系统的Fisher信息[25]，但结合具体实验数据的分析研究并未给出.基于常见的宇称测量模型，本文对多粒子Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)纠缠实验中Fisher信息的保真度方法获取进行了系统的研究，通过对已有宇称测量实验数据[3-5]的蒙特卡洛模拟、保真度计算、曲线拟合等过程，获取系统的Fisher信息，并将其与海林格距离方法的结果作简单比较[26]，研究表明，保真度方法可以有效地获取量子系统的Fisher信息，当体系所含粒子数目较少时，采用高阶拟合方法获取Fisher信息，反之，则采用二阶拟合方法.文章第二部分介绍了宇称测量模型及其在干涉仪和量子纠缠相干性获取中的应用.第三部分从概率统计和量子力学的角度出发，阐述了保真度与Fisher信息之间的区别与联系，给出了保真度获取Fisher信息的表达式.第四部分为本文的核心部分，我们对多粒子(光子、超导量子比特、中性原子)GHZ纠缠实验中的Fisher信息进行了保真度方法获取，并将其与理论计算的最优Fisher信息进行对比.最后一部分对文章进行总结.

2 宇称测量模型

在量子力学中，宇称算符是一个可观测量，其期望值可表示为准概率相空间中的Wigner函数[27].宇称测量是量子计量学中一种常见的测量方式，早在1996年美国科学家J.J.Bollinger教授就利用宇称测量模型结合最大纠缠探测态实现了海森堡极限的频率估计[28].在利用光学马赫曾德干涉仪进行高精度的相位估计中，宇称测量算符可表示为[29]

除此之外，宇称算符测量还用于纠缠判定实验[24]中量子态相干性的获取，其平均值可以表示为

其中，Pj代表被测量子态包含j个自旋向上粒子|↑〉的概率，或表示含有j个激发量子态的概率[30].当实验产生的多粒子GHZ纠缠态受外界因素影响时，宇称算符的平均值表示为如下关系[3-5，24，30]，

其中，V代表量子态的相干性，也称为可见度(vsibility)，θ表示可以调控的相位.同样地，待测量子态只有偶数激发和奇数激发两种状态，故

这样，宇称测量的结果用概率表示为

上述式(5)和式(6)在下面多粒子GHZ纠缠实验的Fisher信息保真度抽取中会用到，也是本文研究所要用到的条件概率分布，第四部分有详细说明.

3 保真度与Fisher信息

从经典概率统计的角度出发，保真度可以表示为[20]

其中，pi={pi1，pi2，…，pim}和qi={qi1，qi2，…，qim}分别代表两组相近的概率分布，f(pi，qi)也称为概率保真度.在量子力学中，量子态可以用希尔伯特空间中的一组完备基展开，表示为其中的一个矢量，其物理意义对应于概率论中的概率幅，即概率的1/2次方[31].因此，量子态的保真度可以表示为两个态矢量作内积的绝对值，即f(ψθ，ψθ+δθ)=|〈ψθ|ψθ+δθ〉|，其中，|ψθ〉可以代表式(7)中的由于本文仅考虑纯态保真度的相关计算，所以混合态保真度部分不作过多介绍，有兴趣的读者可见文献[32，33].

在量子测量实验中，对物理参数的高精密测量最终会映射到与该参数有关的相位估计中[8，9]，具体表现形式为条件概率分布的获取，即p(ξ|θ)=Tr[ˆρ(θ)ˆM(ξ)]，ˆρ(θ)表示含有相位θ信息的量子态密度矩阵，这里ˆM(ξ)表示正算符测度(Positive-Operator Valued Measure，POVM)，是待测物理量的算符表示，满足完备归一性，通常Fisher信息可以表示为

其中，p(ξ|θ)表示在给定相位θ条件下对可观测量测量所得值为ξ的条件概率.将式(8)拓展到量子力学中，对测量算符ˆM(ξ)进行优化选取，就得到了Fisher信息的最大值，记为量子Fisher信息FQ(θ)[9].与保真度的物理意义一样，Fisher信息也是用来表征近邻量子态之间差别的，不同之处是，Fisher信息是用来衡量量子态之间的可区分程度，对差异进行细画，表征量子态之间的统计速度[15，16，32]，即统计距离在概率空间的变化率，而保真度则用来计算量子态之间的宏观区别，表征量子态之间的“跃迁概率”[34].

