借力实验教学 落实数学探究*——以“二次函数图象的平移”为例

广东省广州市南沙东涌中学(511453) 霍锐泉 何梦圆

1 前言

2019年11月,教育部发布《教育部关于加强和改进中小学实验教学的意见》(下简称《实验教学意见》),指出：要“着力提升学生的观察能力、动手实践能力、创造性思维能力和团队合作能力”.数学实验是学生经历动手操作、动脑思考,通过观察、猜想、操作、实验等方式获得数学知识、经验,逐步建构和发展、完善个人的数学认知.所谓数学实验,是学生利用相关实验工具(如纸张、模具、测量软件(工具)、作图工具、计算器(机)等),在一定的实验环境或条件下进行的数学思维活动,是以学生亲身动手参与实验操作为特征的数学探究实践活动.数学实验探究教学是以学生的动手操作、动脑思考为基点,在教师的引领下,学生进行实践操作,把知识内化于心的数学学习方式.在初中数学教学中开展实验教学,能助力数学探究,可更好地促进学生自身持续发展.

2 基于数学实验教学设计

《课标》(2011年版)指出：学生的数学学习内容要有利于学生主动的进行观察、试验、猜想、验证、推理与交流等数学活动,并强调“动手实践”是学习数学的一种重要方式.在学习九年级“二次函数图象与性质”时,以“二次函数图象的平移”一课为例,开展了如图1 所示的实验探究教学,利用数学实验,落实数学探究活动.

图1

2.1 选取合理的实验探究素材

杜威曾说过,儿童天生有动手操作的欲望,动手操作能创造奇迹.

数学实验探究, 让学生通过观察、操作、实验等活动来进行学习, 所选取的素材要直观性、操作性强, 便于激发学生探究热情,吸引学生进行自主探究,还要能促进学生思维发展的活动.“二次函数图象与性质”是人教版九年级上册第22 章的教学内容,二次函数图象的平移是二次函数内容的组成部分, 二次函数图象平移包括上下平移、左右平移和复合的平移.图象的上下平移是符合学生直觉的, 而图象的左右平移恰巧是“反直觉”的.有研究表明, 图象上下平移和左右平移之间的不一致, 导致学生在理解二次函数图象平移时会感觉困难.为了让学生理解和掌握二次函数的四种基本形式：y=ax2(a /= 0)、y=ax2+k(a /= 0)、y=a(x-h)2(a /= 0)、y=a(x-h)2+k(a /= 0)的相互转化关系,专门设计了一节数学实验探究课,利用信息技术以直观的动手操、动脑思考为手段,学生独立自主探究与小组合作探究相结合,引导学生积极主动地参与,把图形的直观感受与相关知识建立联系.

设计说明：在八年级时,学生第一次接触函数的相关知识,通过“列表、描点、连线”系统地研究一次函数的图象,对于一次函数图象是一条直线和图象的平移有直观的感受.二次函数的图象是学生在初中阶段要学习的第二种函数图象,学生基于绘制一次函数的经验与方法,容易形成认知上的冲突,而且初中学生的抽象思维能力还相对较弱,所以在学习二次函数时,学生往往难以理解.为了直观、生动地展示二次函数图象的平移,充分利用现代信息技术进行教学,让学生亲历发现、探究过程,动态地研究图象的生成与变化,把抽象的知识转化为形象直观.这样既可加深学生对二次函数的认识,又能培养学生动手实践操作的能力以及观察力、想象力,也可以让学生在操作探究过程中完成知识的自我建构,发展学生数学核心素养.

2.2 设置恰当的实验探究起点

开展实验探究教学要根据学生的认知水平,把握好学生参与探究活动的起点,设计符合学生最近发展区和已有经验的问题与活动.在“二次函数图象的平移”教学中,首先让学生观察图2,回顾一次函数图象平移的规律,然后向学生提问“二次函数图象的平移也有这样的规律吗? ”

图2

设计说明：回顾一次函数图象的平移,目的是唤起学生已有的认知,激发学生思考：二次函数的图象是怎样平移? 图象平移有规律吗? 平移后的图象性质与原来的一致吗? 通过类比一次函数作为本节课的探究起点,符合学生认知水平和已有经验,能激发学生的探究欲望,引起学生探究的兴趣.

2.3 制定明确的实验探究指引

开展数学实验探究,要为学生确立实验探究方向,并学生探究过程中所碰到的困难、问题要有所预设,有针对性地制定实验探究指引,为学生提供探究帮助,从而最大程度地完成发现规律、理解问题本质的目的.在教学中,为规范学生的实验探究, 教师有必要作出引导、示范.如探究二次函数y=ax2如何平移到y=ax2+k的时,利用几何画板将常数k设置成一个可变化的参数,通过改变k值的大小,动态探究图象的变化规律.如以y=x2为原型,引导学生探究：y=x2+1、y=x2-2、y=x2+3.先让学生猜想函数图象的变化情况,再尝试进行验证猜想是否正确,把所得到的正确结论进行推广应用到一般的情况.

设计说明：借助信息技术开展数学实验探究,可以让学生把更多的时间和精力用于理解数学本质、探究数学规律上,设定好探究软件的探究方向,对数学实验教学顺利开展是十分必要的.学生按照“数学实验报告表”提示的步骤进行探究,在实验的过程中要做好实验记录和总结.通过探究,学生会发现二次函数y=x2与y=x2+1、y=x2-2、y=x2+3,当横坐标相同时,它们之前总存在一个相同的数值差异,图象之间存在上下平移的位置,图象向上平移,k ＞0,图像向下平移,k ＜0.从而把上述关系推广到y=ax2(a /= 0)与y=ax2+k(a /= 0)的关系,即y=ax2(a /= 0)的图象上下平移|k|个单位得到y=ax2+k(a/=0)的图象.

2.4 营造浓厚的实验探究氛围

除了自主探究外,合作探究也很重要,通过相互合作,可以促进探究向纵深发展,我们要营造一个独立思考、合作探究的氛围.学生个人的知识、经验不同, 理解能力、探究能力存在差异,通过合作交流会让学生产生思维的碰撞,学生闪亮的思维得到绽放,从而迸发出智慧的火花.如探究二次函数y=ax2(a /= 0) 如何平移到y=a(x-h)2(a /= 0)、y=a(x-h)2+k(a /= 0) 时, 组织学生以小组进行合作探究, 各个小组先按照“数学实验报告表”提示的步骤进行探究活动, 然后进行组内讨论, 再由各个小组派代表进行展示.很快学生就得到y=ax2是通过左右平移|h|个单位得到y=a(x-h)2的(h左负右正) .二次函数y=ax2是通过左右平移|h|个单位、上下平移|k|个单位得到y=a(x-h)2+k.

设计说明：有研究表明,二次函数图象左右平移的难度比上下平移的难度大,“上下平移的动作是直接操作在函数上,而左右平移包含的动作首先操作在自变量上,进而再操作到函数上”.由于个人的能力是有限的,通过合作探究可以集思广益,集合小组力量进行“攻关”提高探究的效率,也可以提高发学生参与活动的积极性,增加合作意识、小组协调能力;同时提升学生的数学交流水平,提高学生的语言表达能力.

2.5 整合全面的实验探究信息

学生通过几个实验探究活动的结论是零散的, 为了让学生更好地掌握、理解知识,要对探究所获得的信息要进行整合、梳理,揭示知识背后的规律、原理,从而使学生形成系统、全面的知识结构网络.在“二次函数图象的平移”教学中,当完成二次函数y=ax2(a /= 0)与y=ax2+k(a /= 0)、y=a(x-h)2(a /= 0)、y=a(x-h)2+k(a /= 0)的探究后,教师要带领学生做一个全面的回顾.引导学生对一次函数、二次函数的关系与图象的结构上进行对比分析,函数y=kx与y=kx+b的图象是存在上下平移的关系,类比地二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象也是存在上下平移的关系.函数y=kx与y=k(x-m)的图象是左右平移关系,类比地二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象同样是左右平行的关系.函数y=kx与y=k(x-m)+b的图象是存在上下、左右的平移关系,同样,二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k也是存在上下、左右的平移关系.因此,可以类比图1 得到如图3 所示的平移关系图,通过整理上述探究所得的信息,使学生全面认识与理解二次函数图象的平移,从而使实验探究得到升华.