近邻量子态测量后的条件概率保真度可以表示为

对其进行泰勒展开(保留高阶项)，可得保真度与Fisher信息之间的关系式为[33]，

从上式可以看出，二阶项系数包含系统的Fisher信息，高阶项会对二阶项起到修正作用[26].当δθ较小时，忽略高阶项(三阶项以上)，我们便得到了Fisher信息与保真度之间的关系，F(θ)=-4∂f(θ)/∂(δθ)2，也可记作Fisher信息等于4倍的保真率[33].显然，若保真度f(θ)为1，则保真率为0，F(θ)也为零，表示近邻量子态不可区分；若保真度不为0，则保真率越大，Fisher信息越大，近邻量子态越容易区分.将该推理应用于干涉仪的相位估计中，则表明Fisher信息可以将量子态之间的差异(保真度)进行细化，依据克拉美罗下界定理，系统的Fisher信息越大，意味着待估参数的误差精度△θ越小，量子态之间的差别刻画地越精细.

4 利用保真度方法从实验数据中获取Fisher信息

4.1 多光子GHZ纠缠实验中Fisher信息的获取

在二能级粒子组成的量子系统中，N粒子的GHZ纠缠态表示为[28]

其中，|0〉和|1〉分别代表粒子所处的量子状态，如基态和激发态.在多光子GHZ纠缠态的产生实验中[3]，为了获得量子态的相干性，对测量算符进行了理论计算和实验数据分析，其中为泡利算符.与式(1)对比，算符的本征值也为+1或-1，故可看作是宇称测量算符的操作表示.考虑测量过程中噪声的影响，其平均值表示为

其中，P(+1|θ)和P(-1|θ)分别为在给定相位θ条件下，宇称测量算符测量值为+1或-1的条件概率，具体表示为式(5)和式(6)，将其代入Fisher信息的表达式(8)，便得到系统的Fisher信息为

对上式进行最大化，得到最优Fisher信息为

优化相位为θopt=π/(2N)+nπ/N，表示实验上在相位θopt附近进行Fisher信息抽取时，可得到Fisher信息的最优值.此处，为了与理想情况下的量子Fisher信息FQ=N2(V=1)进行区分，将式(13)最大化所得的Fisher信息记为最优Fisher信息Fopt[26].基于以上论述，依据保真度的定义(9)及其与Fisher信息的关系(10)，我们便可通过条件概率p(+1|θ)或p(-1|θ)的获取开展Fisher信息的拟合抽取研究.

首先，我们对多光子GHZ纠缠实验中的宇称测量数据进行获取，即对文献[3]图2(d)中的最优相位θopt附近的数据点依次进行获取，包括平均值及其误差[26]；其次，对获取数据点进行正态分布的蒙特卡洛数值模拟，得到更多数据，即条件概率，…，P(+1|θopt-δθ)，P(+1|θopt)，P(+1|θopt+δθ)，…，随后将其代入公式(9)进行保真度计算；最后，利用保真度与Fisher信息之间的关系式(10)进行二阶拟合或高阶拟合获取Fisher信息.

图1给出了N=2和N=8光子GHZ纠缠实验中保真度随相位间隔δθ的变化情况，其中绿色圆点代表m=1000次蒙特卡洛数值模拟后计算得到保真度的平均值，误差棒表示其误差变化范围.通过二阶曲线拟合我们得到2光子的Fisher信息为Fe=3.442±0.317，该值与优化Fisher信息公式(14)所得值Fopt=3.463±0.002一致(V=0.930见文献[4]).当相位间隔δθ较大时，需考虑高阶项影响[26]，通过曲线拟合得到8光子的Fisher信息为Fe=19.562±5.172，接近于优化Fisher信息值Fopt=18.5344±1.997.将上述Fisher信息获取结果与海林格距离方法所得结果进行对比[26]，两者一致，进一步验证了保真度方法能够有效地获取系统的Fisher信息.此外，从公式上看，二者在本质上没有区别.

图1 多光子GHZ纠缠实验数据中Fisher信息的保真度方法获取.绿色圆点表示保真度，误差棒代表其标准差，红色实线为曲线拟合结果，黑色虚线代表其误差变化范围.(a)N=2光子实验数据中保真度随相位间隔δθ=0.045π的变化.(b)N=8光子实验数据中保真度随相位间隔δθ=0.031π的变化.Fig.1 FI extraction from multi-photon GHZ experimental data by fidelity method.The green dots are the fidelity and the errorbar denotes the standard error，red line denotes the fitting result and black dashed lines mean the errorregion.(a)The fidelity of N=2 photons'data with respect to the phase intervalδθ=0.045π.(b)The fidelity of N=8 photons'data with respect to the phase intervalδθ=0.031π.

4.2 多超导量子比特GHZ纠缠实验中Fisher信息的获取

与多光子GHZ纠缠实验中量子相干性的获取过程类似，超导量子比特GHZ纠缠实验中也采用了相同的方法[4]，其宇称测量算符可以表示为其在量子态(11)下的平均值为V cos(Nθ+φ)，Peven和Podd分别代表通过探测得到奇数或偶数个量子比特处于态|1〉的概率.通过对纠缠实验中宇称测量数据的获取，即最优相位θopt附近的数据(见文献[4]中图3(c))，蒙特卡洛数值模拟[26]及保真度计算，我们便可利用式(10)得到系统的Fisher信息.