图3

设计说明：学生在进行数学实验时所获得的信息可能较多,哪些重要哪些有用,需要细致的观察力和敏锐的感知来分析、概括、抽象,这个过程培养了学生的观察能力、分析能力、逻辑思维和辩证思维能力;在探究、归纳、概括和形成结论的过程中,经历自主探究、发现、反思、总结,体验和感受数学发现的过程,通过猜想、分析、对比、验证、推理等培养学生逻辑思维能力,从而促进数学思维的发展.上述活动中,学生经历一次函数与二次函数的“式结构”、“图位置”的对比研究,加深了函数知识的理解与掌握.

3 基于数学实验探究教学的反思

3.1 数学实验探究教学提高学生的探究能力

新课标倡导学生要经历探究活动过程,通过亲历动手探究或合作探究来掌握、消化和理解知识,最终建立和完善自身的数学认知结构.探究教学是学生通过动手操作探究,经历发现、思考、分析、归纳等思维活动,最后获得正确结论从而解决问题的一种教学过程.因此,数学实验探究教学是让学生亲身经历问题的探究过程,促使学生在自身已有知识经验的基础上进行主动建构.而数学实验注重操作与实践,在数学实验教学中,学生不是被动地接受教材上或教师讲授的现成结论, 而是让学生从个人的“认知”出发, 通过动手、动脑,用观察、实验、猜想等进行探究,能提高学生的探究能力.

3.2 数学实验探究教学促进数学思维发展

学生是学习的主体,教师不能以自己的分析或解释去代替学生本人的思维活动.皮亚杰曾指出：思维从动作开始,切断思维与动作的联系,思维就不能得到发展,手和脑之间有千丝万缕的联系.数学实验探究教学不仅让学生发现结论,更重要的是训练学生的思维, 学生参与知识探究的过程中,运用到观察、比较、分析、归纳、提炼、辩证思考等,通过探究活动把数学知识内化于心.如“二次函数图象的平移”教学中,学生经历从特殊到一般的探究过程、类比归纳的数学研究方法、演绎推理的过程,这些都能提高学生的思维能力与创造能力.因此,数学实验就是运用“操作+思考”的方式,把学生“手的动作”和“脑的思维”结合起来,充分调动学生的感知器官参与学习,以活动促思维,在动手操作的基础上发展数学思维.

3.3 信息技术为数学实验开拓新天地

“实验教学意见”指出,要积极利用信息技术手段开展实验教学.充分发挥信息技术的直观、动态展示等优势开展探究教学,是时代发展的要求.利用几何画板进行数学实验探究,通过控制参数的变化,可以探究出函数图象的变化情况,探究过程中动态呈现函数图象的变化,让学生通过观察图象的变化与参数值的变化关系,更加的生动、形象、准确、直观地了解函数的性质.借助信息技术开展数学实验教学能把抽象复杂的数学知识以生动直观的形象呈现在学生面前,抽象的内容变得直观化、具体化,可以让学生更好地理解、掌握数学知识.

3.4 数学实验探究教学发展学生数学核心素养

发展学生数学核心素养,要学生真正参与到数学教学活动中去,不能依赖教师的教学传授.在数学实验的过程中,每一位同学都可以进行相应的动手、动脑的实验操作,完成知识的自我建构,体验成功,享受数学欢乐的魅力.通过“亲身经历”实验的过程,使学生对所学知识有更深刻的理解,达到更深层次的掌握,从而促进学生数学核心素养的发展,是纯粹的传授所不能达到的.数学实验能够让学生的手与脑得到充分的锻炼,很好地提升学生的数学能力,促进学生数学核心素养的发展.

4 结束语

数学实验探究是以问题为载体,以动手操作、动脑思考为手段,选取合理的实验探究材料,根据学生已有的知识经验设置恰当的实验探究起点,利用实验报告给出明确的实验探究指引,通过小组合作探究营造浓厚的实验探究氛围,组织学生对实验过程中零散的实验信息进行梳理、整合,形成全面、系统的知识网络,并及时灵活运用实验探究的结论解决相应的问题,从而促进学生深刻理解和掌握相关的数学知识及原理,提升学生数学核心素养.