图2(a)和图2(b)分别给出了N=3和N=10超导量子比特GHZ纠缠实验中保真度随相位间隔δθ的变化.基于二阶曲线拟合方法(即忽略高阶项)，我们得到3超导量子比特的Fisher信息为Fe=8.363±1.769(红色实线，黑色虚线代表误差)，其与理论计算所得优化Fisher信息Fopt=8.363±0.278一致，表明了保真度可以有效地获取系统的Fisher信息.在10量子比特的Fisher信息抽取中，我们考虑了高阶项的影响，通过拟合得到Fe=43.684±17.847，其与优化Fisher信息Fopt=43.56±4.224也一致(V值见文献[4])，误差部分有所偏差.

图2 多超导量子比特GHZ纠缠实验中Fisher信息的保真度方法获取.绿色圆点表示保真度，红色实线为拟合结果，黑色虚线代表其误差范围.(a)N=3量子比特数据中保真度随相位间隔δθ=0.02π的变化.(b)N=10量子比特数据中保真度随相位间隔δθ=0.01π的变化.Fig.2 FI extraction from multi-qubit GHZ experimental data by fidelity method.The green dots are the fidelity and red line is the fitting result，black dashed lines denote the error region.(a)The fidelity of N=3 qubits'data with respect to the phase intervalδθ=0.02π.(b)The fidelity of N=1 qubits'data with respect to the phase intervalδθ=0.01π.

4.3 多原子GHZ纠缠实验中Fisher信息的获取

在利用Rb87原子产生GHZ纠缠态的实验中[5]，量子相干性也是通过对宇称算符=的测量获取的.实验中产生的纠缠态在经过含有相位θ的交错磁场作用后进行宇称算符测量，结果表示为余玄关系，即=V cos(Nθ).与光子和超导量子比特中的表示一样，Peven和Podd分别代表探测到偶数和奇数个原子处于量子态|1〉的概率，所以Fisher信息的获取过程也类似.首先从实验数据图中获取优化相位θopt附近的宇称测量平均值及误差(见文献[5]中图3(a))；其次，利用高斯型的蒙特卡洛模拟方法对数据点进行数值模拟；最后，利用公式(10)进行曲线拟合获取Fisher信息.

与图1和图2类似，在图3中我们给出了N=4和N=12原子GHZ纠缠实验中Fisher信息的保真度方法获取过程.通过对4原子的实验数据获取及模拟得到其保真度的平均值(绿色圆点)和标准差(绿色误差棒)，采用高阶拟合方式我们得到Fisher信息为Fe=8.637±1.744，理论计算得到优化Fisher信息为Fopt=9.217±0.267(V见文献[5]).同样地，12原子纠缠实验数据中的Fisher信息为Fe=28.049±6.882，其与优化Fisher信息Fopt=30.735±2.528也相差较小.通过对上述三个实验中Fisher信息的保真度方法获取对比分析，我们得出保真度方法可以有效地获取系统的Fisher信息；当粒子数目N较小时，可采用二阶拟合方式来获取系统的Fisher信息；当粒子数目N较大时，需采用高阶拟合方式获取Fisher信息.

图3 多原子GHZ纠缠实验中Fisher信息的保真度方法获取，绿色圆点表示保真度，红色曲线为拟合结果，黑色虚线表示其误差范围.(a)N=4原子实验数据中保真度随相位间隔δθ=0.044π的变化.(b)N=12原子实验数据中保真度随相位间隔δθ=0.02π的变化.Fig.3 FI extraction from multi-atom GHZ experimental data by fidelity method.The green dots are the fidelity and the red line denotes the fitting result，black dashed lines mean the error region.(a)The fidelity of N=4 atoms'data with respect to the phase intervalδθ=0.044π.(b)The fidelity of N=12 atoms'data with respect to the phase intervalδθ=0.02π.

5 结 论

综上所述，本文首先研究了保真度与Fisher信息之间的区别与联系，给出了保真度方法获取Fisher信息的表达式.基于常见的宇称测量模型，我们深入研究了多粒子GHZ纠缠实验中Fisher信息的保真度方法获取，通过与理论计算给出的优化Fisher信息对比，证明了保真度方法获取Fisher信息的有效性.与此同时，我们发现当粒子数目较少时，可采用二阶拟合方式获取系统的Fisher信息；当粒子数目较多时，需考虑高阶项影响，才能准确获取系统的Fisher信息.随着量子体系粒子数目的增加，对其进行集体性的相干操作将变得困难，实现足够小相位间隔(δθ)的量子操作更是不易，因此在获取大尺度量子系统的Fisher信息时，高阶项的影响会变得重要，不能忽略.